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专题14 空间向量与立体几何
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 空间向量的线性运算及有关定理
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
1
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空间向量加减法的运算律：交换律a
b
b
a
；结合律(
)
(
)
a
b
c
a
b
c
．
（2）空间向量的数乘：实数
与空间向量
的乘积
仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当
时，
与
方向相同；当
时，
与
方向相反；当
时，
．
的长度是
的长度的
倍．
空间向量数乘的运算律：分配律
；结合律
．
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量
，
，
的充要条件是存在实数
，使得
.
（2）共面向量定理：如果两个向量
，
不共线，那么向量
与向量
，
共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对(x，y)，使
.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量
，
，
不共面，那么对空间任一向量
，存在有序实数组{x，
y，z}，使得
，其中，
叫做空间的一个基底．
知识点2 两个向量的数量积及其运算
1、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量
，
，在空间任取一点O，作
，
，则∠AOB 叫
做向量
与
的夹角，记作
，其范围是[0，π]，
若
，则称
与
互相垂直，记作
.
②非零向量
，
的数量积
．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：
；
②交换律：
；
③分配律：
.
2、空间向量数量积的坐标表示及其应用
2
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设
1
2
3
( ,
,
)
a
a a a
，
1
2
3
( ,
,
)
b
b b b
，
向量表示
坐标表示
数量积
共线
，
，
垂直
模
夹角
知识点3 空间中的平行与垂直的向量表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量
的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量
为直
线l 的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l 的方向向量
，则向量
叫做平面α 的法向量．
2、空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为
，
直线l 的方向向量为
，平面α 的法向量为
平面α，β 的法向量分别为
，
知识点4 利用空间向量求空间角
1、异面直线所成角
设异面直线a，b 所成的角为θ，则
，其中
，
分别是直线a，b 的方向向量．
2、直线与平面所成角
如图所示，设l 为平面α 的斜线，l∩α＝A，
为l 的方向向量，
为平面α 的法向量，
φ 为l 与α 所成的角，则
.
3
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3、二面角
（1）若AB，CD 分别是二面角αlβ 的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是
向量
与
的夹角，如图a.
（2）平面α 与β 相交于直线l，平面α 的法向量为
，平面β 的法向量为
，
，则二面角αl
β 为θ 或π－θ.设二面角大小为φ，则
，如图b，c.
知识点5 利用空间向量求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l 的单位方向向量为u，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，
设向量AP在直线l 上的投影向量为AQ＝a，则点P 到直线l 的距离为 (如图)．
2、点到平面的距离
已知平面
的法向量为
,
是平面
内的任一点，
是平面
外一点，
过点
作则平面
的垂线，交平面
于点
，
则点
到平面
的距离为
（如图）.
3、线面距和面面距
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
（1）直线a 与平面之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
a B
，n 是平面的法向量．
（2）两平行平面,
之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
B
，n 是平面的法向量。
重难点01 利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关
系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
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【典例1】（24-25 高三上·江苏扬州·月考）如图，
且
且
且
，
平面
，
．
(1)证明：
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
，若存在，求出
点的
位置，若不存在，说明理由．
【典例2】（24-25 高三上·重庆·月考）如图，在四棱锥
中，侧面
底面
，侧棱
，
，底面
为直角梯形，其中
，
，
.
(1)求B 点到平面
的距离.
(2)线段
上是否存在一点Q，使得二面角
的余弦值为
？若存在，求出
的值；若不存
在，请说明理由.
【典例3】（23-24 高二下·江苏南京·月考）如图，在正四棱锥
中，各棱长均为
，
为侧棱
上的点，
是
中点.
5
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(1)若
是
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
重难点02 利用空间向量解决最值范围问题
此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离
的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考：
一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；
二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解．
【典例1】（24-25 高三上·云南玉溪·月考）在下图所示直四棱柱
中，底面
为菱形，
，
，动点P 在体对角线
上，则顶点B 到平面
距离的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·福建·模拟预测）如图，在圆锥
中，高
，底面圆
的直径
，
是
的中点，点
在圆
上，平面
平面
．
(1)证明：
；
(2)若点
是圆
上动点，求平面
与平面
夹角余弦值的取值范围．
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【典例3】（23-24 高三下·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥
中，
底面
，
，
分别为线段
上一点，
.
(1)若
为
的中点，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
重难点03 不规则几何体建系问题
常见的
，
轴选取的参考原则：
①尽可能的让底面上更多的点位于
，
轴上；
②找角：
，
轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件；
③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点．
【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，
还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略．
【典例1】（24-25 高三上·广西来宾·月考）如图，在三棱柱
中，
为正三角形，四边形
为菱形.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，且
为
的中点，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
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【典例2】（24-25 高三上·河北邯郸·开学考试）如图，已知正四面体
的底面与正四棱锥
的一个侧面重合．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的余弦值.
重难点04 空间向量新定义问题
面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合．明确解题
目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式．在解题
过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题．对于复杂问题，可尝试建立空间直角
坐标系，利用向量法进行计算和证明．同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解
对象．最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇
到类似问题时能够迅速应对．
【典例1】（24-25 高三上·山东蒙阴·月考）若在空间直角坐标系
中，直线的方向向量为
，且过点
，直线
的方向向量为
，且过点
，则与
方
向向量的叉积为
与
的混合积为
．若
，则与
共面；若
，则与
异面．已知直线
的一个方向向量为
，且过点
，直线
的一个方向向量为
，且过点
．
(1)证明：
与
是异面直线．
(2)若点
，求
的长的最小值．
(3)若
为坐标原点，直线
，求
的坐标．
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【典例2】（23-24 高三下·贵州贵阳·模拟预测）若
，则
称
为
维空间向量集，
为零向量，对于
，任意
，定
义：
①数乘运算：
；
②加法运算：
；
③数量积运算：
；
④向量的模：
，
对于
中一组向量
，若存在一组不同时为零的实数
使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：
①
；
②
；
(2)已知
线性无关，试判断
是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于
中的任意两个元素
，均有
，
一、用基向量表示指定向量的方法
（1）结合已知向量和所求向量观察图形．
（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【典例1】（24-25 高三上·广东雷州·月考）如图，三棱锥
中，
，
，
，点
为
中点，点N 满足
，则
（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 高三上·广东·月考）如图所示，在平行六面体
中，
为
与
的
交点，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二、三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB且同过点P
MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB
对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－
x)OB
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB
【典例1】（23-24 高三上·湖北荆州·月考）设
是空间两个不共线的非零向量，已知
，
，
，且
三点共线，则实数k 的值为 ．
【典例2】（24-25 高三上·山东蒙阴·月考）在三棱锥
中，
为
的重心，
，若
交平面
于点
，且
，则
的最小
值为（ ）
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A．
B．
C．1
D．
【典例3】（23-24 高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱
中，
，
．
(1)当
时，试用
表示
；
(2)证明：
四点共面；
三、空间向量数量积的应用
1、求夹角：设向量
，
所成的角为
，则
，进而可求两异面直线所成的角；
2、求长度（距离）：运用公式
，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
3、解决垂直问题：利用
，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。
【典例1】（24-25 高三上·上海浦东新·月考）在空间直角坐标系中，点
，点
，点
，则
在
方向上的投影向量的坐标为 .
【典例2】（24-25 高三上·山东·月考）已知平行六面体
的各棱长均为
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【典例3】（24-25 高三上·云南昆明·月考）如图，平行六面体
的所有棱长为2，四边形
ABCD 是正方形，
，点
是
与
的交点，则直线
与
所成角的余弦值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
四、利用空间向量证明空间线面位置关系
1、利用空间向量证明平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方
向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问
题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理
用向量表示
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【典例1】（23-24 高三下·吉林延边·一模改编）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为矩形，侧面
PAB 为等边三角形，且侧面
底面ABCD，
，E，F 分别为PA，BC 的中点，G 为AE 的中
点．证明：BG∥平面EFD；
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【典例2】如图所示，在直三棱柱
中，
分别为棱
的
中点．证明：平面
平面
．
五、用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【典例1】（24-25 高三上·四川南充·月考）如图，在正方体
中，
分别为
的
中点，则直线
和
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 高三上·内蒙古赤峰·月考）在直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为 .
六、用向量法求解直线与平面所成角的方法
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如图所示，设直线l 的方向向量为
，平面α 的法向量为
，直线l 与平面α 所成的角为φ，向量
与
的
夹角为θ，则有
.
【典例1】（24-25 高三上·广东普宁·二调）如图，四棱锥
的底面为正方形，
底面
.设
平面
与平面
的交线为.
(1)证明：
平面
；
(2)已知
，
为上的点，
，求
与平面
所成角的正弦值.
【典例2】（24-25 高三上·山西忻州·月考）如图，在直三棱柱
中，
为直角，侧面
为正方形，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成的角的正弦值.
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七、利用向量法解二面角问题的策略
1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得
到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，
则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【典例1】（24-25 高三上·贵州遵义·月考）如图，在直三棱柱
中，
，
，
且
，
，直线
与
交于点F.
(1)证明：
平面
.
(2)求二面角
的正弦值.
【典例2】（23-24 高三下·海南海口·月考）在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，侧面
底面
，且
分别为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成的角为
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
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八、利用空间向量求空间距离
（1）点线距：已知直线l 的单位方向向量为u，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP在直线
l 上的投影向量为AQ＝a，则点P 到直线l 的距离为．
（2）点面距：已知平面
的法向量为
,
是平面
内的任一点，
是平面
外一点，过点
作则平
面
的垂线，交平面
于点
，则点
到平面
的距离为
．
【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解．
【典例1】（23-24 高三下·福建厦门·一模）已知平面
的一个法向量为
，且点
在
内，
则点
到
的距离为 ．
【典例2】（24-25 高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱
中，底面四边形
为梯
形，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求直线BD 到平面
的距离．
易错点1 忽视零向量
点拨： 在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。
【典例1】（23-24 高二上·陕西西安·期中）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量
，
满足
，则
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
＝
C．若空间向量
，
，
满足
，
，则
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D．空间中，
，
，则
易错点2 忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同
点拨： 两异面直线所成角的范围是
。两向量的夹角的范围是
，需要注意两者的区别与联系。
【典例1】（23-24 高三下·全国·模拟预测）如图，矩形ABCD 是圆柱
的轴截面，点E 在圆
上，若
，
，
，则异面直线BD 与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点2 线面角与向量夹角转化不清等问题
点拨： 若直线与平面所成的角为θ ，直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，则sinθ =|cos<a ,n >|。容
易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面
的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。
【典例1】（23-24 高三下·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体
截去三棱锥
后得
到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD 为菱形，AC 与BD 交于点O，
．
(1)证明
平面
；
(2)证明平面
平面
；
(3)若
，
，
与底面ABCD 所成角为60°，求
与平面
所成角的余弦值．
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易错点4 二面角概念模糊
点拨：若两个平面的法向量分别为a ，b ，若两个平面所成的锐二面角为θ ，则
；若
两个平面所成二面角为钝角，则
。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要
结合图形判断二面角的取值范围．
【典例1】（24-25 高三上·四川成都·月考）已知三棱锥
，D 在平面
上的射影为
的重心
O，
，
.
(1)证明：
；
(2)E 为AD 上靠近A 的三等分点，若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
18
