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知识点72：
电
在
场中运动带电连接体的力与功能关系的
题
问
点
：带电
考
一
轻绳连接体的力与功能关系的
题
问
题型
：带电
一
轻
电
绳连接体在竖直匀强
场中的运动
【典例1 提高题】如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀
强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a 时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b 时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a 时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能守恒
【典例1 提高题】【答案】C
【解析】若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大．若qE<mg，
球在a 处速度最小，对细线的拉力最小．若qE>mg，球在a 处速度最大，对细线的拉力最
大．故A、B 错．a 点电势最高，负电荷在电势最高处电势能最低，故C 正确．小球在运
动过程中除重力外，还有电场力做功，机械能不守恒，D 错误．
【典例1 提高题对应练习】(多选)如图所示，长为L 的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为
m 小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在
竖直平面内做圆周运动，则( )
A．小球在最高点的速度大小为
B．当小球运动到最高点时电势能最小
C．小球运动到最低点时，机械能最大
D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L
【典例1 提高题对应练习】【答案】CD
【解析】小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则在最高点由重力和静电力的合力提供
向心力，则有mg＋Eq＝m，解得v＝，故A 错误；小球向上运动时，静电力做负功，电势
1
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能增加，当小球运动到最高点时电势能最大，故B 错误；小球向下运动时，静电力做正功，
机械能增大，运动到最低点时，小球的机械能最大，故C 正确；从最高点到最低点的过程
中，根据动能定理得Ek－mv2＝(mg＋Eq)·2L，解得Ek＝(mg＋Eq)L，故D 正确．
题型
：带电
二
轻
电
绳连接体在水平匀强
场中静止释放运动
型
模
【典例2 提高题】 (多选)如图，一根不可伸长绝缘的细线一端固定于O 点，另一端系一带
电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A 点由静止释放，经最
低点B 后，小球摆到C 点时速度为0，则( )
A．小球在B 点时速度最大
B．小球从A 点到B 点的过程中，机械能一直在减少
C．小球在B 点时的细线拉力最大
D．从B 点到C 点的过程中小球的电势能一直增加
【典例2 提高题】【答案】BD
【解析】小球所受重力和电场力恒定，重力和电场力的合力恒定，小球相当于在重力和电
场力的合力及细线的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动。当小球运动到重力和电场力的
合力和细线的拉力共线时(不是B 点)，小球的速度最大，此时细线的拉力最大，故A、C
错误；从A 点到C 点的过程中，因为重力做正功，小球摆到C 点时速度为0，所以电场力
对小球做负功，小球从A 点到B 点的过程中，机械能一直在减少，B 正确；从B 点到C 点
的过程中，小球克服电场力做功，小球的电势能一直增加，D 正确。
【典例2 提高题对应练习】(多选)如图所示，空间存在一水平向右的匀强电场，长为L 且
不可伸长的绝缘细绳一端固定于O 点，另一端系有一带正电小球，小球静止于B 点，此时
绳与竖直方向的夹角为45°。现将小球拉至与O 点同高度的A 点，由静止释放，小球沿圆
弧经B 点运动到O 点正下方的C 点。不计空气阻力，下列关于小球的叙述正确的是( )
A.每下降相同高度，电势能的增加量都相等
B.每下降相同高度，重力势能的减少量都相等
2
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C.A 到B 的过程中，重力势能的减少量大于动能的增加量
D.A 到C 的过程中，克服电场力做的功小于重力势能的减少量
【典例2 提高题对应练习】【答案】BC
【解析】设小球开始下降高度h 时细绳与水平方向夹角为θ，则水平方向的距离为x＝L
－，则可知，每下降相同高度，水平方向发生距离不相等，则电场力对小球做功不等，所
以电势能的增加量不相等，故A 错误；每下降相同高度，重力对小球做正功相同，则重力
势能的减少量都相等，故B 正确；由题意可知，小球在B 点的速度最大，从A 到B 的过程
中，由能量守恒可知，重力势能的减小量等电势能的增加量与动能增加量之和，则重力势
能的减少量大于动能的增加量，故C 正确；由对称性可知，小球达到C 点时的速度为0，
从A 到C 的过程中，由能量守恒可知，重力势能的减小量等于电势能的增加量，故D 错误。
题型
：
三
带电轻绳
电
连接体水平匀强
场中作完整
题
圆周运动的问
【知识思维方法技巧】
带电轻绳连接体在水平匀强电场中作完整圆周运动的处理方法：等效方法
（1）等效最“高”点与最“低”点的寻找：
确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线
反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效
最“低”点。
（2）带电体在等效最“高”点运动情况，用类比“绳球”“杆球”模型临界值的情况进行
分析解答。
【典例3 提高题】(多选)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量
为＋q 的小球，系在一根长为L 的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动．
AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝.下列说法正
确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到B 点时的机械能最大
C．若将小球在A 点由静止开始释放，它将在ACBD 圆弧上往复运动
D．若将小球在A 点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B 点
【典例3 提高题】【答案】BD
【解析】因为电场强度E＝，所以小球所受静电力大小也为mg，故小球所受合力大小为
mg，方向斜向右下方，与竖直方向夹角为45°，故小球通过圆弧AD 的中点时速度最小，
3
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此时满足mg＝m，因此小球在竖直面内做圆周运动的最小速度vmin＝，A 项错误；由功能
关系知，小球机械能的变化等于除重力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕O 点做圆
周运动，运动到B 点时，静电力做功最多，故运动到B 点时小球的机械能最大，B 项正确
小球在A 点由静止开始释放后，将沿合外力方向做匀加速直线运动，C 项错误；若将小球
以的速度竖直向上抛出，由对称性知经时间t＝回到相同高度，其水平位移s＝·t2＝2L，故
小球刚好运动到B 点，D 项正确．
【典例3 提高题对应练习】（多选）如图所示，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电
荷量为＋q 的小球，系在一根长为L 的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O 点做圆
周运动，AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝，
不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到B 点时的机械能最大
B．若将小球在A 点由静止开始释放，它将沿着ACBD 圆弧运动
C．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动过程中的最小速度为
D．若将小球在A 点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达D 点
【典例3 提高题对应练习】【答案】AC
【解析】除重力和弹力外其它力做功等于机械能增加量，小球到B 点时，电场力做功最多，
故到B 点时机械能最大，A 正确；小球所受合力方向与电场方向夹角45°斜向下，由静止
释放，将沿合力方向做匀加速直线运动，B 错误；重力和电场力合力为mg，根据mg＝m
得，小球在等效最高点v＝ ，C 正确；由于A 点速度小于等效最高点的速度，故小球不可
能从A 到达等效最高点到D 点，D 错误，故选AC.
点
：带电
考
二
轻杆连接体的力与功能关系的
题
问
题型
：带电
一
轻杆连接体的转动
型
模
【典例1 提高题】（多选）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球(不计
重力)。开始时，两小球分别静止在A、B 位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，
小球绕轻杆中点O 转到水平位置。取O 点的电势为0。下列说法正确的有( )
A．电场E 中A 点电势低于B 点 B．转动中两小球的电势能始终相
4
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等
C．该过程静电力对两小球均做负功 D．该过程两小球的总电势能增加
【典例1 提高题】【答案】AB
【解析】沿电场线方向电势降低，则B 点的电势比A 点的电势高，A 正确；由对称性可知，
两小球所处位置的电势的绝对值始终相等，则由Ep＝qφ 可知两小球的电势能始终相等，B
正确；该过程中，带正电荷的小球所受的电场力方向向右，带负电荷的小球所受的电场力
方向向左，则电场力对两小球均做正功，C 错误；电场力做正功，电势能减少，所以该过
程中两小球的总电势能减少，D 错误。
题型
：带电
二
轻
型
杆连接体的平动模
【典例2 提高题】初始时刻，由轻质刚性杆连接的质量相等的A、B 两个小球静止于光滑
的水平面上，杆平行于
轴，整个体系处于平行于
轴的均强电场中，如果小球A、B 带电
量均为
，稳定状态下体系的总能量和总动量分别为
，
；若小球A 带电量为
，小
球B 不带电，则稳定状态下体系的总能量和总动量分别为
，
，请分析两种状态下体
系的动量与能量关系，并证明。
【典例2 提高题】【答案】见解析
【解析】若A、B 两球所带电荷电性相同，则稳定匀加速运动，则稳定时速度为零，则动
量和动能都为零，无异议，若A、B 两球所带电荷电性相反，以A、B 整体为研究对象，可
知稳定时，A、B 做匀速直线运动，如图所示
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或
设杆与水平方向的夹角为
，设杆的长度为
，由几何关系得
则由动能定理得
则
若小球A 带电量为
，小球B 不带电，对A、B 组
成系统受力分析可知，则稳定状态下，A、B 一起做匀加速直线运动，稳定时，加速度
则杆对B 水平方向的分力
如图所示
由几个关系可知，杆与水平方向的夹角仍然为
，则
由动能定理得
则此时的总动量为
对系统，由于两种过程中
仅有电场力和重力做功，则机械能和电势能之和相等，联立可得
；
可得
；
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点
：带电轻
题
考
三
弹簧连接体的力与功能关系的问
题型
：
型
一
弹簧伸长模
【典例1 提高题】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固
定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N 点，弹簧恰好处于原长状态．保
持小球的带电荷量不变，现将小球提高到M 点由静止释放．则释放后小球从M 运动到N
的过程中( )
A．小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变
B．小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加量
C．弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量
D．小球动能的增加量等于静电力和重力做功的代数和
【典例1 提高题】【答案】BC
【解析】由于有静电力做功，故小球的机械能与弹簧的弹性势能之和是改变的，故A 错误；
由题意，小球受到的静电力与重力大小相等，在小球从M 运动到N 过程中，重力做了多少
正功，重力势能就减少多少，静电力做多少负功，电势能就增加了多少，又两力做功一样
多，可知B 正确；由动能定理可知，弹力对小球做的功等于小球动能的增加量，又弹力做
的功等于弹簧弹性势能的减少量，故C 正确；静电力和重力做功的代数和为零，故D 错误．
【典例1 提高题对应练习】如图所示，不带电物体A 和带电的物体B 用跨过定滑轮的绝缘
轻绳连接，A、B 的质量分别为2m 和m，劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在水平面上，另
一端与物体A 相连，倾角为θ 斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦。
开始时，物体B 在一沿斜面向上的外力
的作用下保持静止且轻绳恰好伸直，
然后撤去外力F，直到物体B 获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度（已知弹簧形变量为
x 时弹性势能为
为），则在此过程中（ ）
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A．物体B 带负电，受到的电场力大小为
B．物体B 的速度最大时，弹簧的伸长量为
C．撤去外力F 的瞬间，物体B 的加速度为
D．物体B 的最大速度为
【典例1 提高题对应练习】【答案】D
【解析】当施加外力时，对B 分析可知
解得
沿斜面向下，
故B 带负电，故A 错误；当B 受到的合力为零时，B 的速度最大，由
解
得
故B 错误；当撤去外力瞬间，弹簧弹力还来不及改变，即弹簧的弹力仍为
零，当撤去外力F 的瞬间物体AB 受到的合外力为
解得
故C 错误；设物体B 的最大速度为
，由功能关系可得
解得
故D 正确。
题型
：
型
二
弹簧压缩模
【典例2 提高题】如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，
一质量为m 的带正电小球在外力F 的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处
于压缩状态．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧
弹力对小球做的功分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则上述过程中( )
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A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球重力势能的变化为W1
C．小球动能的变化为W1＋W2＋W3
D．小球机械能的变化为W1＋W2＋W3
【典例2 提高题】【答案】C
【解析】由于电场力做功，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒，选项A 错误．重力对小
球做的功为W1，小球重力势能的变化为－W1，选项B 错误．由动能定理可知，小球动能
的变化为W1＋W2＋W3，选项C 正确．由功能关系可知，小球机械能的变化为W2，选项D
错误．
【典例2 提高题对应练习】（多选）A、B 两物体质量均为m，其中A 带正电，电荷量为＋
q，B 不带电，通过劲度系数为k 的绝缘竖直轻质弹簧相连放在水平面上，如图2 所示，开
始时A、B 都处于静止状态．现在施加竖直向上的匀强电场，电场强度E＝，式中g 为重力
加速度，若不计空气阻力，不考虑A 物体电荷量的变化，则以下判断正确的是(
)
A．刚施加电场的瞬间，A 的加速度大小为2g
B．从施加电场开始到B 刚要离开地面的过程中，A 物体速度大小一直增大
C．从施加电场开始到B 刚要离开地面的过程中，A 物体的机械能增加量始终等于A 物体
电势能的减少量
D．B 刚要离开地面时，A 的速度大小为2g
【典例2 提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】在未施加电场时，A 物体处于平衡状态，当施加电场的瞬间，A 物体受到的合力
为A 所受的电场力，故qE＝ma，解得a＝2g，方向向上，故A 正确；B 刚要离开地面时，
地面对B 弹力为0，即F 弹＝mg，对A 物体Eq＝mg＋F 弹，即A 物体所受合力为0，因此
从施加电场开始到B 刚要离开地面过程，A 物体做加速度逐渐变小的加速运动，即A 物体
速度大小一直增大，故B 正确；从施加电场开始到弹簧恢复原长的过程，A 物体的机械能
增加量等于电势能的减少量与弹性势能的减少量之和，从弹簧恢复原长到B 刚要离开地面
的过程，A 物体的机械能增加量等于电势能的减少量与弹性势能的增加量之差，故C 错误；
当B 刚要离开地面时，此时B 受到弹簧的弹力等于B 的重力，从施加电场到B 离开地面，
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弹簧的弹力做功为零，A 上升的距离为x＝，根据动能定理可知qEx－mgx＝mv2，解得v＝
2g，故D 正确．
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