统计与概率：二项分布专项训练
1．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）设
1
, 3
X
B n
æ
ö
~
ç
÷
è
ø ，且
1
27
P X
n
=
=
，那么
1
P X =
= （ ）
A．8
27
B．
16
27
C．4
9
D．2
9
【答案】C
【详解】由二项分布的概率公式可得
1
1
3
27
n
P X
n
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，所以
3
n =
，
则
2
1
3
1
1
4
1
C
1
3
3
9
P X
æ
ö æ
ö
=
=
×
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
.
故选：C
2．（2025·山东青岛·三模）若随机变量
~
(4, )
X
B
p ，
(
)
1
D X = ，则
(
3)
P X =
= （ ）
A．1
6
B．1
4
C．
1
2
D．3
4
【答案】B
【详解】由题设
(
)
4 (1
)
1
D X
p
p
=
-
= ，可得
1
2
p =
，
所以
3
4
4
1
1
(
3)
C ( )
2
4
P X =
=
=
.
故选：B
3．（24-25 高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的x 个红球，3 个白球.若采取不放回方式从中随机摸出
两个球，摸出的2 个球都是红球的概率是1
10 .现采取放回方式从中依次摸出3 个球，求恰有两次抽出红球的概率为
（ ）
A．36
125
B．12
125
C．12
25
D．4
25
【答案】A
【详解】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2 个球都是红球的概率
2
1
2
3
1
C
1
C
3
2
10
x
x
x x
P
x
x
+
-
=
=
=
+
+
，
即
2
9
15
6
0
x
x
-
-
=
，解得
2
x =
（舍去负根），
有放回的摸球，每次摸到红球的概率为2
5 ，白球的概率为3
5 ，
考点一
利用二项分布求分布列、数学期望与方差
所以3 次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率
2
2
2
3
2
3
36
C
5
5
125
P
æ
ö
=
´
=
ç
÷
è
ø
.
故选：A.
4．（24-25 高三下·云南·阶段练习）某市高三年级有20000 名学生，在一次检测考试中，数学成绩
2
95,15
X
N
~
，
若从所有学生中随机抽取10 名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10 名
学生的成绩均在65 分以上的概率为（ ）
（参考数据：
(
)
0.68, (
2
2 )
0.95
P
X
P
X
m
s
m
s
m
s
m
s
-
<
+
=
-
<
+
=
„
„
）
A．
10
0.68
B．
10
0.95
C．
10
0.975
D．
10
0.84
【答案】C
【详解】由
2
95,15
X
N
~
知
(65
125)
0.95
P
X
<
£
=
，则
(65
95)
0.475,
65
0.475
0.5
0.975
P
X
P X
<
£
=
>
=
+
=
，
可知10 名学生的成绩在65 分以上的人数
10,0.975
Y
B
~
，
所以
10
10
0.975
P Y =
=
，
故选：C.
5．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）随机变量
2
3,
,
3,
X
B
p
Y
N
s
~
~
，若
1
0.488,
(1
3)
P X
P
Y
p
³
=
£
<
=
，则
(
5)
P Y >
= （ ）
A．0.4
B．0.3
C．0.2
D．0.1
【答案】B
【详解】已知随机变量
3,
X
B
p
~
，
根据二项分布的概率公式可得
0
0
3
3
3
0
C
(1
)
(1
)
P X
p
p
p
=
=
-
=
-
，
则
3
1
1
0
1 (1
)
0.488
P X
P X
p
³
= -
=
= -
-
=
.
解得1
0.8
p
-
=
，
0.2
p =
.
已知
2
3,
Y
N
s
~
，因为
(1
3)
0.2
P
Y
p
£
<
=
=
，且
(
3)
0.5
P Y <
=
，
所以
(
1)
(
3)
(1
3)
0.5
0.2
0.3
P Y
P Y
P
Y
<
=
<
-
£
<
=
-
=
，
又因为
(
1)
(
5)
P Y
P Y
<
=
>
，
所以
(
5)
0.3
P Y >
=
.
故选：B
6．（24-25 高二下·北京东城·期末）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1 分，掷出反面得2 分、投掷了3 次，设总分
为X ，那么X 的数学期望为（ ）
A．9
4
B．4
C．9
2
D．5
【答案】C
【详解】根据已知条件有X 的可能取值为3，4 ，5 ，6 ；
0
3
0
3
1
1
1
3
C
2
2
8
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
1
2
1
3
1
1
3
4
C
2
2
8
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
1
2
3
1
1
3
5
C
2
2
8
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
0
3
3
1
1
1
6
C
2
2
8
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以X 的分布列为：
X
3
4
5
6
P
1
8
3
8
3
8
1
8
所以
1
3
3
1
9
3
4
5
6
8
8
8
8
2
D X = ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
.
故选：C
7．（24-25 高二下·河南南阳·期末·多选）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X 服从两点分布，且
2
0
3
P X =
=
，则
1
3
E X =
B．某实验室有6 只小白鼠，其中有3 只已经测量过某项指标，若从这6 只小白鼠中随机取出3 只，则恰好有
2 只测量过该指标的概率为9
20
C．若随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
，则
5
6
P X
P X
=
>
=
D．若随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
，且
3
1
Y
X
=
- ，则
15
E Y =
，
16
D Y =
【答案】ABD
【详解】对于A，因为随机变量X 服从两点分布，且
2
0
3
P X =
=
，所以
1
1
3
P X =
=
，所以
2
1
1
0
1
3
3
3
E X =
´
+ ´
=
，所以A 正确；
对于B，恰好有2 只测量过该指标的概率为
2
1
3
3
3
6
C C
9
C
20
P =
=
，所以B 正确；
对于C，因为随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
5
3
5
8
8
2
2
1792
5
C
1
3
3
3
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
6
2
6
8
8
2
2
1792
6
C
1
3
3
3
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，所以
5
6
P X
P X
=
=
=
，所以C 错误；
对于D，因为随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
2
16
8
3
3
E X = ´
=
，
2
1
16
8
3
3
9
D X = ´
´
=
，又
3
1
Y
X
=
- ，所
以
3
1
15
E Y
E X
=
- =
,
9
16
D Y
D X
=
=
，所以D 正确.
故选：ABD
8．（24-25 高二下·河南漯河·期末·多选）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3
次，每次投中得1 分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3 次，如果第一次投中可进行第二次投篮，
如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2 分，未投中不得分，累计
计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为
0
1
p
p
<
<
，且各次投篮相互独立．甲选择方式1 投篮，乙选择方式
2 投篮．则下列说法正确的是（ ）
A．当
2
3
p =
时，甲得1 分的概率为2
3
B．当
2
3
p =
时，甲至少得1 分的概率为26
27
C．当
2
3
p =
时，乙最多得2 分的概率为5
9
D．当
3
1
1
2
p
- <
< 时，乙得分的期望大于甲得分的期望
【答案】BCD
【详解】当
2
3
p =
时，设甲得分为X，则
2
3, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
:
，所以
1
2
1
3
2
1
2
1
C
3
3
9
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
3
1
26
1
1
0
1
3
27
P X
P X
æ
ö
³
= -
=
= -
=
ç
÷
è
ø
，选项A 错误，选项B 正确；
对于选项C，设乙的得分为Y，则Y 可取0，2，4，6．
当
2
3
p =
时，
1
0
3
P Y =
=
，
2
1
2
2
3
3
9
P Y =
=
´
=
，
1
2
5
2
3
9
9
P Y £
=
+
=
，选项C 正确；
对于选项D，
0
1
P Y
p
=
= -
，
2
1
P Y
p
p
=
=
-
，
2
4
1
P Y
p
p
=
=
-
，
3
6
P Y
p
=
=
．
Y 的分布列为
Y
0
2
4
6
P
1
p
-
1
p
p
-
2 1
p
p
-
3
p
2
3
3
2
0
1
2
1
4
1
6
2
2
2
E Y
p
p
p
p
p
p
p
p
p
=
´
-
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
=
+
+
，
因为
3
E X
p
=
，由
2
2
2
1
0
E Y
E X
p
p
p
-
=
+
-
>
，得
3
1
1
2
p
- <
< ，
即当
3
1
1
2
p
- <
< 时，
E Y
E X
>
，选项D 正确．
故选：BCD．
9．（24-25 高二下·天津·阶段练习）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6 支气枪，其中有2 支气枪未
经试射校正，有4 支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中
目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1 次射击，射中目标的概率是：
；若此少年射手任取一支
气枪进行3 次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2 次射中目标的概率为
．
【答案】
2
3
4
9
【详解】由题意可知，拿到校正过的气枪概率为2
3 ，拿到未校正过的气枪概率1
3 ，
则随机一把气枪射中的概率为2
1
2
0.8
0.4
3
3
3
´
+
´
=
，
随机一把气枪，射击三次，每次射击结果相互不影响，则射中次数X 服从二项分布，则
2
(3, )
3
X
B
:
，
恰有两次射中的概率
2
2
3
2
1
4
(
2)
C ( )
3
3
9
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
.
故答案为：2
3 ，4
9 .
10．（24-25 高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是2
3 ，从中随机选择4 粒种
子进行播种，则恰有3 粒种子发芽的概率是 .
【答案】32
81
【详解】根据题意，种子发芽的粒数X ，
2
~
4, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
3
3
4
2
1
32
3
C
3
3
81
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
所以恰有3 粒种子发芽的概率是32
81 .
故答案为：32
81 .
11．（24-25 高二下·四川南充·期末）有2 台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为94%，第二台加
工的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为96%.
(1)设第一台车床加工的零件有a 件，第二台车床加工的零件有b 件，求证：b
a
=
；
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取4 个零件，用频率估计概率，记这4 个零件中来自第二台车床的个数为X ，
求X 的分布列、数学期望和方差.
【答案】(1)证明见解析
(2)分布列见解析，
(
)
2
E X = ，
(
)
1
D X =
【详解】（1）已知第一台车床加工的零件有a 件，合格品有0.94a 件，
第二台车床加工的零件有b 件，合格品有0.98a 件，
混合后的合格率为0.94
0.98
0.96
a
b
a
b
+
=
+
，解得a
b
=
.
（2）由a
b
=
可知，一个零件来自第二台车床概率为
1
2
b
a
b =
+
，
随机变量X 可能取值有0,1,2,3,4 ，来自第二台车床零件的个数X 服从二项分布，
则
1
4, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
:
X
B
，
可得
0
4
0
4
1
1
1
0
C
2
2
16
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
1
3
1
4
1
1
1
1
C
2
2
4
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
2
2
2
4
1
1
3
2
C
2
2
8
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
3
1
3
4
1
1
1
3
C
2
2
4
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
4
0
4
4
1
1
1
4
C
2
2
16
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
随机变量X 分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
根据二项分布，
1
(
)
4
2
2
=
´
=
E X
，
1
1
(
)
4
1
2
2
D X =
´
´
=
12．（24-25 高二下·重庆·期末）某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8 个
颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3 个，标有“哪”“吒”字样的小球
共5 个．每位观众将从容器中一次性抽取2 个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪
吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍．
(1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？
(2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望；
(3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3 个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求
他获奖的概率．
【答案】(1)1 个或4 个
(2)分布列见解析，数学期望为3
7
(3)答案见解析
【详解】（1）设标有“悟”字样的小球有x 个，标有“哪”字样的小球有y 个，
一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B，
则由题意得
1
1
3
2
8
C C
C
x
x
P A
-
=
，
1
1
5
2
8
C C
C
y
y
P B
-
=
，
所以
1
1
1
1
5
3
2
2
8
8
C C
C C
2
C
C
y
y
x
x
-
- =
，
2
3
5
x
x
y
y
-
=
-
因为
1
x = 或2；解得
1
y = 或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1 个或4 个．
（2）由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为
1
1
1
4
2
8
C C
1
C
7
=
，设三位观众中二等奖的人数为X ，
则
1
~
3, 7
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
3
1
216
0
1
7
343
P X
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
1
3
1
1
108
1
C
1
7
7
343
P X
æ
ö
=
=
´
´
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
3
1
1
18
2
C
1
7
7
343
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
´
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
1
1
3
7
343
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
216
343
108
343
18
343
1
343
所以
1
3
3
7
7
E X = ´
=
．
（3）①若有1 个“哪”和4 个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2 个小球，要么
是组成“悟空”，或者是至少1 个“吒”，
此时获奖的概率为
1
2
1
1
2
4
4
3
2
7
C
C
C C
20
C
21
P
+
+
=
=
．
②若有4 个“哪”和1 个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2 个小球，要么是组
成“悟空”，或者是有1 个“吒”，
此时获奖的概率为
1
1
2
6
2
7
C
C
8
C
21
P
+
=
=
．
13．（24-25 高二下·北京房山·期末）某课题小组从某市中学生中随机抽取了100 名学生，调查了他们平时整理数学
错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4 天及以上整理数学错题视为“经
常整理”，少于4 天视为“不经常整理”.
每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.
(1)从全市中学生中随机抽取1 名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；
(2)从全市中学生中随机抽取4 名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
【答案】(1)0.6
(2)分布列见解析，
2.4
E X =
【详解】（1）从全市中学生中随机抽取1 名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为
0.4
0.2
0.6
P =
+
=
；
（2）由题意可得
~
4,0.6
X
B
，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4 ，
所以
4
0
0
4
2
3
16
0
C
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
3
1
1
4
2
3
96
1
C
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
2
2
2
4
2
3
216
2
C
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
1
3
3
4
2
3
216
3
C
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
0
4
4
4
2
3
81
4
C
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
所有X 的分布列为：
X
k
=
0
1
2
3
4
P X
k
=
16
625
96
625
216
625
216
625
81
625
X 的数学期望为
4 0.6
2.4
E X =
´
=
.
14．（24-25 高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从
某批产品中随机抽取10 箱进行检测，其中有6 箱为一等品．
(1)现从这10 箱产品中随机抽取3 箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；
(2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3 箱，用X 表示抽到一等品的箱数，求X 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
1
2
(2)分布列见解析，9
5
【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件A ，
则
2
1
6
4
3
10
C C
60
1
( )
C
120
2
P A =
=
=
．
（2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为6
3
10
5
=
，
因为X 可能的取值为0，1，2，3，且X 服从二项分布
3
3, 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
所以
3
2
8
(
0)
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
2
1
3
3
2
36
(
1)
C 5
5
125
P X
æ
ö
=
=
×
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
3
3
2
54
(
2)
C
5
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
3
3
27
(
3)
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以随机变量X 的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
8
125
36
125
54
125
27
125
数学期望
3
9
(
)
3
5
5
E X = ´
=
．
1．（24-25 高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均
为2
3 ，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ）
A．20
27
B．12
27
C．8
27
D．4
27
【答案】A
【详解】设答对的题目数量为X ，则
2
3, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
:
，
2
3
2
3
2
1
2
20
2
2
3
C
3
3
3
27
P X
P X
P X
æ
ö
æ
ö
³
=
=
+
=
=
´
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
故选：A.
2．（24-25 高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次向左移动的
概率为1
4 ，向右移动的概率为3
4 ．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5 次移动后，该质点位与点1的距离不
大于一个单位的概率为（ ）
A．50
243
B．17
512
C．135
512
D．17
81
【答案】C
【详解】由题意，设质点向右移动k 次，向左移动5 k
-
次.
∴最终位置为：
5
1
2
5
x
k
k
k
=
+
-
´ -
=
- ，
∴|
1| 1
x -
£ ，解得：0
2
x
£
£
，
∴0
2
5
2
k
£
-
£
，解得：5
7
2
2
k
£
£
，
∵k 为正整数，
∴
3
k =
，
∴质点向右移动3 次，向左移动5
5
3
2
k
-
=
-
=
次，
∴该质点位与点1的距离不大于一个单位的概率为：
3
2
3
5
3
1
27
1
135
C
10
4
4
64
16
512
P
æ
ö
æ
ö
=
´
´
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故选：C.
3．（24-25 高二下·海南海口·阶段练习）某新能源汽车公司生产的电池容量
2
~
50,
X
N
s
（单位：千瓦时），且
考点二
建立二项分布模型解决实际问题
47
53
0.8
P
X
£
£
=
．若质检部门随机抽检4 块电池，则恰好有2 块电池的容量在53千瓦时以上的概率为（ ）
A．0.0081
B．0.0162
C．0.0486
D．0.0972
【答案】C
【详解】因为
2
~
50,
X
N
s
，所以由正态密度曲线的对称性可知
1
47
53
1 0.8
53
0.1
2
2
P
X
P X
-
£
£
-
>
=
=
=
，
若质检部门随机抽检4 块电池，其中容量在53千瓦时以上的电池块数为x ，则
~
4,0.1
B
x
，
由二项分布的概率公式可得
2
2
2
4
2
C
0.9
0.1
0.0486
P x =
=
´
´
=
.
故选：C.
4．（24-25 高一下·黑龙江·期末）某班准备从全班50 人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第
一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均
匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个
小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（ ）
A．1
3
B．1
50
C．1
150
D．1
18
【答案】A
【详解】由题意，抽签顺序有6 种可能，分别为{甲乙丙}、{甲丙乙}、{乙甲丙}、{乙丙甲}、{丙甲乙}、{丙
乙甲}，各情况出现概率为1
6 ，
对于{甲乙丙}、{甲丙乙}两种情况，此时甲胜出的概率为1
3 ，
对于{乙甲丙}、{丙甲乙}两种情况，此时甲胜出的概率为2
1
1
3
2
3
´
=
，
对于{乙丙甲}、{丙乙甲}两种情况，此时甲胜出的概率为2
1
1
1
3
2
3
´
´ =
，
法一：甲胜出的概率为1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
3
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
；
法二：无论哪种情况甲胜出的概率为1
18 ，故甲胜出服从
1
(6,
)
18
B
，则甲胜出的概率均值为
1
1
6 18
3
´
=
.
故选：A
5．（24-25 高二下·河南信阳·期末·多选）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3
次，每次投中得1 分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3 次，如果第一次投中可进行第二次投篮，
如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2 分，未投中不得分，累计
计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为
0
1
p
p
<
<
，且各次投篮相互独立．甲选择方式1 投篮，乙选择方式
2 投篮．则下列说法正确的是（ ）
A．当
2
3
p =
时，甲得1 分的概率为2
3
B．当
2
3
p =
时，甲至少得1 分的概率为26
27
C．当
2
3
p =
时，乙最多得2 分的概率为5
9
D．当
3
1
1
2
p
- <
< 时，乙得分的期望大于甲得分的期望
【答案】BCD
【详解】对于AB 选项，当
2
3
p =
时，设甲得分为X ，则
2
3, 3
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø ，
所以
1
2
1
3
2
1
2
1
C
3
3
9
P X
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
3
1
26
1
1
0
1
3
27
P X
P X
æ
ö
³
= -
=
= -
=
ç
÷
è
ø
，A 错误，B 正确；
对于C，设乙的得分为Y ，则Y 可取0，2，4，6．
当
2
3
p =
时，
1
0
3
P Y =
=
，
2
1
2
2
3
3
9
P Y =
=
´
=
，则
1
2
5
2
3
9
9
P Y £
=
+
=
，C 正确；
对于D，
0
1
P Y
p
=
= -
，
2
1
P Y
p
p
=
=
-
，
2
4
1
P Y
p
p
=
=
-
，
3
6
P Y
p
=
=
，
Y 的分布列为：
Y
0
2
4
6
P
1
p
-
1
p
p
-
2 1
p
p
-
3
p
2
3
3
2
0
1
2
1
4
1
6
2
2
2
E Y
p
p
p
p
p
p
p
p
p
=
´
-
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
=
+
+
，
因为
3,
X
B
p
~
，
3
E X
p
=
，
由
3
2
2
2
2
2
3
2
2
1
E Y
E X
p
p
p
p
p
p
p
-
=
+
+
-
=
+
-
，
令
2
2
2
1
0
p
p
p
+
-
>
，即
2
2
2
1
0
p
p
+
- >
，解得
3
1
1
2
p
- <
< ，
即当
3
1
1
2
p
- <
< 时，
E Y
E X
>
，选项D 正确．
故选：BCD．
6．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习·多选）某计算机程序运行
*
2k k ÎN
次，每次运行都等可能地产生0 或1中
的一个数．记1出现的次数为x ，1出现的次数多于0 出现的次数的概率为
P k ，则（ ）
A．
1
~
2 , 2
B
k
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1
3
2
32
P
P
-
=
C．
2
2
2
2
C
2
k
k
k
k
P k +
=
D．
1
P k
P k
<
+
【答案】ABD
【详解】对于A 选项，依题意易得
1
2 , 2
B
k
x
æ
ö
~
ç
÷
è
ø，A 正确，
对于C 选项，
2
2
2
2
1
1
1
C
1
C
2
2
2
r
k r
k
r
r
k
k
P
r
x
-
æ
ö æ
ö
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø
，
所以
2
2
2
2
1
1
1 C
1
C
1
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
P
k
P k
P
k
x
x
+
æ
ö
-
ç
÷
-
=
è
ø
=
>
=
=
=
-
，
显然
2
1
2
2
2
C
2
k
k
k
k
P k
+
+
=
，C 错误；
对于B 选项，
3
2
6
4
7
5
C
C
1
1
1
3
2
2
2
2
2
32
P
P
æ
ö
æ
ö
-
=
-
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，B 正确；
对于D 选项，因为
2
2
2
1
2
C
C
1
1 1
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
P k
+
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
，所以
1
2
2
2
2
C
1
1
1
2
2
k
k
k
P k
+
+
+
æ
ö
+
=
-
ç
÷
è
ø
．
因为
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
!
C
4
2
1
4C
4(
1)
! !
2
1
2
2 !
C
C
2
2
2
1
2
1
2
1 !
1 !
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
×
+
+
=
=
=
=
>
+
+
+
+
+
+
，
所以
1
2
2
2
2
2
2
C
C
2
2
k
k
k
k
k
k
+
+
+
>
，所以
1
P k
P k
<
+
，D 正确．
故选：ABD.
7．（24-25 高二下·上海浦东新·阶段练习）甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为60% ，某天两人进行一场五局三
胜的比赛，最终胜者将赢得100 元的奖金，不考虑平局.在比分是1:1的情况下，甲应该分
元奖金比较公
平．
【答案】64.8
【详解】在比分是1:1的情况下，甲赢的概率是
2
2
1
2
3
2
3
81
C
5
5
5
125
P
æ
ö æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø
，
故甲应该分
81
100
64.8
125
´
=
元.
故答案为：64.8.
8．（24-25 高二下·河南周口·期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每
天打卡结果相互独立．若小明连续参与5 天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则
3
P X =
=
．（用数字
作答）
【答案】0.2048/ 128
625
【详解】由题设
(5,0.8)
X
B
:
，则
3
3
2
5
3
C 0.8 (1 0.8)
0.2048
P X =
=
-
=
.
故答案为：0.2048
9．（2025·河北秦皇岛·三模）某大棚疏菜种植基地为增强光照强度，引进了4 台大型照明设备，已知在一个月时间
里，每台设备至多出现一次故障，且每台设备是否出现故障互不影响，出现故障时需要一名技术员维修，每台设
备出现故障的概率均为1
3 ．
(1)设一个月内这4 台设备有X 台出现故障，请写出X 的分布列和数学期望．
(2)如果该种植基地要保证在任何时刻每台设备同时出现故障时都能及时得到维修的概率不小于0.85，那么应该至
少雇佣多少名技术员？
(3)已知1 名技术员每月只能维修1 台设备，每月需支付给每位技术员1 万元工资．每台设备不出现故障或者出现
故障能及时维修，就能带来5 万元利润，否则就不产生利润，为使每月利润更高，请判断该基地应该雇佣2 名技
术员还是3 名技术员？
【答案】(1)分布列见解析；期望为4
3
(2)至少雇佣2 名技术员
(3)需雇佣2 名技术员
【详解】（1）由题意可知
1
4, 3
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø
，则
4
4
1
2
C ( )
( )
0,1,2,3,4
3
3
k
k
k
P X
k
k
-
=
=
×
=
．
则X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
16
81
32
81
24
81
8
81
1
81
X 的数学期望为
1
4
4
3
3
E X =
´
=
．
（2）设在某一时刻同时出现故障的设备数为Y，则
1
4, 3
Y
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø ．
设该种植基地雇佣n 名技术员，则由题意可知
0.85
P Y
n
£
³
，
又
16
32
48
1
0
1
0.85
81
81
81
P Y
P Y
P Y
£
=
=
+
=
=
+
=
<
，
48
24
72
2
0
1
2
0.85
81
81
81
P Y
P Y
P Y
P Y
£
=
=
+
=
+
=
=
+
=
>
，
所以至少雇佣2 名技术员．
（3）设种植基地每月利润Z 万元．
①雇佣2 名技术员，则Z 的可能取值为8，13，18．
1
8
4
81
P Z
P Y
=
=
=
=
，
8
13
3
81
P Z
P Y
=
=
=
=
，
16
32
24
8
18
2
81
9
P Z
P Y
+
+
=
=
£
=
=
，
所以每月平均利润
1
8
8
1408
8
13
18
81
81
9
81
E Z = ´
+
´
+
´
=
（万元）．
②雇佣3 名技术员，则Z 的可能取值为12，17，
1
12
4
81
P Z
P Y
=
=
=
=
，
80
17
3
81
P Z
P Y
=
=
£
=
，
所以每月平均利润
1
80
1372
12
17
81
81
81
E Z =
´
+
´
=
（万元）．
因为1408
1372
81
81
>
，所以需雇佣2 名技术员．
10．（24-25 高二下·重庆·期末）DeepSeek 是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，
B 两个部门全体员工共60 人参加培训．
(1)此次培训的员工中有5 名部门领导，其中有3 人来自A 部门．从这5 名部门领导中随机选取2 人，记x 表示选
取的2 人中来自A 部门的人数，求随机变量x 的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为2
3 ，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20 万元，培训
未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10 万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2 万元的其他成本和
费用．试估计该公司A，B 两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．
【答案】(1)分布列见解析，期望为6
5
(2)880万元
【详解】（1）由题意可知，
0,1,2
x =
，
2
2
2
5
C
1
0
C
10
P x =
=
=
，
1
1
3
2
2
5
C C
3
1
C
5
P x =
=
=
，
2
3
2
5
C
3
0
C
10
P x =
=
=
，
所以随机变量x 的分布列如下，
x
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
1
3
3
6
0
1
2
10
5
10
5
E x =
´
+ ´
+ ´
=
；
（2）设X 为经过培训合格的人数，
2
60, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
:
，
2
60
40
3
E X =
´
=
，不合格人数为60
X
-
，
员工为公司创造的利润为
20
10 60
10
600
Y
X
X
X
=
+
-
=
+
万元，
则
10
600
10
600
10 40
600
1000
E Y
E
X
E X
=
+
=
+
=
´
+
=
万元，
公司的年利润为1000
2 60
880
- ´
=
万元.
所以估计该公司A，B 两部门经培训后创造的年利润为880万元.
11．（24-25 高二下·河北沧州·期末）某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90 分（含90 分）以上算
及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合
放在一起，则及格率为88％．
(1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比；
(2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率；
(3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3 份，用频率估计概率，记这3 份成绩来自甲学校的份数为X，求X
的分布列和数学期望．
【答案】(1)1:4；
(2) 9
11
(3)分布列见解析，3
5
【详解】（1）设甲学校参加考试的人数为m，因为及格率为80％，所以甲学校及格的人数为0.8m，
设乙学校参加考试的人数为n，因为及格率为90％，所以乙学校及格的人数为0.9n ，
当两所学校参加考试的学生混合在一起后，总人数为m
n
+
，及格率为88％，
所以甲、乙两所学校及格人数为
0.88 m
n
+
，
根据题意，
0.8
0.9
0.88
m
n
m
n
+
=
+
，
化简得0.02
0.08
n
m
=
，即
:
1: 4
m n =
，
所以甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比为1:4．
（2）设事件M =“任取一份成绩，该成绩来自乙学校”，
事件N = “任取一份成绩，该成绩为及格”，
由（1）知，
4
5
P M =
，
88
P N =
％，
90
P N M =
％，
所以所求概率
4
90
9
5
88
11
P M P N M
P MN
P M N
P N
P N
´
=
=
=
=
％
％
．
（3）由（1）知，从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取一份成绩，该成绩来自甲学校的概率是1
5 ，
根据题意，X 的可能取值为0，1，2，3，且
1
3, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
:
，
3
4
64
0
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
2
1
3
1
4
48
1
C
5
5
125
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
3
1
4
12
2
C
5
5
125
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
1
3
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
64
125
48
125
12
125
1
125
X 的数学期望
1
3
3 5
5
E X = ´
=
．
12．（24-25 高二下·浙江杭州·阶段练习）某地举行猜灯谜比赛，以个人形式参赛，每轮猜一个灯谜，猜中得10
分，猜错得10
-
分，参赛者初始积分为0 分.若某轮比赛后总积分为0 分或低于0 分，则被淘汰，不能继续参加后
面轮次的猜灯谜活动.已知参赛者甲每个灯谜猜中的概率都是1
3 ，记其参加了n 轮比赛后的总积分为
n
S .
(1)求
5
30
S =
的概率；
(2)求
7
10
S =
的概率；
(3)求甲在参加了
*
2
2
n
n
+
ÎN
轮比赛后被淘汰的概率.
【答案】(1) 2
81
(2)
7
40
3
(3)
1
1
2
2
2
2
2
C
C
3
n
n
n
n
n
n
+
-
+
-
×
【详解】（1）用1 表示某轮猜中，用1
- 表示某轮猜错.
由
5
30
S =
，则前5 轮猜灯谜的情况可以用数列表示为：
1，1，1，1，1
- 或1，1，1，1
- ，1 或1，1，1
- ，1，1，
故
5
30
S =
的概率
4
1
1
2
2
3
3
3
81
P
æ
ö
= ´
´
=
ç
÷
è
ø
.
（2）由
7
10
S =
，则前7 轮猜谜语的情况可以用数列表示为：
1，1，1，1，1
- ，1
- ，1
- 或1，1，1，1
- ，1，1
- ，1
- ，
或1，1，1
- ，1，1，1
- ，1
- 或1，1，1
- ，1，1
- ，1，1
- ，
或1，1，1，1
- ，1
- ，1，1
- ，
故
7
10
S =
的概率
4
3
2
7
1
2
40
5
3
3
3
P
æ
ö
æ
ö
= ´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
（3）甲在参加了
*
2
2
n
n
+
ÎN
轮比赛后被淘汰，其比赛情况用1，1
- 表示得到的数列，
第一项是1，最后一项是1
- ，中间2n 项是由n 个1，n 个1
- 组成的数列，
观察中间2n 项组成的新数列，记其前k 项和为
kT ，则
0
kT ³
对
1,2,3,
,2
k
n
Î
×××
恒成立.
由n 个1，n 个1
- 组成的数列，共有
2
Cn
n 个.
现在考虑，由n 个1，n 个1
- 组成，且存在
1,2,3,
,2
k
n
Î
×××
使得
0
kT <
的数列的个数.
不妨设满足
0
kT <
的k 的最小值为m ，则一定有
1
m
T = - ，且m 为奇数，
这个数列的前m 项有
1
2
m - 个1 和
1
2
+
m
个1
- ，
将此数列的前m 项中的1 改成1
- ，1
- 改成1，其他项不变，
这样就得到了由
1
n + 个1，
1
n - 个1
- 组成的数列；
反过来，由
1
n + 个1，
1
n - 个1
- 组成的数列，
因为其前2n 项和为2，所以一定存在k ，使得其前k 项和大于0，
找到这样的k 的最小值m ，则前m 项和为1，且m 为奇数，
前m 项中有
1
2
m - 个1
- 和
1
2
+
m
个1，
将其前m 项中的1
- 改成1，1 改成1
- ，其他项不变，
则得到的数列是由n 个1，n 个1
- 组成的数列，且
1
0
m
T = - <
.
因此，由n 个1，n 个1
- 组成，且存在
1,2,3,
,2
k
n
Î
×××
使得
0
kT <
的数列的个数，
等于由
1
n + 个1，
1
n - 个1
- 组成的数列的个数，为
1
2
Cn
n
- .
所以中间2n 项符合条件的数列个数是
1
2
2
C
C
n
n
n
n
-
-
.
因此，甲在参加了
*
2
2
n
n
+
ÎN
轮比赛后被淘汰的概率
1
1
3
2
2
2
2
2
C
C
3
n
n
n
n
n
n
P
+
-
+
=
-
×
.
1．（24-25 高二下·四川广元·期末）若随机变量X 服从二项分布
1
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
P X
k
=
取得最大值时，k = （ ）
A．2 或3
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】由题可知：
8
-1
9
-1
8
8
8
+1
7
+1
8
8
1
2
1
2
C
C
1
3
3
3
3
1
1
2
1
2
C
C
3
3
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
P X
k
P X
k
P X
k
P X
k
-
-
-
-
ì
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
³
ï
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ì
=
³
=
-
ï
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
Þ
í
í
=
³
=
+
ïî
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
ï
³
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
î
，
所以化简得到
8
1
8
2
! 8
!
3
1 ! 9
!
3
2
3
8
2
8
1
! 8
!
3
1 ! 7
!
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ì
´
³
´
ï
-
-
-
ï
Þ
£
£
í
ï
´
³
´
ï
-
+
-
î
！
！
！
！
，又
N
k Î
，所以k = 2 或3.
故选：A
2．（24-25 高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200 元的顾客的频率
为2
5 ，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20 人赠送小礼品，若这20 人中有k 人消费超过200 元
的概率最大，则k 的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．8 或9
【答案】B
【详解】由题知抽到消费超过200 元的人数X ，
2
~
20, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
则
20
20
2
3
C
5
5
k
k
k
P X
k
-
æ
ö æ
ö
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，又这20 人中有k 人消费超过200 元的概率最大，
所以
20
1
21
1
20
20
20
1
19
1
20
20
2
3
2
3
C
C
5
5
5
5
2
3
2
3
C
C
5
5
5
5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
-
-
+
-
+
ì
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
³
ï
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
í
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
ï
³
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
î
，
即
20
2
20!
3
! 20
! 5
1 ! 21
! 5
20
3
20!
2
! 20
! 5
1 ! 19
! 5
k
k
k
k
k
k
k
k
ì
×
³
×
ï
-
-
-
ïí
ï
×
³
×
ï
-
+
-
î
！
！
，解得37
42
5
5
k
£
£
，
又
N
k Î
，所以
8
k =
.
故选：B.
考点三
服从二项分布的随机变量概率最大问题
3．（24-25 高二下·浙江嘉兴·期末）某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，
最多有10 次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，
已知甲先投篮6 次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为2
3 ，为了使最终得分不低于7 分的概率最大，则该
同学继续投篮的次数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为甲先投篮6 次均投中，即已得6 分，接下来的4 次投篮，若要使最终得分不低于7 分，则至少得1
分，甲继续投篮最终得分不低于7 分的情况如下：
①仅投篮1 次并投中：
1
2
18
3
27
P =
=
，
②投篮2 次均投中：
2
2
2
4
12
3
3
9
27
P =
´
=
=
，
③投篮3 次均投中或仅投中2 次：
3
2
2
3
3
2
2
1
20
C
3
3
3
27
P
æ
ö
æ
ö
=
+
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
④投篮4 次均投中或仅投中3 次：
4
3
3
4
4
2
2
1
16
C
3
3
3
27
P
æ
ö
æ
ö
=
+
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
显然甲同学继续投篮3 次，得分不低于7 分的概率最大.
故选：C.
4．（24-25 高二下·河南信阳·期末）某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且
,0.8
X
B n
:
，记
kP
P X
k
=
=
，
0,1,2,
,
k
n
=
L
，若
7P 是唯一的最大值，则
D X 的值为（ ）
A．1.28
B．1.6
C．6.4
D．8
【答案】A
【详解】
,0.8
X
B n
~
，
C
1
n k
k
k
k
n
P
P X
k
p
p
-
=
=
=
-
，
0,1,2,
,
k
n
=
L
，
若
kP 是唯一的最大值，则
1
1
,
,
k
k
k
k
P
P
P
P
-
+
>
ì
í
>
î
所以
1
1
1
1
1
1
C
1
C
1
,
C
1
C
1
,
n k
n
k
k
k
k
k
n
n
n k
n
k
k
k
k
k
n
n
p
p
p
p
p
p
p
p
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
ì
-
>
-
ïí
-
>
-
ïî
解得
1
k
p
k
p
n
p
p
-
+ -
<
<
．
因为
7
k =
，
0.8
p =
，
7.75
9
n
\
<
<
，
nÎN
Q
，
8
n
\
= ．
1
8 0.8
1 0.8
1.28
D X
np
p
\
=
-
= ´
´
-
=
．
故选：A．
5．（24-25 高二下·宁夏银川·阶段练习·多选）某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且
,
X
B n p
～
，其中
*
nÎN ，0
1
p
<
< ，则下列说法正确的是（ ）
A．若
5
n =
，
1
2
p =
，则
5
4
E X =
B．若n 确定，则当
1
2
p =
时，
D X 有最大值
C．若
9
n =
，
4
5
p =
，则当
7
k =
或
8
k =
时，
P X
k
=
取得最大值
D．若
5
n =
，
1
3
p =
，则
192
2
243
p X £
=
【答案】BCD
【详解】对于A，在5 次射击中击中目标的次数
1
5, 2
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
:
，
则
1
5
5
2
2
E X
np
=
= ´
=
，故A 错误；
对于B，
2
1
1
1
2
4
D X
np
p
n
p
é
ù
æ
ö
=
-
=
-
-
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，
当
1
2
p =
时，
D X 取得最大值，故B 正确；
对于C，在9 次射击中击中目标的次数
9,0.8
X
B
~
，
当X
k
=
时对应的概率
9
9
C
0.8
0.2
0,1,2,
,9
k
k
k
P X
k
k
-
=
=
´
´
=
L
，
因为
P X
k
=
取最大值，
∴
1
1
P X
k
P X
k
P X
k
P X
k
ì
=
³
=
+
ïí
=
³
=
-
ïî
，
即
9
1
1
8
9
9
9
1
1
10
9
9
C
0.8
0.2
C
0.8
0.2
C
0.8
0.2
C
0.8
0.2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
-
-
-
-
-
ì
´
´
³
´
´
í
´
´
³
´
´
î
，即
1
4 9
4 10
k
k
k
k
ì + ³
-
ïí
-
³
ïî
，
解得7
8
k
£
£
，
因为k
*
ÎN 且0
9
k
£
£
，所以
7
k =
或
8
k =
，
P X
k
=
取得最大值，故C 正确；
对于D，在5 次射击中击中目标的次数
1
5, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
:
，
2
0
1
2
P X
P X
P X
P X
£
=
=
+
=
+
=
0
5
1
4
2
3
0
1
2
5
5
5
1
2
1
2
1
2
192
C
C
+C
3
3
3
3
3
3
243
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
´
+
´
´
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，故D 正确.
故选：BCD.
6．（24-25 高二下·陕西西安·期末·多选）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为
0
1
p
p
<
<
，他掷了k 次骰子，最终有6 次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量X 表示
每掷N 次骰子出现1点的次数，现以使
6
P X =
最大的N 值估计N 的取值并计算
E X ．若有多个N 使
6
P X =
最大，则取其中的最小N 值．下列结论正确的是（ ）
A．
,
X
B N p
:
B．
4
6
6
6
C
1
N
N
P X
p
p
-
=
=
-
C．
6
1
N
p
³
-
D．
6
E X <
【答案】ACD
【详解】对于A 选项，由题意可知，每次掷出后出现1点的概率为
0
1
p
p
<
<
，
由二项分布的定义可知
,
X
B N p
~
，A 对；
对于B 选项，由独立重复试验的概率公式可得
6
6
6
6
C
1
N
N
P X
p
p
-
=
=
-
，B 错；
对于C 选项，
6
P X =
最大即为满足
6
7
6
6
6
6
1
6
5
6
6
6
6
1
C
1
C
1
C
1
C
1
N
N
N
N
N
N
N
N
p
p
p
p
p
p
p
p
-
-
-
-
-
+
ì
-
³
-
ïí
-
³
-
ïî
，
解得6
6
1
N
p
p
- £
£
，C 对；
对于D 选项，因为N
+
ÎN ，故6
p 为整数时，
结合题设要求
6
1
N
p
=
- ，
6
1
6
E X
p
p
æ
ö
=
-
<
ç
÷
è
ø
；
6
p 不为整数时N 为小于6
p ，
6
E X
Np
=
<
，故
6
E X <
，D 对.
故选：ACD.
7．（24-25 高二下·吉林长春·期末·多选）某比赛共进行
+
2
N
n nÎ
局，每局比赛没有平局，2n 局比赛结束后赢得n
局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比
赛中获胜的概率为
2n
P ，下列结论正确的是（ ）
A．若
1
3
p =
，则
2
4
P
P
=
B．若
1
6
p =
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最大
C．若
5
6
p =
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最小
D．若
7
16
p =
，则当2
6
n =
时，
2n
P 最大
【答案】ABC
【详解】对于A，
2
2
1
1
( )
3
9
P =
=
，
1
3
4
4
4( )
( )
1
2
1
1
C
3
3
3
9
P =
×
+
=
，
2
4
P
P
=
，故A 正确；
当
2
n ³
时，记事件A = “甲在该比赛中获胜”，B = “第一局甲赢”，C = “第二局甲赢”，
2
( )
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
(
))
n
P
P A
P BC P A BC
P BC P A BC
P BC P A BC
P BC P A BC
=
=
+
+
+
，
当事件BC 和BC 发生时，要使得甲在该比赛中获胜，
则在后续的2
2
n -
局比赛中至少要赢n 局，则
2
2
(
)
(
)
n
P A BC
P A BC
P
-
=
=
；
当事件BC 发生时，要使得甲在该比赛中获胜，
则在后续的2
2
n -
局比赛中赢的局数大于
1
n - 或恰好赢了
1
n - 局，
所以
1
1
1
2
2
2
2
(
)
C
(1
)
n
n
n
n
n
P A BC
P
p
p
-
-
-
-
-
=
+
-
；
当事件BC 发生时，要使得甲在该比赛中获胜，
则在后续的2
2
n -
局比赛中赢的局数大于n ，
可看成事件“在后续的2
2
n -
局比赛中赢的局数大于
1
n - ”，
与事件“在后续的2
2
n -
局比赛中恰好赢了n 局”的差事件，
所以
2
2
2
2
2
(
)
C
(1
)
n
n
n
n
n
P A BC
P
p
p
-
-
-
=
-
-
，
则
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 (1
)
[
C
(1
)
]
(1
) [
C
(1
)
]
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
p
p P
p P
p
p
p
P
p
p
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
+
+
-
+
-
-
-
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
[2 (1
)
(1
) ]
C
(1
)
C
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
p
p
p
P
p
p
p
p
-
+
-
-
-
-
=
-
+
+
-
+
-
-
-
1
2
2
(
(2
2)!
1
)
(
1) 1
)]
!
[
1)!
(
(
n
n
n
n
P
p
p
np
n
p
n n
-
-
-
=
+
-
-
-
-
-
1
2
2
(2
2)!
1
)
1
(1 2 )
!(
1)!
(
n
n
n
n
P
p
p
p
p n
n n
-
-
-
=
+
-
-
-
-
-
，
即
1
2
2
2
(
(2
2)!
1
)
1
(1 2 )
!(
1)!
n
n
n
n
n
P
P
p
p
p
p n
n n
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
，
易得
1
0
(2
2)!
1
)
!(
1)
(
!
n
n
n
p
p
n n
-
-
-
>
-
，则我们讨论1
(1 2 )
p
p n
-
-
-
的正负即可，
对于B，若
1
6
p =
，则
5
4
1
(1 2 )
6
n
p
p n
-
-
-
-
=
，当
2
n ³
时，5
4
0
6
n
-
<
，
即
2
2
2
0
n
n
P
P
-
-
<
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最大，故B 正确，
对于C，若
5
6
p =
，则
1
4
1
(1 2 )
6
n
p
p n
+
-
-
-
=
，当
2
n ³
时，1
4
0
6
n
+
>
，
即
2
2
2
0
n
n
P
P
-
-
>
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最小，故C 正确，
对于D，若
7
16
p =
，则
9
2
1
(1 2 )
16
n
p
p n
-
-
-
-
=
，
当
4
n £
时，9
2
0
16
n
-
>
，此时
2
2
2
0
n
n
P
P
-
-
>
，
当
5
n ³
时，9
2
0
16
n
-
<
，此时
2
2
2
0
n
n
P
P
-
-
<
，
则当2
8
n =
时，
2n
P 最大，故D 错误.
故选：ABC
8．（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量
10,0.5
X
B
:
，则当
P X
k
=
取得最大值时，正整数k 的值是
．
【答案】5
【详解】由题可知
10
10
1
C
2
k
P X
k
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，所以
P X
k
=
取得最大值，即
10
Ck 最大，此时
5
k =
.
故答案为：5
9．（24-25 高二下·山东泰安·期末）若随机变量
~
(10,0.4)
X
B
，则当
(
)
P X
k
=
取最大值时，正整数k 的值
是
.
【答案】4
【详解】由题意
10
10
10
10
3
2
10!
3
2
(
)
C
5
5
! 10
!
5
k
k
k
k
k
P X
k
k
k
-
- ×
æ
ö
æ
ö
=
=
=
×
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
，
当
(
)
P X
k
=
取最大值时，
(
)
(
1)
(
)
(
1)
P X
k
P X
k
P X
k
P X
k
=
³
=
+
ì
í
=
³
=
-
î
，
即
10
9
1
10
10
10
11
1
10
10
10!
3
2
10!
3
2
! 10
!
5
1 ! 9
!
5
10!
3
2
10!
3
2
! 10
!
5
1 ! 11
!
5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+
-
-
-
ì
×
×
×
³
×
ï
-
+
-
ïí
×
×
ï
×
³
×
ï
-
-
-
î
，其中1
9,
N
k
k
£
£
Î
，
化简得
3
1
2 10
2 11
3
k
k
k
k
ì
+
³
-
ïí
-
³
ïî
，解得17
22 ,
N
5
5
k
k
£
£
Î
，
所以
(
)
P X
k
=
取最大值时，
4
k =
.
故答案为：4.
10．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，
其中红球有3 个，黑球有2 个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每
次先从甲盒子中随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球
放回甲盒子，当甲盒子中无球时，游戏停止.
(1)求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X 的分布列和期望；
(2)求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1 个的概率；
(3)设游戏进行到第n（
*
N
nÎ
，
5
n ³
）次后停止的概率为
np ，试问
np 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若
不存在，试说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
3
2
E X =
(2) 9
40
(3)存在，最大值为35
256
【详解】（1）投掷一次骰子，向上点数为质数的概率为
1
2 ，由题知，
1
~
3, 2
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
则
3
0
3
1
1
0
C
2
8
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
3
1
3
1
C
2
8
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
3
2
3
1
3
2
C
2
8
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
3
3
3
1
1
3
C
2
8
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，则X 的分
布列为：
X
0
1
2
3
P
1
8
3
8
3
8
1
8
则其期望为
1
3
3
2
2
E X = ´
=
.
（2）记M =“此人投掷三次骰子后，乙罐内恰有红、黑各一球”，
记
=
iA
“第i 次摸出红球，并且投掷出质数”，
1
i = ，2，3，
记
j
B =“第j 次摸出黑球，并且投掷出质数”，
1
j = ，2，3，
记
k
C = “第k 次摸出黑球或红球，并且没有投掷出质数”，
1
k = ，2，3，
所以
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
M
A B C
B A C
AC B
B C A
C A B
C B A
=
+
+
+
+
+
，
又
1
3
1
3
5
2
10
P A
=
´
=
，
2
1
2
1
1
4
2
4
P B A
=
´
=
，
3
1
2
1
1
1 2
2
P C A B
= ´
=
，
所以
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
1
3
1
2
3
1
1
3
10
4
2
80
P A B C
P A B
P C A B
P A
P B A
P C A B
=
×
=
×
×
=
´
´
=
，
同理
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
80
P B A C
P AC B
P B C A
P C A B
P C B A
=
=
=
=
=
，
所以
1
2
3
3
9
6
6
80
40
P M
P A B C
=
´
=
´
=
.
（3）第n 次投掷后游戏停止的情况是：前
1
n - 次投掷出质数恰好为4 次，没投掷出质数
5
n- 次，且第n 次骰子投
掷出质数时游戏停止，
所以
4
5
4
4
1
1
1
1
1
1
C
C
2
2
2
2
n
n
n
n
n
p
-
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
即
1
4
1
4
1
1
C
2
2
4
1
C
2
n
n
n
n
n
n
p
n
p
n
+
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
=
=
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
令
1
2
4
n
n
³
-
，解得
8
n £
，令
1
2
4
n
n
<
-
，解得
8
n >
，即
9
n ³
，
5
6
7
8
9
10
p
p
p
p
p
p
<
<
<
=
>
> L，所以
np 的最大值
8
9
35
256
p
p
=
=
.
11．（24-25 高三下·重庆北碚·阶段练习）全球首场人形机器人半程马拉松于4 月19 日在北京亦庄开跑，深圳优必
选与北京人形机器人创新中心联合研发的“天工Ultra”以2 小时40 分42 秒夺冠，引发了一众机器人爱好者的积极
关注.某公司自主研发了一款小型人形机器人，将100 台该机器人充满电后进行移动测试，移动的最大距离统计数
据如下图所示：
(1)若机器人移动最大距离超过均值的1.2 倍的为优秀品，试估计这款机器人的优秀率；
(2)用频率估计概率，将100 台该机器人充满电后随机平分成25 组，参加4 400
´
米接力比赛，测试人员同时启动每
组第一台机器人，之后每台机器人只有移动到400 米时，才能启动同组下一台机器人，且每个机器人的移动最大
距离相互独立.设到达终点完成比赛的组数为X ，求使得
P X
k
=
取最大值的k 的值.
【答案】(1)0.16
(2)7
【详解】（1）各组中点及频率：325 0.05
16.25,375 0.2
75,425 0.28
119
´
=
´
=
´
=
，
475 0.22
104.5,525 0.13
68.25,575 0.1
57.5
´
=
´
=
´
=
.
均值
16.25
75 119 104.5
68.25
57.5
440.5
E X =
+
+
+
+
+
=
米.
优秀标准：440.5 1.2
528.6
´
=
米，对应550
600
:
米组，频率为0.1，
500,550 区间内，大于等于528.6米的部分长度为21.4 米对应频率为：21.4
0.13
0.0556
50 ´
»
优秀率为两部分频率之和：0.0556
0.1
0.1556
0.16
+
=
»
.
（2）每组完成比赛的概率：机器人移动大于等于400 米的频率0.28
0.22
0.13
0.1
0.73
+
+
+
=
，
每组4 个机器人独立，故
4
0.73
0.284
p =
»
.
25,0.284
X
B
~
，利用二项式分布性质，
25 1
0.284
7.384
7
k =
+
´
=
=
.
12．（24-25 高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活
动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有
,
A B 两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A 组答题，只有A 组的两
道题均答对，方可进行B 组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A 组每道题答对的概率均为4
5 ，B 组每道题答对
的概率均为3
4 ，
,
A B 两组题至少答对3 题才可获得一张奖券.
(1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X 的分布列与数学期望
E X ；
(2)若甲同学进行了8 轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，64
25 ；
(2)5 ,理由见解析.
【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X 的可能取值有0,1,2,3,4 ，
则
2
4
1
1
,
0
5
25
P X
æ
ö
=
-
=
÷ø
=
çè
1
2
4
4
8
C
1
,
5
5
1
25
P X
æ
ö
=
=
÷
è
ø
=
-
ç
2
2
4
3
1
1
,
2
5
4
25
P X
æ
ö æ
ö
=
-
=
ç
÷
÷
è
è
ø
=
ç
ø
2
1
2
4
3
3
6
C
1
,
5
4
25
3
4
P X
æ
ö
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
ø
=
÷
è
ø
è
2
2
4
3
9 ,
5
25
4
4
P X
æ
ö æ
ö
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
=
ø
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
25
8
25
1
25
6
25
9
25
故
1
8
1
6
9
64
0
1
2
3
4
25
25
25
25
25
25
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
；
（2）由于
,
A B 两组题至少答对3 题才可获得一张奖券，
则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为
6
9
3
3
4
25
5
P
P X
P X
+
=
=
+
=
=
=
，
所以甲同学进行了8 轮答题，获得的奖券数
3
8, 5
Y
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø，
可得奖券数i 的概率为
8
8
3
2
C
5
5
i
i
i
P X
i
-
æ
ö æ
ö
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
0,1,2,
,8
i =
×××
，
假设甲同学获得k 张奖券的概率最大，则有:
8
1
9
1
8
8
8
1
7
+1
8
8
3
2
3
2
C
C
5
5
5
5
3
2
3
2
C
C
5
5
5
5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
-
-
+
-
ì
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
³
ï
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
í
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
ï
³
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
î
,化简得：
3
1
2
1
5
5
9
2
1
1
3
5
8
1
5
k
k
k
k
ì ´
³
´
ïï
-
í
ï ´
³
´
ï
-
+
î
，解得22
27
5
5
k
£
£
，
又因为
N
k Î
，所以
5
k =
，
即同学获得5 张奖券的概率最大.
13．（24-25 高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6 个红球和4 个黑球，这些球除颜色外完
全相同．游戏规定：每位参与者进行
n n
+
ÎN
次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸
球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将
球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若
4
n =
，
（i）求随机变量Y 的分布列和数学期望：
（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为
1P ，无放回摸
球中奖概率为
2P ，求
1P 和
2P 并比较它们大小．
(2)若
10
n =
，求当
(
)
P X
k
=
取得最大值时的k 值，并说明理由．
【答案】(1)（i）分布列见解析，12
5 ；（ii）
1
513
625
P =
，
2
37
42
P =
，
1
2
P
P
<
；
(2)
6
k =
，理由见解析.
【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，
Y 可取0，1，2，3，4，
4
6
4
4
10
C C
(
)
,
0,1,2,3,4
C
k
k
P Y
k
k
-
=
=
=
，
0
4
1
3
2
2
6
4
6
4
6
4
4
4
4
10
10
10
C C
C C
C C
1
4
3
(
0)
, (
1)
, (
2)
,
C
210
C
35
C
7
P Y
P Y
P Y
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3
1
4
0
6
4
6
4
4
4
10
10
C C
C C
8
1
(
3)
, (
4)
C
21
C
14
P Y
P Y
=
=
=
=
=
=
，
Y 服从超几何分布，Y 的分布列为：
Y
0
1
2
3
4
P
1
210
4
35
3
7
8
21
1
14
4,
6,
10
n
M
N
=
=
=
，所以
12
( )
5
nM
E Y
N
=
=
；
（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，
在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为
1P ，无放回摸球中奖概率为
2P ，
对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，
3
~
4, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
3
1
2
3
4
4
3
3
216
3
3
216
(
2)
C
1
, (
3)
C
1
,
5
5
625
5
5
625
P X
P X
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
4
0
4
4
3
3
81
(
4)
C
1
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
故
1
513
(
2)
(
3)
(
4)
625
P
P X
P X
P X
=
=
+
=
+
=
=
，
由（i）可知
2
37
(
2)
(
3)
(
4)
42
P
P Y
P Y
P Y
=
=
+
=
+
=
=
，
因为513
37
625
42
<
，所以
1
2
P
P
<
；
（2）当
10
n =
，则
3
~
10, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，若
(
)
P X
k
=
最大，则
(
)
(
1)
(
)
(
1)
P X
k
P X
k
P X
k
P X
k
=
³
=
+
ì
í
=
³
=
-
î
，
即
10
1
9
1
10
10
10
1
11
1
10
10
3
2
3
2
C
C
5
5
5
5
3
2
3
2
C
C
5
5
5
5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
+
-
-
-
-
ì
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
³
ï
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
í
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
ï
³
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
î
，得28
33
5
5
k
£
£
，又
N
k
+
Î
，
6
k
\
=
，即
6
k =
时，
(
)
P X
k
=
取得最大值．
14．（24-25 高二下·江苏镇江·期末）高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机
现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6 层圆柱形小木块，最顶层有2 个小木块，以下各层小
木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透
明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚
下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1,2,
,6
¼
的球槽内.
(1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏
机会.若小球落入X 号球槽，该商品可立减Y 元，其中
15
5
Y
X
=
-
.若该商品的成本价是20 元，从期望的角度考
虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）
(2)将63 个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3 号球槽中落入多少个小球的概率最大？
【答案】(1)25 元.
(2)3 号球槽中落入19 或20 个小球的概率最大
【详解】（1）X 的取值可能为1,2,3,4,5,6 .
5
4
1
5
1
1
1
1
5
1
6
,
2
5
C
2
32
2
2
32
P X
P X
P X
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
=
=
=
=
=
=
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
3
2
5
1
1
5
3
4
C
2
2
16
P X
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
=
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
因为
15
5
Y
X
=
-
，所以Y 的取值可能为0,5,10,15.
5
15
0
3
,
5
2
4
16
32
P Y
P X
P Y
P X
P X
=
=
=
=
=
=
=
+
=
=
，
3
1
10
1
5
,
15
6
16
32
P Y
P X
P X
P Y
P X
=
=
=
+
=
=
=
=
=
=
.
Y 的分布列为
Y
0
5
10
15
P
5
16
15
32
3
16
1
32
5
15
3
1
75
0
5
10
15
4.7
16
32
16
32
16
E Y =
´
+ ´
+
´
+
´
=
»
，
则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7 元，又该商品成本价是20 元，
所以该商品的最低定价约为25 元.
（2）由（1）得
5
3
16
P X =
=
.
进行63 次试验，设小球落入3 号球槽的个数为x ，则
5
63,16
B
x
æ
ö
~
ç
÷
è
ø
.
5
63 1
20
16
1
1
11
5
1
1
16
16
k
P
k
k
k
P
k
k
x
x
+
´
-
=
-
= +
= +
=
-
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
当
20
k <
时，
1
1
P
k
P
k
x
x
=
>
=
-
，即
1
P
k
P
k
x
x
=
>
=
-
；
当
20
k =
时，
1
1
P
k
P
k
x
x
=
=
=
-
，即
1
P
k
P
k
x
x
=
=
=
-
；
当
20
k >
时，
1
1
P
k
P
k
x
x
=
<
=
-
，即
1
P
k
P
k
x
x
=
<
=
-
.
所以当
20
k =
时，
20
19
P
P
x
x
=
=
=
，此时这两项概率均为最大1.
故3 号球槽中落入19 或20 个小球的概率最大.
