统计与概率：事件的独立性、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练
考点目录
事件的独立性
条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
1．（24-25 高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知事件A ，B 满足
0.5
P A =
，
0.2
P B =
，则（ ）
A．若B
A
Í
，则
0.5
P AB =
B．若A 与B 相互独立则
0.7
P A
B
+
=
C．若A 与B 相互独立，则
0.9
P AB =
D．若A 与B 互斥，则
0.7
P A
B
+
=
2．（25-26 高二上·黑龙江大庆·开学考试）在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题
正确与否相互独立，甲答对的概率是2
3 ，甲､乙两人都答对的概率是
1
2 ，乙､丙两人都答错的概率是1
20 ，则甲､乙､
丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ）
A．13
16
B．15
16
C．59
60
D．63
64
3．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知事件A 和事件B 相互独立，B 为事件B 的对立事件．若
( )
( )
0.4
P A
P B
=
=
，则
(
)
P A
B
+
=（ ）
A．0.24
B．0.56
C．0.76
D．0.84
4．（25-26 高二上·云南·开学考试）甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为X .已知甲、乙投篮命中的概率分
别为2
3 ，4
5 ，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则
1
X = 的概率是（ ）
A．1
5
B．2
5
C．13
30
D．17
30
考点一
事件的独立性
5．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4 个开关每个断开的概率都是1
3 ，且是相互独立的，则灯亮
的概率为（ ）
A．3
16
B．5
81
C．76
81
D．13
16
6．（25-26 高二上·河北张家口·开学考试）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现
的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（ ）
A．A 与B 对立
B．A 与B 互斥
C．A 与B 相互独立
D．
P A
B
P A
P B
+
=
+
7．（25-26 高二上·山东日照·开学考试·多选）设
,
A B 为两个事件，且
0.5,
0.3
P A
P B
=
=
，下列说法正确的有
（ ）
A．若
,
A B 互斥，则
0.15
P AB =
B．若
,
A B 互斥，则
0.8
P A
B
È
=
C．若
,
A B 独立，则
0.15
P AB =
D．若
,
A B 独立，则
0.65
P A
B
È
=
8．（24-25 高一下·贵州遵义·阶段练习·多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 表示“第1 枚正面向上”，事
件B 表示“第2 枚反面向上”，事件C 表示“恰有1 枚正面向上”，事件D 表示“两枚都正面向上”，则（ ）
A．A 与B 相互独立
B．A 与C 相互独立
C．A 与D 相互独立
D．B 与D 互斥
9．（25-26 高二上·安徽·阶段练习·多选）已知
,
A B 是随机事件，且
0.6,
0.5
P A
P B
=
=
，则下列说法正确的有
（ ）
A．A 与B 可能为互斥事件
B．若
0.3
P A
B =
I
，则A 与B 相互独立
C．若B
A
Í
，则
0.5
P AB =
D．若A 与B 相互独立，则
0.6
P A
B =
U
10．（25-26 高二上·福建南平·开学考试）甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为X .已知甲､乙投篮命中的概
率分别为2 4
,
3 5 且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则
1
X = 的概率是
.
11．（25-26 高二上·河北邢台·开学考试）张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获
胜，并可以获得1000 元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李
明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000 元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，
则张华应该分得 元．
12．（25-26 高二上·安徽·阶段练习）已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为
4
5 ，乙每关闯关成功的概率均为3
4 ，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功
的概率是
.
13．（2025·福建三明·模拟预测）甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝
上”，则得1 分，如果抛出“反面朝上”，则得0 分．甲和乙分别抛掷3 次后，如果两人得分相差大于1 分，比赛终
止；如果两人分数相差不大于1 分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不
变，若为“反面朝上”，则乙得分减1 分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为
．
14．（25-26 高三上·山东·开学考试）电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选.
方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金；
方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金.
假设小明对三道指定题目答对的概率分别为, ,
a b c （均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响.
(1)分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率；
(2)要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明.
15．（25-26 高三上·江西·阶段练习）某知识竞赛中有, ,
A B C 三类问题.参赛者从这三类问题中抽取两个问题进行回
答，要求这两个问题属于不同类别.回答正确一个A，B，C 类问题分别得30 分，20 分，10 分，回答错误得0 分.
已知甲参与了该竞赛，且甲能正确回答, ,
A B C 类问题的概率分别为0.5,0.6,0.8，每道问题回答正确与否相互独立，
设甲的累计得分为X .
(1)若甲从
,
A B 两类问题中各抽取一个问题回答，求X 的分布列及期望；
(2)为使得累计得分更高，试分析，甲应该从哪两类问题中抽取问题回答.
16．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球
赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3 次，每次抽中纪念品的概率均为
1
2 ．若前2 次未抽中纪念品，则第3 次无论抽中与否均获得纪念品．
(1)求某球迷恰好获得1 个纪念品的概率；
(2)记x 为某球迷获得第1 个纪念品时的抽奖次数，求x 的数学期望
E x ．
17．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱
动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机
器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进
行了测试，获得数据如下表：
甲款机器人
乙款机器人
丙款机器人
测试次数
50
100
100
成功次数
20
60
80
假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；
(2)若让这三款机器人分别执行1 次送餐任务，求恰好成功两次的概率；
(3)若让这三款机器人分别执行10 次送餐任务，设成功的次数分别为
1x ，
2x ，
3
x ，直接写出方差
1
Dx ，
2
Dx ，
3
Dx
的大小关系.
18．（25-26 高二上·浙江·开学考试）2025 年6 月23 日雷霆队以大比分4:3战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众所周
知，NBA 总决赛采取7 场4 胜制，当两队大比分战成2: 2 ，第5 场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两支队伍
闯入NBA 总决赛，首战甲获胜的概率为2
3 ，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为2
3 ，每场比赛结果相互
独立.
(1)求两场后双方战成1:1的概率；
(2)若首战乙胜，求再战三场双方战至2: 2 后甲在“天王山之战”中获胜的概率；
(3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率.
1．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4 名女运动员和3 名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽
选1 个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1 次抽到女运动员的条件下，第2 次抽到男运动员的概率为
（ ）
A．1
6
B．3
10
C．
1
2
D．3
4
2．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有3个红球和1个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒
中随机取出1个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（ ）
A．1
16
B．1
12
C．1
10
D．1
9
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知A ，B 是样本空间W 中的随机事件，
0
1
P B
<
< ，若
3
8
P A =
，
1
( | )
2
P AB =
，
1
(
|
)
3
P A B =
，则
P B =（ ）
A．1
4
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
4．（24-25 高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班
同学中阅读过《红楼梦》的占80%，阅读过《三国演义》的占60% ，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占
95%，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ）
A．0.8
B．0.6
C．0.45
D．0.75
5．（25-26 高三上·广东·开学考试）某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性
考核．某社团有小明、小刚等5 位同学参加，现选3 位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的
概率为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
5
D．2
3
考点二
条件概率
6．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量
,
X Y 均服从两点分布，且
1
2
1
,
1
2
3
P X
P Y
=
=
=
=
，若
3
0
5
P XY =
=
，则
1
0
P Y
X
=
=
=
∣
（ ）
A．2
5
B．3
5
C．7
15
D．8
15
7．（25-26 高三上·广东·开学考试·多选）掷一枚质地均匀的骰子，可等可能的得到1~6 点，现投掷一次这枚骰子，
记得到1 点或2 点或3 点为事件A ，事件B ，C 与A 为两两互不相同的随机事件，且
0
P B ¹
，
0
P C ¹
，则
（ ）
A．存在事件B，使得
0
P AB =
B．存在事件C，使得
1
P AC =
C．存在事件B，C，使得
1
2
P C B =
D．存在事件B，C，使得
P ABC
P A
P B
P C
=
×
×
8．（23-24 高二下·云南丽江·期末·多选）已知甲口袋中装有3 个红球，1 个白球，乙口袋中装有2 个红球，1 个白
球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1 个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1 个球．记从甲口
袋中取出的球是红球、白球分别为事件
1A 、
2
A ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B ，则下列结论正确的有
（ ）
A．
2
3
4
P A
=
B．
2
1
2
P B A
=
C．
1
9
16
P A B =
D．
2
2
11
P A B =
9．（2025·江苏南通·模拟预测·多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6 位男生，4 位女生进入
决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A 表示“第一位出场的是女生”，事件B 表示“第二位出场的是女生”，则
（ ）
A．
3
5
P AB =
B．
1
3
|
P B A =
C．
P A
P B
=
D．
4
5
P A
B
+
=
10．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）若
0.4,
0.6,
0.5
P A
P B
P B A
=
=
=
∣
，则
P A B =
∣
.
11．（25-26 高三上·江苏·开学考试）已知
0.6,
0.5,
0.2
P A
P B
P AB
=
=
=
，则
(
)
P A B =
∣
.
12．（25-26 高三上·天津红桥·开学考试）袋中大小相同的3 个红球，5 个白球，从中不放回地依次摸取2 球，在已
知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是
．
13．（25-26 高三上·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过
初赛，共7 人进入决赛，其中高一年级2 人，高二年级3 人，高三年级2 人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设
事件A 为“高一年级2 人不相邻”，事件B 为“高二年级3 人相邻”，则
P B A =
.
14．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期中）溺水是指人淹没于水或其他液体中，水与污泥、杂草等物堵塞呼吸道和肺
泡，或因咽喉、气管发生反射性痉挛，引起窒息和缺氧，肺泡失去通气、换气功能，使机体处于危急状态，由此
导致呼吸、心搏停止而致死亡.某校为了普及防溺水安全教育知识，在全校组织了一次防溺水安全教育知识竞赛，
经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3 人）进入了决赛.规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10 分，
答错者得0 分.假设甲队中3 人答对的概率分别为3 3 1
,
,
4 4 2 ，乙队中每人答对的概率均为2
3 ，且各人回答正确与否相
互之间没有影响.
(1)记随机变量X 为甲队的总得分，求X 的分布列和数学期望；
(2)在甲、乙两队总得分之和等于30 分的条件下，求甲队得分不低于乙队得分的概率.
15．（25-26 高三上·天津·阶段练习）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3 面小红旗.一局比赛后输者需给赢者
一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6 面小红旗者最终获胜，根据以
往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4．
(1)若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）．
16．（25-26 高三上·浙江·开学考试）某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10 个相同小球，其中4 个红球，6 个
蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3 个球，若恰好抽到3 个红球为一等奖，奖金为100 元，恰好抽到2 个红球为二
等奖，奖金为50 元，其余不设奖.
(1)在抽取的前两个球为1 个红球1 个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？
(2)求抽奖一次获得奖金的期望.
17．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12 件，其中有3 件次品，现不放回地随机抽取4 件进行检
验.
(1)求抽到的次品数X 的分布列；
(2)若已知抽到的4 件中至少有1 件次品，求恰好有2 件次品的概率.
18．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12 件，其中有3 件次品，现不放回地随机抽取4 件进行检
验．
(1)求抽到的次品数X 的分布列；
(2)若已知抽到的4 件中至少有1 件次品，求恰好有2 件次品的概率．
1．（24-25 高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采
纳的概率为8
9 ，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为1
3 ．已知输入的问题表达不清晰的
概率为1
4 ．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ）
A．2
3
B．3
4
C．4
5
D．5
6
2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级
中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现
从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ）
A．0.35
B．0.32
C．0.45
D．0.36
3．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段练习）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，
若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为k ），然后从哥哥开始两人轮流掷
这枚骰子，直至任意一方掷出点数k 或者6，该游戏结束.若掷出的是k ，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥
获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（ ）
A．5
24
B．5
12
C．3
8
D．7
12
4．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S 店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100 辆
进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S 店购买了一台
此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（ ）
A．2：3：5
B．10：12：5
C．5：12：10
D．5：4：1
考点三
全概率公式与贝叶斯公式
5．（25-26 高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的
200 名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查
中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如
实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，
回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ）
A．0.035
B．0.14
C．0.10
D．0
6．（24-25 高二下·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车
间一天生产的元器件个数分别为600、300、100 件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个
车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（ ）
A．此件产品是次品的概率为0.02
B．此件产品是次品的概率为0.025
C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2 倍
D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04.
7．（24-25 高二下·云南·期末·多选）
,
,
,
,
A B C D E 五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数
之和最大的获胜．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4 人中的1 人．第1 次由A 将骰子传出，记第n
次传骰子之后骰子在D 或E 手上的概率为
na ，记第n 次传骰子之后骰子在C 手上的概率为
nb ，则（ ）
A．
1
1
2
a =
B．
2
1
3
a =
C．
1
1
1
2
10
4
5
n
na
-
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
D．
1
1
1
1
20
2
5
n
nb
-
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
8．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末·多选）某比赛共进行
2n n
+
ÎN
局，每局比赛没有平局，2n 局比赛结束后赢得n
局以上的一方获胜．甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p ，每局比赛的结果相互独立，记甲在该
比赛中获胜的概率为
2n
P ，下列结论正确的是（ ）
A．若
1
3
p =
，则
2
4
P
P
=
B．若
1
6
p =
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最大
C．若
5
6
p =
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最小
D．若
7
16
p =
，则当2
6
n =
时，
2n
P 最大
9．（24-25 高二下·福建三明·阶段练习）有3 台车床加工同一型号的零件，第1 台加工的次品率为6%，第2，3 台
加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的25%，
30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3 台车床加工的概率为
10．（25-26 高三上·安徽蚌埠·开学考试）现有
*
2,
N
n n
n
>
Î
个箱子，每个箱子均有
30
n +
个小球，第
1,2,3,
,
k k
n
=
个箱子中有
10
k +
个白球，其余为黑球，在这n 个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出
3 个小球，若第3 次选出的小球恰为黑球的概率是8
13 ，则n = ．
11．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）A、B 两个箱子中各装有3 个产品，其中A 箱子中是2 个正品和1 个次品，B
箱子中是3 个次品.现从A、B 两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复n 次这样的操作，记A 箱子中正
品个数为
n
X ，恰有2 个正品的概率为
np ，恰有1 个正品的概率为
nq ，则
2p =
，
n
X 的数学期望
n
E X
=
.（用n 表示）
12．（25-26 高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在
某市随机调查了300 名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．
车型
低收入群体（< 20 万/
年）
中收入群体（20 万/年-50
万/年）
高收入群体（>50 万/
年）
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
EV
70
30
70
50
40
40
PHEV
20
80
60
60
60
20
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
(1)从该市全体消费者中随机抽取1 人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率p ；
(2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2 人，记X 为这4 人中愿意购买插电混动版（PHEV）的
人数，求X 的分布列和数学期望
E X ；
(3)假设该市C 社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为3:1:1，从C 社区的全体消费者中随机抽取1
人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为
A
p ，试比较
A
p 与p 的大小．
13．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素
的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0.发送0 时，收到1 的概率为
0
1
a
a
<
<
，收到0 的概率
为1 a
-
；发送1 时，收到0 的概率为
0
1
b
b
<
<
，收到1 的概率为1
b
-
.假设发送信号0 和1 是等可能的.
(1)若
0.1
a =
，
0.05
b =
，求接收的信号为0 的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每个信号重复发
送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出
现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
（i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1 的概率；
（ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由.
14．（25-26 高三上·福建泉州·阶段练习）有3 台车床加工同一型号的零件，第1 台加工的次品率为6%，第2，3
台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的25%、
30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额.
15．（25-26 高三上·河南新乡·开学考试）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年，某校组织相
关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5 分的初始积分，每答对一题加1 分，每答错一题减1 分.已知小明每道
题答对的概率为2
3 ，答错的概率为1
3 ，且每道题答对与否互不影响.
(1)求小明答4 道题后积分小于5 的概率.
(2)设小明答5 道题后积分为X ，求
E X .
(3)若小明一直答题，直到积分为0 或10 时停止，记小明的积分为
0,1,2,
,10
i i =
时最终积分为10 的概率为
iP ，
则
0
10
0,
1
P
P
=
= .
（i）证明：
1
0,1,2,
,9
i
i
P
P i
+ -
=
为等比数列；
（ii）求
5P 的值.
16．（25-26 高三上·河北·开学考试）甲､乙两人参加射击比赛，规则如下：每轮由1 人射击两次，若全中则此轮的
射击者赢得比赛，比赛结束，否则进行下一轮射击，由另外的人射击两次，如此类推.经过抽签，第1 轮甲射击，
已知甲､乙每次射击命中的概率分别为
1
2 ，p ，各次射击互不影响.
(1)若
1
2
p =
，记X 为比赛结束时的轮数，证明：
*
1
1
P X
n
X
n
P X
n
>
+
>
=
>
ÎN
∣
；
(2)若
1
3
p =
，记事件
=
iA
“比赛在第i 轮时未结束”，B = “甲赢得比赛”，
（i）写出
1
i
P A +
与
i
P A 的关系式并求
i
P A ；
（ii）求
P B .
（参考：对于任意0
1
p
<
< ，当n 趋于无穷大时，
0
n
p =
）
17．（25-26 高三上·广西柳州·开学考试）一个盒子中有大小和质地均相同的6 个球，其中有3 个白球和3 个黑
球．从中任取1 个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1 个大小和质地均相同
的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第(
N )
n n
+
Î
次操作后，盒中白球的个数为
n
X ，期望为
(
)
n
E X
．
(1)求
2
(
4)
P X =
．
(2)当
3
n ³
时，证明：
1
3
4
(
3
)
(
3
)
(
2
)(
1,2,3)
6
6
n
n
n
m
m
P X
m
P X
m
P X
m m
+
+
-
=
+
=
=
+
+
=
+
=
．
(3)求
(
)
n
E X
.
