培优专题02 数列及其应用 4 大重难题型
💎题型 01 数列的通项公式问题
命题方向一 定义法求数列的通项公式
命题方向二 退位法求数列的通项公式
命题方向三 累加法求数列的通项公式
命题方向四 累乘法求数列的通项公式
命题方向五 构造求数列的通项公式
💎题型 02 数列的前 n 项和问题
命题方向一 分组求和法求数列的前项和
命题方向二 裂项相消法求数列的前项和
命题方向三 错位相减法求数列的前项和
💎题型 03 数列与不等式的综合应用
命题方向一 数列与不等式的证明
命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题
💎题型 04 数列与其他模块知识的创新交汇问题
命题方向一 数列与集合的融合创新
命题方向二 数列与复数的交汇问题
命题方向三 数列与三角的交汇问题
命题方向四 数列与概率统计交汇问题
命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题
题型01 数列的通项公式问题
抓关键·破难点
一、退位相减法：
◎适用于递推关系中含有
nS 与
na 的形式
（1）退位：仿照
nS 写出
1
nS - .
（2）相减求
na ：将
nS 与
1
nS - 的表达式代入
1
n
n
n
a
S
S -
=
-
中化简计算，得到
(
2)
na n ³
.
（3）验证：验证
1
n =
时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式.
二、构造法
◎适用于形如
1
( )(
1,
0)
n
n
a
pa
f n p
p
+ =
+
¹
¹
的递推公式求通项.
①若
( )
f n 为常函数：可构造
1
(
)(
n
n
a
p a
l
l l
+ + =
+
为待定系数）.
②若
( )
f n 为一次函数，可构造
1
1
2
1
2
1
2
(
1)
(
)( ,
n
n
a
n
p a
n
l
l
l
l
l l
+ +
+ +
=
+
+
为待定系数）.
③若
( )
f n 为①②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以
1
np + ，转化为
1
1
1
( )
n
n
n
n
n
a
a
f n
p
p
p
+
+
+
=
+
，令
n
n
n
a
b
p
=
，
1
( )
( )
n
f n
g n
p +
=
，原式转化为
1
( )
n
n
b
b
g n
+ =
+
，结合累加法求出
nb ，进而求得
na .
三、不动点法
◎适用于形如
1
( , , ,
n
n
n
ma
D
a
A B m D
Aa
B
+
+
=
+
为参数，
0,
0)
A
mB
AD
¹
-
¹
的递推公式求通项.
①求不动点：
( )
(
0,
0)
ax
b
f x
c
ad
bc
cx
d
+
=
¹
-
¹
+
，
1
1
1
( ),
( )
n
n
a
f a
a
f a
+ =
¹
，
令
ax
b
x
cx
d
+
=
+
，即
2 (
)
0
cx
d a x b
+
-
- =
，令此关于x的一元二次方程的两个根分别为
1
2
,
x x .
②构造特殊数列：若
1
2
x
x
=
，则有
1
1
1
1
1
(
n
n
p p
a
x
a
x
+
=
+
-
-
为参数），构造等差数列；若
1
2
x
x
¹
，则有
1
1
1
1
2
2
(
n
n
n
n
a
x
a
x q q
a
x
a
x
+
+
-
-
=
-
-
为参数），构造等比数列.
③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到
na .
刷经典·通方法
🎯命题方向一 定义法求数列的通项公式
1．（2021·新高考Ⅱ卷）记
n
S 是公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和，若
5
3a
S
=
，
2
4
4
a a
S
=
.
（1）求数列
na
的通项公式
na ；
（2）求使
n
n
S
a
>
成立的n 的最小值.
2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列
na
的公差为d ，且
1
d >
，令
2
n
n
n
n
b
a
+
=
，记
n
S ，
n
T 分别为数列
na
，
nb
的前n 项和.
（1）若
2
1
3
3
3
a
a
a
=
+
，
3
3
21
S
T
+
=
，求
na
的通项公式；
（2）若
nb
为等差数列，且
99
99
99
S
T
-
=
，求d.
3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知
na
是等差数列，
n
b
是等比数列，且
1
1
3
a
b
=
=
，2
4
2
2
a
a
b
+
=
，1
3
3
a a
b
=
．
（1）求
na
和
n
b
的通项公式；
（2）求数列
n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和．
🎯命题方向二 退位法求数列的通项公式
4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1
2,
3
2
1
n
n
a
S
S
n
+
=
=
+
- ．
（1）证明：
nS
n
+
为等比数列；
（2）设
3
n
n
n
a
b =
，求数列
n
b
的前n 项和nT．
5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1
2
3,
3
n
n
S
a
a
n
+
=
=
+ .
（1）证明：数列
na
为等差数列；
（2）求数列
1
2
1
n
n
n
S S +
ì
ü
+
í
ý
î
þ
的前n 项和
nT .
🎯命题方向三 累加法求数列的通项公式
6.（2026·山东滨州检测训练）在数列
na
中，
1
1
20,
2
2
n
n
n
a
a
a
+
=
=
+
-
.
（1）求
na
的通项公式；
（2）若
2n
n
n
b
a
=
-
，求数列
n
b
的前n 项和
n
S 的最大值.
7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列{
}
n
a
和首项为2 的等比数列{ }
nb
的各项均为正数，若
2
2
1
8
n
n
a
a
n
+ -
=
，
2
3
2
1
2b
b a
=
，且
5
32
b =
.
（1）求{
}
n
a
和{ }
nb
的通项公式和{
}
n
n
a b
的前n 项和
n
S ；
（2）若数列{ }
nc
的通项公式满足
(
)
n
n
n
n
n
a
c
a a
b
+
+
=
+
×
1
4
1
，设
nT 为{ }
nc
的前n 项和，求证:
1
nT < .
🎯命题方向四 累乘法求数列的通项公式
8．（2022·新高考Ⅱ卷）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a = ，
n
n
S
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是公差为1
3
的等差数列.
（1）求
na
的通项公式；
（2）证明：
1
2
1
1
1
2
n
a
a
a
+
+
+
<
L
.
9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列
na
的首项
1
2
a =
，且
1
1
0
2
n
n
n
a
na
n
-
+
-
=
³
.
（1）求数列
na
的通项公式：
（2）若数列
2
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，证明：
1
nT < .
10．（2026·河北沧州质量检测）在数列
na
中，
1
1
2
2
1
1,
,
3
n
n
n
a
a
a
a
+
ì
ü
+
=
=
í
ý
î
þ
是公差为1 的等差数列.
（1）求
na
的通项公式；
（2）设
1
1
,
n
n
n
n
b
n
a a
S
+
=
+
为数列
n
b
的前n 项和，若对任意
N
n
+
Î
，总有
0
n
S
m
-
<
，求m 的取值范围.
🎯命题方向五 构造求数列的通项公式
11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列
n
a
满足
1
2
3
3
n
n
a
a
n
+ =
+
-
，且
1
1
a = - ．
（1）若
3
n
n
b
a
n
=
+
，证明：数列
n
b
是等比数列；
（2）求数列
n
a
的前n项和
n
S ．
12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列
na
中，已知
1
1
3
a =
，且满足
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
．
（1）求
na
的通项公式；
（2）求数列
1
2
n
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S ．
13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列
na
中，
1
1
3
3,
2
n
n
n
a
a
a
a
+
=
=
+
（1）证明：数列
1
1
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ
为等比数列；
（2）求
na
的通项公式；
（3）令
1
n
n
n
a
b
a
+
=
，证明:
1 1
n
n
b
b +
<
< ．
题型02 数列的前n 项和问题
抓关键·破难点
◎高分技法一、分组求和法
①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注
意在含有字母的数列中对字母的讨论．
②常见类型：
分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：
奇偶并项求和：通项公式为an＝{
bn，n 为奇数，
cn，n 为偶数
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．
◎高分技法二、裂项相消法
①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构.
②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价.
③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，
后面相应留下几项。
-----------------------考场必备的5 大裂项技巧--------------------------
◎高分技法三、错位相减法
①识别：数列各项由公差为d 的等差数列{
}
na
和公比为(
1)
q q ¹
的等比数列{ }
nb
对应项之积构成.
②展开：
1 1
2
2
n
n
n
S
a b
a b
a b
=
+
+×××+
---------------①
③乘公比：
1 2
2 3
1
n
n
n
qS
a b
a b
a b +
=
+
+×××+
--------②
④错位相减：①- ②得
1 1
2
3
1
(1
)
(
)
n
n
n
n
q S
a b
d b
b
b
a b +
-
=
+
+
+×××
-
.
⑤求和：
1 1
2
3
1
(
)
1
n
n
n
n
a b
d b
b
b
a b
S
q
+
+
+
+×××
-
=
-
.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 分组求和法求数列的前n 项和
1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
1
(
,
2
(
.
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数)
为偶数)
（1）记
2
n
n
b
a
=
，写出
1b ，
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
（2）求
na
的前20 项和.
2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列
n
a
是等差数列，且
1
1
a = ，
3
4
2
3
a
a
=
+
，数列
n
b
满足1
3
b = ，
1
3
n
n
n
b
b
a
+ =
+
.
（1）求
n
a
的通项公式，并证明数列
n
b
n
+
是等比数列；
（2）若数列
n
c
满足
n
n
n
c
a
b
=
+
，求
n
c
的前n 项和nT.
3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列
na
的前n项和
1
nS
n n
=
+
，数列
nb
满足
1
2
1
2
2
n n
n
b b
b
+
=
L
，n
+
ÎN ．
（1）求数列
na
，
nb
的通项公式；
（2）将数列
na
和数列
1
n
nb
-
各取前100 项，按从小到大排成一个新的数列
nd
，其中重复的数只取
一次，求数列
nd
的前100 项和．
🎯命题方向二 裂项相消法求数列的前n 项和
4. （2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列
na
的前n 项和为
2
nS
n
=
.
（1）求
na
的通项公式；
（2）令
1
2
n
n
n
b
a a +
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
T .
5 .（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列
na
是等比数列，1 2
a = ，
2
4
a =
，数列
nb
满足：
1 1
2 2
1
n n
n
ab
a b
a b
n a +
+
+
+
= ×
L
.
（1）求
na
，
nb
的通项公式；
（2）求数列
1
1
n
n
b
b +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
的前n 项和
nS .
6.（2026·河北唐县第一中学·一模） 已知数列
na
的前n 项和为
nS ，且
1 1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+
-
=
+
.
（1）求
nS ；
（2）若
1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
n
a
满足
1
2
3,
8
a
a
=
=
，且对任意的正整数n ，当
2
n ³
时，都有
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+
-
+
=
+
．
（1）证明：数列
2
na
n
-
是等差数列；
（2）设
1
2
3
n
n
n
n
b
a a +
+
=
，求数列
n
b
的前n 项和
n
S ．
8 .（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列
na
的前n 项和为
nS ，1 2
a = ，且
1
2
2
n
n
S
n a
n
+
=
-
-
．
（1）证明：数列
nS
n
ì
ü
í
ý
î
þ
为等差数列；
（2）记
1
1
n
n
n
b
a a +
=
，求数列
nb
的前n项和
n
T ．
9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
*
4
2
2
4
,
2
1
N
n
n
S
S a
a
n
=
=
+
Î
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2））若
1
1
1
1
4
+
+
+
-
=
n
n
n
n
n
a
a
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和nT.
10.（2026·山东聊城·一模）已知数列
na
满足
3 ,
1
4
2
1,
2
n
n
a
n
n
ì
=
ï
= í
ï
-
³
î
.
（1）求
na
的前n 项和
nS ；
（2）记数列
nb
的前n 项和为
n
T ，若
2
2
2
6
n
n
n
T
b
+
=
-
+
．
（i）证明数列2
n
n
b
ì
ü
í
ý
î
þ
为等差数列，并求出
nb
的通项公式；
（ii）求数列
n
n
T
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
M ．
🎯命题方向三 错位相减法求数列的前n 项和
11．（2025· 全国高考一卷）已知数列
na
中，
1
3
a =
，
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
.
（1）证明：数列
n
na
为等差数列；
（2）给定正整数m，设函数
2
1
2
( )
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
，求
( 2)
f ¢ -
.
12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列
n
a
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
2
*
2
n
n
n
S
a
a
n
=
+
Î N
，
．
（1）求数列
n
a
的通项公式；
（2）若
1
2
n
n
n
a
b
+
=
，求数列
n
b
的前n 项和nT．
13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列
na
的前n 项和为
*
2
1
2
,
,
N
n
n
n
n
S
a
a
a
n
+
+
=
-
Î
，且
6
3
4
S
S
=
，
2
2
1
n
n
a
a
=
+ ．
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）数列
n
b
满足
1
2
n
a
nb
æ
ö
= ç
÷
è
ø ，求数列
n n
a b 的前n 项和nT．
14. （2026·陕西榆林一模）已知数列
na
的前n 项和
2
1
3
4
n
S
n
n
=
+
，等比数列
nb
满足1
3
b
a
=
，2
7
b
a
=
．
（1）求
na
和
nb
的通项公式；
（2）求数列
n
n
a
b
×
的前n 项和
n
T ．
题型03 数列与不等式的综合应用
抓关键·破难点
刷经典·通方法
高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂
时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过
放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.
一、数列不等式放缩法的类型
序号
放缩法类型
具体操作
①
分式放缩
对于 “分式” 型不等式，将代数式中的分母或分子 “扩大” 或 “缩小”，
放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明
②
不等式放缩
利用基本不等式或其他重要不等式对 “和”“积”“倒数和”“平方和” 等
放缩。
③
添项或去项放缩
在不等式的两边同时 “加上” 或 “减去” 某一项实现放缩
④
拆项放缩
对一些比较复杂的代数式 “拆开” 再重新组合，可以消去一些项，从而简化
运算（如裂项相消）
二、数列不等式的6 大放缩实例
①
②
，
③
④
⑤
⑥
，
2
1
1
1
1
1
1
1 (
2)
1
(
1)
(
1)
1
n
n
n
n n
n
n n
n
n
-
=
<
<
=
-
³
+
+
-
-
2
(
1)
(
1)
1
n
n n
n
n
<
+
<
+
=
+
1
2(
1
)
2(
1)
n
n
n
n
n
+ -
<
<
-
-
2
2
2
1
4
4
1
1
2
4
4
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
æ
ö
=
<
=
-
ç
÷
-
-
+
è
ø
1
2
1
2
2
1
1
(
2)
(
1) (
1)
(
1)
(
1)
n
n
n
C
C
n
n n
n n
n n
+
>
=
-
³
+
-
-
+
1
1
1
5
1
1 1
(
2)
2 1
(
1)
2
n
n
n
n n
æ
ö
+
< + +
+×××+
<
³
ç
÷
´
-
è
ø
1
1
3
2
2 3
2 2
2(3
2 )
n
n
n
n
n
n
+
+
-
>
×
- ×
=
-
1
1
1
3
2
3 3
2
3
2(3
2 )
3
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
-
= ×
-
=
+
-
>
🎯命题方向一 数列与不等式的证明
1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知
na
为等差数列，
6,
2
,
n
n
n
a
n
b
a n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
.记
n
S ，
n
T 分别为数列
na
，
nb
的前n 项和，若
4
32
S =
，
3
16
T =
.
（1）求
na
的通项公式；
（2）证明：当
5
n >
时，
n
n
T
S
>
.
2．（2026·锡林郭勒盟检测）记
n
S 为正项数列
n
a
的前n 项和，已知
2
4
2
3
n
n
n
S
a
a
=
+
-
.
（1）求数列
n
a
的通项公式；
（2）若数列
n
b
满足
1
1
b =
，
1
2
n
n
n
n
a
b
b
a
+
+
=
，求证：
1
2
3
5
2
n
b
b
b
b
+
+
+
+
<
L
.
3. （2026 · 重庆名校联盟第一次· 联考）已知数列
na
的前n 项和为
nS ，若
2
1
1
2
n
n
nS
n
S
n
n
+ -
+
=
+
，且1 2
a = ．
（1）证明：
nS
n
ì
ü
í
ý
î
þ
为等差数列，并求
nS ．
（2）若
1
2
1
n
n
b
S
=
-
，数列
nb
的前n 项和
n
T ，求证：
1
2
n
T <
．
4.（2026·湖北武汉3 月·调研）在数列
na
中，1 6
a = ，
3
20
a =
，
4
30
a =
，且
1
n
n
a
a
+ -
是等差数列.
（1）求
2a ；
（2）证明：
1
2
1
1
1
1
2
n
a
a
a
+
+
+
<
L
🎯命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题
.
5．（2026·贵州黔东南模拟·预测）已知公差不为0 的等差数列
n
a
的前n 项和为
n
S ，且
9
45
S =
，
3
a ，
4
a ，
7
a 成等比数列.
（1）求
n
a
的通项公式；
（2）求使
n
n
S
a
>
成立的n 的最小值.
6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若对任意
*
N
nÎ
，向量
4, 2
1
np
n
=
-
-
uur
，
,
n
n
n
q
S a
=
uur
，
有
1
n
n
p q
×
=
uur uur
．数列
nb
满足
1,
3 ,
n
n
n
a
n
b
a n
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数，其前n 项和为nT．
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若
n
n
T
S
n
l
-
>
对任意
*
N
nÎ
恒成立，求实数l的取值范围．
7. (2026·福建名校联盟·开学考试)记数列
na
的前n 项和为
nS ，已知3
2
1
n
n
a
S
=
+ ．
（1）求
na
的通项公式；
（2）设
1
1
2
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a
+
+
+
=
-
-
，记数列
nb
的前n 项和为
n
T ，若
*
n
" Î N ，
n
n
T
t
S
< <
，求t 的取值范围．
题型04 数列与其他模块知识的创新交汇问题
抓关键·破难点
数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇
考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与
概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识
主体、运用相应主体模块是解题关键。
创新交汇1：交汇函数
定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的
点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。
创新交汇2：交汇概率
定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递
推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。
刷经典·通方法
🎯命题方向一 数列与集合的融合创新
1. （2026·广东东莞3 月质量·检测）已知数列
na
的前n 项和为
nS ，且
2
3
2
-
=
n
n
n
S
，
*
N
n Î
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设集合
*
,
N
n
P
x x
a
n
=
=
Î
，
*
6
2,
N
Q
x x
n
n
=
=
-
Î
，等差数列
nc
的任一项
nc
P
Q
Î
U
，
其中
1c 是P
Q
U
中的最小元素，
12
64
70
c
<
<
，求数列
nc
的前n 项和
n
T .
🎯命题方向二 数列与复数的交汇问题
2．（2026·山东青岛3 月·调研）设
nz
为复数数列，
1
3
5 i
2
2
z =
+
，
1
1
i
n
n
n
z
z
z
+ =
+
，记
n
z 的实部为
n
a ，
虚部为
n
b ．
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）证明：数列
1
ln
2
nb
ì
ü
æ
ö
-
í
ý
ç
÷
è
ø
î
þ 为等比数列；
（3）求
1
2
1
1
1
2
2
2
n
b
b
b
æ
öæ
ö
æ
ö
-
-
×××
-
ç
֍
÷
ç
÷
è
øè
ø
è
ø ．
🎯命题方向三 数列与三角的交汇问题
3. （2026·湖北随州·二模）已知数列
na
和
nq
，
nS 为数列
na
的前n 项和，
1
π
1,
0, 2
n
a
q
æ
ö
=
Îç
÷
è
ø
，且
1
3 tan
2
2
n
n
S
q
=
+
，
1
3
2cos
n
n
a
q
+ =
．
（1）求
2
3
a
a
，
；
（2）求数列
na
的通项公式；
（3）求证：
2
2
3 2
1
n
n
S
-
+
-
．
🎯命题方向四 数列与概率统计交汇问题
4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲､乙两个盒子均装有1 个白球和1 个黑球，现进行如下操
作：从这两个盒子中各取1 个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第n 次操作后甲盒中白球的个数记为
,
1 ,
2
n
n
n
n
n
X
a
P
X
b
P
X
=
=
=
=
.
（1）求
1
1
,
a b ；
（2 证明：
2
3
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是等比数列；
（3）求
n
X 的数学期望.
🎯命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题
5 .（2026·江苏南京师范大学附属中学G4·联考）数列
na
中，1 2
a = ，
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
n n
n
n
+
+
=
+
+
+
，
*
n Î N .
（1）证明：
2
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ
是等差数列；
（2）设
2
1
2
n
n
x
x
x
f x
a
a
a
=
+
+
+
L
，求
1
f ¢
.
6．（2026·河南开封高级中学第一次·调研）已知函数
2
2
x
f
x
x
=
+
.
（1）若数列
n
a
f
n
=
，求数列
n
a
的前n 项和
n
S ；
（2）已知函数
f
x
在
*
(
)
x
n n
=
Î N
处的切线为直线nl ，直线nl 在y 轴上的截距为
n
b
，求数列
n
b
的前
n 项和nT.
7. （2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）设
n
na
x
=
，
2
1
( )
nb
n
=
，
nS 为数列
n
n
a
b
×
的前n
项和，令
1
n
n
f
x
S
=
- ，xÎR，
*
N
a Î
．
（1）若
2
x =
，求数列
2
1
n
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
T ；
（2）求证：对
*
N
n
" Î
，方程
0
nf
x =
在
2 ,1
3
nx
é
ù
Îê
ú
ë
û
上有且仅有一个根；
（3）求证：对
*
N
p
" Î
，由（2）中
nx 构成的数列
nx
满足
1
0
n
n
p
x
x
n
+
<
-
<
．
8．（2026·云南红河州、文山州·模拟预测））已知数列
na
满足
1
1
2
n
n
a
a a
a
+ =
L
（
*
nÎN ），且
1
2
a =
，函
数
2
2
f x
x x
x a
=
-
-
．
（1）求函数
f x 的极大值；
（2）若
3
2
3
e x
x
x
g x
-
-
=
，
1
1 ,
2
x
¥
é
ö
"
Î
+
÷
êë
ø ，
2
2 , 2
3
x
é
ù
$
Î ê
ú
ë
û ，使得
1
2
g x
f x
m
+
成立，求m 的取值范围；
（3）若
2
1 log 2
n
n
a
b
n
n
=
-
，求
n
b
的前n 项和nT．
