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第8 讲 曲线运动 运动的合成与分解
目录
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹.......................................................................................1
考点二 运动的合成及运动性质分析...........................................................................................1
考点三 小船渡河模型...................................................................................................................5
考点四 绳(杆)端速度分解模型..................................................................................................10
练出高分.........................................................................................................................................19
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运
动．
(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速
度方向与速度方向不在同一条直线上．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外
力方向指向轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
[例题1] （2023•海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动
轨迹的示意图，已知B 为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（ ）
A．质点在B 点时的加速度方向与速度方向不垂直
B．质点在A 点时的加速度比在B 点时的加速度小
1
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C．质点在C 点时的速率大于在B 点时的速率
D．质点从A 点到C 点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减
小
【解答】解：AB、质点受重力作用做匀变速曲线运动，在最高点B 时，速度方向与重
力加速度的方向垂直，整个过程重力加速度保持不变，故AB 错误；
C、质点从B 点到C 点，加速度方向与速度方向夹角小于90°，因此该过程质点的速度
增大，所以质点在C 点时的速率大于在B 点时的速率，故C 正确；
D、质点只受重力作用，加速度方向始终竖直向下，质点的速度方向沿运动轨迹的切线
方向，质点从A 点到C 点，加速度方向与速度方向的夹角一直减小；从A 到B 的过程
中，加速度与速度方向的夹角大于90°，质点做减速运动，从B 到C 的过程中，加速度
与速度方向的夹角小于90°，质点做加速运动，速度增大，因此质点从A 到C 的过程中，
速度先减小后增大，故D 错误。
故选：C。
[例题2] （2023•金山区二模）如图，1
4 圆弧型管道MN 置于水平面上，一光滑小
球从管道M 端进入，它从出口N 离开后的运动轨迹是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
【解答】解：物体做曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，则小球离开末端N 时速度
的方向为N 指向c，由于惯性，小球仍保持原来运动的方向，即Nc 方向，所以小球的
轨迹为c。故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
[例题3] （2022•宜春模拟）图甲为2022 年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛
的场景。比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动
的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。
在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω 表示冰壶自旋的方向，v 表示冰壶前进的方向，
则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
2
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【解答】解：由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶
前侧受到的摩擦力，而后侧受摩擦力几乎不变，若冰壶按如图①的逆时针方向旋转，
则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按
顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转。即①④正确。故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
[例题4] （2022•温州三模）如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车
赛道的实景图，乙图是其示意图。比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先
后经过A、P、B、C、D 五点。运动员速度方向与经过P 点的速度方向最接近的是（
）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
【解答】解：根据曲线运动速度的特点：曲线运动某一点速度的方向沿该点切线的方向，
可以画出各点速度的方向大体如图，可知A 点速度的方向与经过P 点的速度方向最接近。
故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[例题5] （2022•宜宾模拟）如图，在冬奥会短道速滑项目中，圆弧实线ON 为正
3
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常运动路线的弯道，OM 为运动员在O 点的速度方向。若运动员在O 点稍发生侧滑，
她就会偏离正常比赛路线，则其滑动线路（ ）
A．沿OM 直线
B．在OM 左侧区域Ⅰ
C．在OM 和ON 之间区域Ⅱ
D．在ON 右侧区域Ⅲ
【解答】解：若运动员水平方向不受任何外力时，沿OM 做离心运动，实际上运动员受
到摩擦力的作用，摩擦力提供向心力，当摩擦力等于需要的向心力时，运动员将沿ON
做圆周运动，若运动员发生侧滑，摩擦力不足以提供向心力，即摩擦力小于所需要的向
心力，滑动方向在OM 和ON 之间的区域，故ABD 错误，C 正确，
故选：C。
考点二 运动的合成及运动性质分析
1．遵循的法则：
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性:合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运
动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
[例题6] （2023•盐山县二模）曲线运动是生活中一种常见的运动，下列关于曲线
运动的说法中正确的是（ ）
4
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A．可能存在加速度为0 的曲线运动
B．平抛运动是加速度随时间均匀变化的曲线运动
C．匀速圆周运动一定是加速度变化的曲线运动
D．圆周运动不可以分解为两个相互垂直的直线运动
【解答】解：A、加速度为0 时，物体静止或做匀速直线运动，做曲线运动时加速度一
定不为0，故A 错误；
B、平抛运动的加速度为重力加速度，始终保持不变，故B 错误；
C、匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，方向时刻变化，即匀速圆周运动一定是加速
度变化的曲线运动，故C 正确；
D、圆周运动可以分解为两个相互垂直的直线运动，故D 错误。
故选：C。
[例题7] （2023•辽宁模拟）在一次施工中，塔吊将重物从O 点吊起，从起吊开
始计时，以O 为原点，设水平为x 方向、竖直为y 方向，重物x、y 方向的运动规律分
别如图甲、乙所示，则重物（ ）
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．0～8s 内的位移大小为40m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
【解答】解：A．由图甲，x﹣t 图像斜率代表速度，重物在水平方向做匀速直线运动，
故A 错误；
B．重物在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，所以重物的运动
轨迹为抛物线，故B 正确；
C．0～8s 内水平方向位移为24m，v﹣t 图像与时间轴围成的图形的面积代表位移，竖直
方向位移ℎ= 1
2 ×8×4 m=16m
位移大小x =√24
2+16
2m=8√13m
故C 错误；
D．重物加速度为a= Δv y
Δt = 4
8 m/ s
2=0.5m/ s
2
重物在相等时间内的速度变化量相等，故D 错误。
故选：B。
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[例题8] （2023•广州二模）潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小
的过程称为“掉深”。如图a 所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0 时，
该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度vy 随时间变化的图像如图
b，水平速度vₓ 保持不变。若以水平向右为x 轴，竖直向下为y 轴，则潜艇“掉深”
后的0～30s 内，能大致表示其运动轨迹的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可知，潜艇在x 轴方向上做匀速直线运动，y 轴方向上先匀加速
直线运动，再做匀减速直线运动，物体在0～10s 实际合力方向竖直向下，10～30s 合力
方向为竖直向上，轨迹弯曲的内侧为合力的方向，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
[例题9] （2023•浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物
线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的
理想运动轨迹。O、a、b、c、d 为弹道曲线上的五点，其中O 点为发射点，d 点为落
地点，b 点为轨迹的最高点，a、c 为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力
加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．炮弹到达最高点b 时的加速度为g
B．炮弹经过c 点时的加速度方向沿该点切线斜向上
C．炮弹经过a 点时加速度的竖直分量大于g
D．炮弹由a 点运动到b 点的时间与由b 点运动到c 点的时间相等
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【解答】解：A．在最高点b，炮弹除了受重力还受到向后的空气阻力，加速度大于g，
故A 错误；
B．根据曲线运动特点，炮弹经过c 点时加速度方向一定指向轨迹凹侧，故B 错误；
C．炮弹经过a 点时，受空气阻力和重力共同作用，空气阻力方向与速度方向相反斜向
左下方，根据牛顿第二定律，加速度的竖直分量由重力和空气阻力竖直分力相加得出，
所以炮弹经过a 点时加速度的竖直分量大于g，故C 正确；
D．设炮弹由a 点运动到b 点过程中，受阻力平均竖直分量为f1，由b 点运动到c 点过程
中，受阻力平均竖直分量为f2，根据牛顿第二定律，则前、后两个过程炮弹竖直平均加
速度大小分别为a1= mg+ f 1
m
a2= mg−f 2
m
＜a1
根据运动学规律，炮弹由a 点运动到b 点时间小于由b 点运动到c 点时间，故D 错误。
故选：C。
[例题10] （2023•广东模拟）a、b 两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动。
图甲是a 做匀加速直线运动的x﹣t 图像，图乙是b 做匀减速直线运动的x﹣v2图像。
则下列说法正确的是（ ）
A．t＝1.25s 时两物体速度相等
B．前1s 内两物体间距离一直在变大
C．t＝0 时刻，a 的速度为2m/s，b 的速度为8m/s
D．a 的加速度大小为4m/s2，b 的加速度大小为8m/s2
【解答】解：AD、a 物体做匀加速直线运动，则：x＝va0t+ 1
2aat2
由图甲可知，t＝1s 时，x＝2m；t＝2s 时，x＝8m，代入上式解得：a 的初速度va0＝0，
加速度aa＝4m/s2；
b 做匀减速直线运动，则v2−vb0
2 =2abx
由图乙可知，v2＝64m2/s2时，x＝0；v2＝0 时，x＝8m，代入上式解得b 的初速度：vb0
＝8m/s，加速度ab＝﹣4m/s2，b 的加速度大小为4m/s2。
t＝1.25s 时a 物体速度va＝va0+aat＝（0+4×1.25）m/s＝5m/s，b 物体的速度vb＝vb0+abt＝
（8﹣4×1.25）m/s＝3m/s，则va＞vb，故AD 错误；
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B、a、b 两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动，1s 时，a 物体速度va1＝va0+aat1
＝（0+4×1）m/s＝4m/s，b 物体的速度vb1＝vb0+abt1＝（8﹣4×1）m/s＝4m/s，则va1＝
vb1，所以0～1s 内，a 物体的速度比b 物体的小，两者间距逐渐增大；t＝1s 时两物体速
度相等，两物体间距离最大，故B 正确；
C、由A 项分析可知，t＝0 时刻，a 的速度为0，b 的速度为8m/s，故C 错误。
故选：B。
考点三 小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝(d 为河宽)．
②过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，s 短＝d.船头指向上游与河岸夹
角为α，cos α＝.
③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以
v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最
短．由图可知：cos α＝，最短航程：s 短＝＝d.
[例题11] （多选）（2023•上饶模拟）一艘小船正在渡河，如图所示，在到达离河
对岸60m 处的P 点时，其下游80m 处有一危险水域，已知船在静水中的最大速度为
6m/s，水流的速度大小为5m/s，P 点离另一河岸的距离大于100m，下列说法正确的是
（ ）
A．小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸
B．小船以最短时间渡河时，不能安全到达河岸
C．小船渡河的位移可能为60m
D．小船渡河的位移不可能为100m
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【解答】解：AB．根据题意可知，当船头正对河岸且以最大的静水速度航行时，渡河
时间最短，最短时间为tmin= d
v 船
= 60
6 s=10 s，此时，船沿河岸移动的距离为x＝v 水tmin
＝5×10m＝50m＜80m，不会到达危险水域，故小船以最短时间渡河时，可以安全到达
河岸，故B 错误，A 正确；
C．船在静水中速度大于水流速度，则可以通过调整船头方向，让船速度斜向上，让船
的合速度方向正对河岸，此时渡河位移最短，最短距离为河宽60m，故C 正确；
D．通过调整船头方向，让船的合速度方向指向上游时，角度合适，位移可能是100m，
此时还没有到达危险水域，能保证小船的安全，故D 错误。
故选：AC。
[例题12] 一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为v 水＝4m/s，让小船
船头垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的规律满足x＝6t﹣
0.05t2，且小船刚好到达河对岸，则小船在渡河的这段时间内的运动情况，下列说法正
确的是（ ）
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中40s 时的速度为√41m/s
C．小船在河水中40s 时的位移为160m
D．小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m
【解答】解：将小船在垂直河岸方向运动的规律x＝6t﹣0.05t2，与匀变速直线运动的公
式：x= v0t + 1
2 at
2比较可知，小船沿垂直河岸方向运动的初速度：v 船0＝6m/s，加速度：
a＝﹣0.1m/s2；可知小船在垂直河岸方向做匀减速直线运动；
A、小船在垂直河岸方向上做匀减速直线运动，在沿河岸方向上做匀速直线运动，合加
速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，故A 错误；
B、小船在河水中在垂直河岸方向的速度：v 船＝v 船0+at＝6m/s﹣0.1×40m/s＝2m/s
船运动的合速度：v=√v水
2 + v 船
2 =√4
2+2
2m/s=2√5m/s，故B 错误；
C、40s 内船沿垂直河岸方向的位移：x = v 船0t + 1
2 at
2=6×40m+ 1
2 ×(−0.1)×4 0
2m＝
160m ，沿河岸方向的位移：y ＝v 水t ＝4×40m ＝160m ，所以船的合位移：
s=√x
2+ y
2=√160
2+160
2m=160√2m，故C 错误；
D、小船刚好到达河对岸，则到达对岸时垂直于河岸方向的速度为零，所以运动的时间：
t0= 0−v 船0
a
= 0−6
−0.1s＝60s，该过程中小船沿河岸方向运动的位移为：y′＝v 水t0＝
4×60m＝240m，故D 正确。
故选：D。
[例题13] （2022•平谷区一模）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们
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轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，
小船在发动机的推动下沿OA 方向运动，经时间t 运动至对岸A 处，位移为x1；若小
船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O 点沿河岸运动，经相同时间t 运动至下
游B 处，位移为x2．小船在流动的河水中，从O 点出发，船头朝向OA 方向开动发动
机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x 为上述两个分运动位移的矢量
和，即此时小船将到达对岸C 处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射
击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将
箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。
请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求
小球落地前与箭头的最近距离。
【解答】解：如图所示：
箭射出后，若不受重力，将沿初速度方向做匀速直线运动，经时间t 从P 运动至小球初
始位置D 处，位移为x1＝L；脱离弓后，若箭的初速度为零，将沿竖直方向做自由落体
运动，经相同时间t 从P 运动至E，位移为x2；箭射出后的实际运动，同时参与了上述
两种运动，实际位移x 为上述两个分运动位移的矢量和（遵循平行四边形定则），即此
时箭将到达F 处。小球由静止释放后做自由落体运动，经相同时间t 运动的位移与箭在
竖直方向分位移x2相同，即小球与箭同时到达F 处，能够射中小球。
若不受重力，箭从P 运动至小球初始位置D 处的时间：t= L
v0
射中时小球下落的高度：h= 1
2gt2，解得：h= g L
2
2v0
2
10
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答：能射中，小球下落g L
2
2v0
2 时被射中。
考点四 绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速
度大小相等求解．常见的模型如图8 所示．
[例题14] （2023•静海区校级模拟）弹簧锁在关门时免去了使用钥匙的繁琐，为我
们的生活带来了方便。缓慢关门时门锁的示意图如图所示，关门方向为图中箭头方向，
锁舌所夹的角度为θ，若弹簧始终处于压缩状态，门的宽度视为远大于锁舌的尺寸，
如图所在的瞬间，门边缘向内的速度为v，则下列说法错误的是（ ）
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A．关门时弹簧弹力变大
B．如图时锁舌相对于门的速度为v1＝vcotθ
C．如果图中的θ 变小，关门时会更费力
D．关门时锁舌对锁壳的弹力等于弹簧的弹力
【解答】解：A．根据题意，分析弹簧锁的原理图可得：当关门时，弹簧逐渐被压缩，
形变量变大，根据胡克定律：F＝kΔx 可知关门时弹力变大，故A 正确；
B．锁舌运动时的速度如图：
则有：tanθ = v
v1
即可得：v1＝vcotθ，故B 正确；
C．设关门时弹簧弹力为F2，锁壳对锁舌的作用力为F1，锁舌受到的摩擦力为f，关门
时锁舌受力如图：
则缓慢关门时，仍然处于平衡状态
根据平衡条件则有：F2+f＝F1sinθ
F3＝F1cosθ
f＝μF3
故联立可解得：F1=
F2
sinθ−μcosθ
可见如果图中的θ 变小，F1会变大，关门时会更费力，故C 正确；
D．由C 选项分析可知关门时锁舌对锁壳的弹力大于弹簧的弹力，故D 错误。
本题选错误的，故选：D。
[例题15] （2023•浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动
转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB 可绕图中A、B、O 三处的转轴转动，连杆
OB 长为R，连杆AB 长为L（L＞R），当OB 杆以角速度ω 逆时针匀速转动时，滑块
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在水平横杆上左右滑动，连杆AB 与水平方向夹角为α，AB 杆与OB 杆的夹角为β。
在滑块向左滑动过程中（ ）
A．滑块A 从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
B．当OB 杆与OA 垂直时，滑块的速度最大
C．当OB 杆与OA 垂直时，滑块的速度大小为R
2ω
L
D．当β＝90°时，滑块的速度大小为Rω√L
2+ R
2
L
【解答】解：设滑块的速度（合速度）大小为v，沿水平方向，如图将A 点的速度分解
为沿着杆的分速度和垂直杆的分速度
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度：
v1＝vcosα
BB 点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂
直于杆方向的分速度，如图设B 的线速度为v'，则
沿杆的分速度：
v'1＝V'cosθ＝V'cos（90°﹣β）＝V'sinβ
V'＝ωR
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即v1＝v'1
联立可得v = ωRsinβ
cosα
在△AOB 中，由正弦定理得R
sinα = SOA
sinβ
解得v＝ωsOAtanα
A.滑块A 从右向左运动时，其速度v＝ωsOAtanα，随角度α 变化而不均匀变化，角度α
先增大后减小，根据正切函数的性质可知，滑块先做加速度增大的加速运动，后做加速
度减小的减速运动，故A 错误；
BC.当O 杆OB 与AB 垂直时，α＝90°﹣β，sinβ＝cosα，则v = ωRsinβ
cosα
=ωR，滑块的速
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度不是最大，故B，C 错误；
D.当β＝90°时，如图所示：
滑块的速度为：
v = ωRsinβ
cosα
=
ωR
L
√L
2+ R
2
= Rω√L
2+ R
2
L
，故D 正确。
故选：D。
[例题16] （多选）（2023•葫芦岛一模）如图所示，小球A 的右侧通过长度为L
的轻杆与转轴O 相连。小球A 的左侧通过足够长的轻绳绕过定滑轮与小球B 相连。用
手托住小球A 使轻杆水平时，AP 段的轻绳也水平。已知小球A 到定滑轮的距离也为
L。小球A 的质量为2m，小球B 的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦和定滑
轮质量。现将小球A 由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．小球B 在竖直方向做简谐运动
B．轻绳与轻杆夹角为90 度时，小球A 受合力一定不为零
C．轻绳与轻杆夹角为90 度时，小球B 的速度大小为√
2 gL
3
D．轻绳与轻杆夹角为90 度时，小球B 的速度大小为√2(1−√2
3 )gL
【解答】解：A、对小球B 受力分析，小球B 受到重力和绳子的拉力，由于绳子拉力不
满足胡克定律，可知小球B 在竖直方向不是做简谐运动，故A 错误；
B、轻绳与轻杆夹角为90°时，如图所示
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设轻杆转过的角度为θ，由图中几何关系可得cosθ = L
2 L = 1
2
解得：θ＝60°
此时A 球重力沿绳子方向的分力为2mgcosθ＝2mg•1
2 =mg
可知此时A 球重力沿绳子方向的分力等于B 球的重力，A、B 组成的系统动能有极大值，
小球A 速度不为零，则小球做圆周运动，合力一定不为零，故B 正确；
CD、轻绳与轻杆夹角为90°时，A 球速度刚好沿绳子方向，此时两球速度大小相等，有
vA＝vB
A 、B 组成的系统满足机械能守恒，由机械能守恒定律得：
2mgLsin60°−mg( Ltan60°−L)= 1
2 mvB
2 + 1
2 ×2mv A
2
联立解得：v A = vB=√
2
3 gL
故C 正确，D 错误。
故选：BC。
[例题17] （2022•襄城区校级模拟）如图所示，某人通过跨过定滑轮的绳子将小车
拉上倾角为α 的光滑斜面，人拉动绳子的速度v 恒定，下列说法正确的是（ ）
A．小车沿斜面上升的过程中，人对绳子拉力恒定
B．小车沿斜面上升的过程中，小车的动能先增大后减小
C．小车沿斜面上升h 高的过程中，绳子拉力对小车做的功大于小车重力势能的增加量
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D．当绳子与斜面斜边的夹角为β 时，小车的速度为
v
cos(α + β)
【解答】解：AD、当绳子与斜面斜边的夹角为β 时，将小车的速度进行分解，如图所
示；则小车速度v 车=
v
cosβ ；
随β 增大，小车的速度增大，所以小车做加速运动，但不是匀加速直线运动，人对绳子
的拉力不恒定，故AD 错误；
B、随着小车沿斜面向上运动，小车速度增大，所以小车的动能增大，故B 错误；
C、随着小车沿斜面向上运动，小车速度增大，此过程中只有拉力和重力做功，根据功
能关系可得绳子拉力对小车做的功大于小车克服自身重力做的功，则绳子拉力对小车做
的功大于小车重力势能的增加量，故C 正确。
故选：C。
[例题18] （2022•青羊区校级二模）如图所示，小球A、B 用一根长为L 的轻杆相
连，竖直放置在光滑水平地面上，小球C 挨着小球B 放置在地面上。由于微小扰动，
小球A 沿光滑的竖直墙面下滑，小球B、C 在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹
角为θ，小球A 和墙面恰好分离，最后小球A 落到水平地面上。下列说法中不正确的
是（ ）
A．当小球A 的机械能取最小值时，小球B 与小球C 的加速度为零
B．小球A 由静止到与墙面分离的过程中，小球B 的速度先增大后减小
C．当小球A 和墙面恰好分离时，小球B 与小球C 也恰好分离
D．当小球A 和墙面恰好分离时，A、B 两球的速率之比为tanθ：1
【解答】解：B．从静止开始到小球A 和墙面恰好分离的过程，对A、B、C 三个小球组
成的系统，由于受到竖直墙面向右的弹力，根据动量定理可得Ft＝（mB+mC）vB，
所以小球A 由静止到与墙面分离的过程中，小球B 的速度一直增大，故B 错误；
A．对A、B、C 三个小球组成的系统，机械能守恒，由B 项的分析可知，球A 和墙面
恰好分离时，小球B 与小球C 速度最大，则其加速度最小，机械能最大，则此时A 球机
械能最小，
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所以当小球A 的机械能取最小值时，小球B 与小球C 的加速度为零，故A 正确；
C．当小球A 与墙面分离后，水平方向动量守恒，小球A 在水平方向的速度会不断增大，
B 球在水平方向的速度会不断减小，所以在小球A 与墙面分离瞬间，小球 C 球和小球B
分离，故C 正确；
D ．当小球A 和墙面恰好分离时，两球的速度分解如图所示：
两球的速度关联，沿杆方向的速度相等，有vAcosθ＝vBsinθ，可得：v A
vB
= tanθ
1
，故D
正确。
本题选错误的，
故选：B。
练出高分
一．选择题（共10 小题）
1．（2023 春•河西区期中）如图为高空拍摄的克鲁伦河蛇曲景观地形图，以下水流速度方
向大致相同的点是（ ）
A．A 点和C 点
B．C 点和B 点
C．A 点和B 点
D．B 点和D 点
【解答】解：根据曲线运动的特点可知，曲线轨迹上某点的运动速度方向是该点在曲线
上的切线方向，由图可知，A 点和C 点的切线方向大致相同，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
2．（2023 春•郑州期中）常见的曲线运动有抛体运动和圆周运动。抛体运动有上抛、平抛、
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下抛、斜抛，圆周运动有匀速圆周运动、非匀速圆周运动。关于质点做曲线运动，下列
说法中正确的是（ ）
A．质点速度和加速度方向均时刻在改变
B．质点所受合力方向与速度方向相同或相反时，也可以做曲线运动
C．曲线运动轨迹上任一点的切线方向就是质点在这一点的瞬时速度方向
D．有些曲线运动也可能是匀速运动，比如匀速圆周运动
【解答】解：A、质点做曲线运动，其速度方向沿轨迹的切线方向，方向时刻在改变，
且与加速度方向不在一条直线上，加速度的方向可能是不变的例如物体做平抛运动，故
A 错误；
B、质点所受合力方向与速度方向相同时，质点将做加速直线运动，质点所受合力方向
与速度方向相反时，质点将做减速直线运动，故B 错误；
C、曲线运动轨迹上任一点的切线方向就是质点在这一点的瞬时速度方向，故C 正确；
D、匀速运动是速度大小和方向不变的运动，故匀速运动就是匀速直线运动，不是曲线
运动，匀速圆周运动是速率不变的曲线运动，故D 错误。
故选：C。
3．（2023 春•洛阳期中）一个物体在光滑水平面上沿曲线MN 运动，如图所示，其中A 点
是曲线上的一点，虚线1、2 分别是过A 点的切线和法线，已知该过程中物体所受的合
外力是恒力，曲线MN 关于虚线2 对称，则当物体运动到A 点时，合外力的方向可能是
（ ）
A．沿F1或F5的方向
B．沿F3或F4的方向
C．沿F2的方向
D．不在MN 曲线所确定的水平面内
【解答】解：根据图示物体由M 向N 做曲线运动，故合外力的方向指向轨迹的凹侧；
曲线MN 关于虚线2 对称，物体做类斜抛运动，则在A 点合外力与速度方向垂直，故合
外力的方向沿F2的方向，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
4．（2023 春•西湖区校级月考）关于曲线运动，下列说法不正确的是（ ）
A．做曲线运动的质点的瞬时速度方向在曲线运动的切线方向
B．质点在恒力作用下可能做曲线运动
C．质点做曲线运动不一定有加速度
D．质点做曲线运动时受到的合力方向与速度方向一定不在同一直线上
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【解答】解：A、做曲线运动的质点的瞬时速度方向在曲线运动的切线方向，故A 正确；
BD、做曲线运动的条件是：合外力方向与速度方向不在同一条直线上，合力可以是恒
力也可以是变力，因此质点在恒力作用下可能做曲线运动，例如平抛运动，故BD 正确；
C、曲线运动由于速度方向一直在发生变化，所以曲线运动一定是变速运动，加速度一
定不为零，故C 错误。
本题选不正确的。
故选：C。
5．（2023 春•广州期中）如图所示，利用卷扬机将套在光滑竖直杆上的重物提升到高处。
当重物运动到图示位置时速度为v，连接重物的钢丝绳与竖直杆夹角为θ，则此时卷扬
机缠绕钢丝绳的速度v0为（ ）
A．vcosθ
B．v
cosθ
C．vsinθ
D．v
sinθ
【解答】解：将重物速度沿绳和垂直于绳方向进行分解，如图所示
重物沿绳方向的速度大小与钢丝绳速度大小相等，故有
v0＝vcosθ
故BCD 错误，A 正确。
故选：A。
6．（2023 春•济宁期中）一质量为2g 的小球在如图甲所示的xOy 平面上运动，在x 方向
的v﹣t 图像和y 方向的s﹣t 图像分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．前2s 内小球做匀变速直线运动
B．小球的初速度为8m/s
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C．2s 末小球的速度大小为4m/s
D．前2s 内小球所受的合外力大小为8N
【解答】解：A、由v﹣t 图可知，物体在x 方向上做初速度为8m/s 的匀减速直线运动，
而在y 方向上，物体做速度为4m/s 的匀速运动，故在前2s 内物体做匀变速的曲线运动，
故A 错误；
B 、物体的初速度为水平速度和竖直速度的合速度，故初速度为v
=√v x
2+ v y
2=√8
2+ 4
2= 4√5m/s，故B 错误；
C、2s 末的物体的速度只有竖直分速度，故速度为4m/s，故C 正确；
D、前2s 内物体的加速度为4m/s2，故由牛顿第二定律可知，其合力F＝ma＝2×10﹣
3×4N＝8×10﹣3N，故D 错误；
故选：C。
7．（2023 春•番禺区期中）一条河的两侧河岸平行，河的宽度为60m，水流速度为6m/s，
—条小船在静水中的速度为10m/s，则下列说法正确的是（ ）
A．渡河所需最短时间为10s
B．渡河最短位移为100m
C．以最短时间渡河时，小船渡河的位移为60m
D．以最短位移渡河时，小船渡河所需的时间为7.5s
【解答】解：A、河的两侧河岸平行，河宽一定，决定过河时间的是垂直河岸的速度，
当小船速度与河岸垂直时，渡河时间最短，为tmin= d
v 船
= 60
10 s=6 s
故A 错误；
B、小船静水速度大于水流速度，当小船船头指向偏向上游某一个角度时，船头指向方
向的速度与水流速的合速度可以垂直指向对岸，则小船最短渡河位移就是河宽60m，故
B 错误；
C、若用最短时间渡河，小船沿河岸方向上的位移为L＝v 水tmin＝6×6m＝36m
小船的位移为s=√36
2+60
2m=12√34 m
故C 正确；
D、当合速度方向垂直于河岸时，小船渡河位移最小，船头指向方向的速度、水流速、
合速度构成矢量三角形，并且是直角三角形，则合速度为
v =√v 船
2 + v水
2 =√10
2−6
2m/ s=8m/ s
因此所需渡河时间t = d
v = 60
8 s=7.5 s
故D 正确。
故选：D。
8．（2023 春•番禺区期中）如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，绳的
一端系一重物，人握着绳的另一端以速度v 拉着绳水平向左匀速运动，经过图示位置时
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绳与水平方向的夹角为α，此时重物的速度大小为（ ）
A．v•sinα
B．v•cosα
C．v
sinα
D．
v
cosα
【解答】解：把速度v 分解为沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，如图：
则沿绳方向的分速度大小即为重物速度大小，可得：
v 物＝vcosα，故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
9．（2023 春•包河区校级期中）如图所示，河的宽度为d，船渡河时船头始终垂直河岸。
船在静水中的速度大小为v1，河水流速的大小为v2，则船渡河通过的位移为（ ）
A．d
v1
v2
B．d
v2 √v1
2+ v2
2
C．
d
v1+ v2
v1
D．d
v1 √v1
2+ v2
2
【解答】解：根据题目图示，船在静水中的速度v1垂直指向对岸，是分速度，这个方向
的位移d 是分位移，所以渡河时间为t = d
v1
则沿河岸方向的位移为x = v2t = v2
v1
d
则船渡河通过的位移为s=√x
2+d
2= d
v1 √v1
2+ v2
2，故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
10．（2023 春•顺义区校级月考）如图所示，平台上的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定
滑轮牵引重物上升，平台足够长，汽车始终保持匀速运动，在重物未达到定滑轮高度之
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前，下列说法正确的是（ ）
A．重物匀速上升
B．重物减速上升
C．绳子拉力大于重物重力
D．绳子拉力小于重物重力
【解答】解：AB、设与汽车相连的绳子与水平方向的夹角为θ
将汽车速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向，此时沿绳方向的速度大小等于重物上升
的速度大小，有v 物＝v 汽cosθ
随着汽车的运动，θ 在减小，可知重物的速度在变大，故AB 错误；
CD、重物的速度在变大，可知物体的加速度方向向上，重力受到重力和拉力作用，根
据牛顿第二定律有T﹣mg＝ma，即T＞mg，故C 正确，D 错误。
故选：C。
二．解答题（共3 小题）
11．（2023 春•越秀区校级期中）小船在静水中的速度大小v1＝5m/s，要渡过宽d＝60m、
两岸平行的河流，水流的速度大小v2＝3m/s。
（1）求小船渡河的最短时间t；
（2）求当小船以最小位移渡河时，船头与河岸夹角的正弦值sinθ。
【解答】解：（1）当小船的船头始终垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间为
t = d
v1
= 60
5 s＝12s
（2）小船在静水中的速度大于水流的速度，当小船的合速度方向垂直河岸时，小船渡
河的位移最小，如图
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由几何关系得：v合=√v1
2−v2
2=√5
2−3
2m/s＝4m/s
船头与河岸夹角的正弦值为sinθ= v合
v1
= 4
5 =0.8
答：（1）小船渡河的最短时间t 为12s；
（2）当小船以最小位移渡河时，船头与河岸夹角的正弦值sinθ 为0.8。
12．（2022 秋•金凤区校级期末）在“观察红蜡块运动”的实验中，假设从某时刻（t＝0）
开始，红蜡块在玻璃管内每秒上升的距离都是10cm；从t＝0 开始，玻璃管向右匀加速
平移，每一秒通过的水平位移依次是2cm、8cm、14cm、20cm。建立坐标系，用y 表示
蜡块竖直方向的位移，x 表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0 时蜡块位于坐标原点。
（1）由题意可知蜡块竖直方向的速度为
0.10m/s
；
（2）由题目所给条件玻璃管水平向右做匀加速直线运动的原因是
相邻的时间间隔内位移之差为一恒量 ；
（3）请在图中标出t 等于1s、2s，3s，4s 时蜡块的位置，并用平滑的曲线描绘蜡块的运
动轨迹。
【解答】解：（1）蜡块在竖直方向做匀速直线运动，则有：v= Δy
Δt = 0.10
1
m/s＝
0.10m/s；
（2）蜡块在水平方向做匀加速运动，每相邻1 秒位移差值：Δx＝8cm﹣2cm＝14cm﹣
8cm＝20cm﹣14cm＝6cm
所以相邻的时间间隔内位移之差为一恒量，玻璃管水平向右做匀加速直线运动；
（3）蜡块的运动轨迹如图所示：
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故答案为：（1）0.10m/s；（2）相邻的时间间隔内位移之差为一恒量；（3）图象见解
析。
13．（2022 秋•重庆期末）如图，用跨过光滑定滑轮的不可伸长的缆绳将海面上一艘失去
动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机输出功率恒为P，小船的质量为
m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A 点时缆绳与海平面的夹角为α，此时小船的速度
大小为v0，小船从A 点沿直线加速运动到B 点，A、B 两点间距离为d，缆绳质量忽略
不计。求：
（1）小船在A 点时，缆绳对小船的拉力大小F；
（2）小船在A 点时的加速度大小a；
（3）若已知小船经过B 点时的速度大小为v1，则小船从A 点运动到B 点经历时间t 为
多大。
【解答】解：（1）小船在A 点时，缆绳对小船的拉力F 为：
F=
P
v0cosα
（2）小船在A 点时，对小船由牛顿第二定律
Fcosα﹣f＝ma
解得：a= 1
m ( P
v0
−f )
（3）小船从A 点运动到B 点，由动能定理得：
Pt﹣fd= 1
2 m v1
2−1
2 m v0
2
解得：t= m(v1
2−v0
2)+2fd
2 P
答：（1）小船在A 点时，缆绳对小船的拉力为
P
v0cosα ；
（2）小船在A 点时的加速度大小为1
m ( P
v0
−f )；
（3）小船从A 点运动到B 点经历时间t 为m(v1
2−v0
2)+2fd
2 P
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