文档文本内容
高三开学摸底考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则复数 在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从 四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过 景
点，所以甲不选 景点，则不同的选法有（ ）
A．64种 B．48种 C．36种 D．24种
4．某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数 与可见叶片数 进行分析研究，其关系可以用函数 （
为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄
指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据： ， ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．过圆锥 高的中点 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 上部分圆锥与下部分圆台体积比为
（ ）
A． B． C． D．6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则使得 成立的正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a， ，有一组样本数据为 ，3， ， ，8，10， ，12，13，若在这组数据中
再插入一个数8，则（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变
10．已知直线 与圆 相交于 两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆 关于直线 对称，则
B． 的最小值为
C．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆 的交点
D．若 （ 为坐标原点）四点共圆，则
11．已知 内角A、B、C的对边分别是a、b、c， ，则（ ）
A． B． 的最小值为3
C．若 为锐角三角形，则 D．若 ， ，则第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量 的夹角为 ，若 ，则 .
13．已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数a= ．
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若过点 的直线与双曲线的左、右两支
分别交于 ， 两点，且 .又以双曲线的顶点为圆心，半径为 的圆恰好经过双曲线虚
轴的端点，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式 ．
(2)设数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
16．（15分）已知底面 是平行四边形， 平面 ， ， ， ，
且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 .若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.17．（15分）为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参加航天科普知
识挑战赛，比赛共设置A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为50分，答对问
题A，B，C分别加10分，20分，30分，答错任一题减10分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当
累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分数大于或等于80分
时，答题结束，挑战成功；③每位参加者按问题A，B，C顺序作答，直至挑战结束.设甲同学能正确回答
出问题A，B，C的概率分别为 ， ， ，且回答各题正确与否互不影响.
(1)求甲同学挑战成功的概率；
(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求X的分布列和数学期望 .
18．（17分）已知椭圆 ： （ ）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与 轴垂
直的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点（ 在
靠近 的一侧）
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）在直线 上是否存在一定点 ，使 恒成立？若存在，求出 点坐标；若不存在，
请说明理由.
19．（17分）若函数 在区间 上有定义，且 ， ，则称 是 的一个“封闭区间”．(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ，设集合 ．
（i）求集合 中元素的个数；
（ii）用 表示区间 的长度，设 为集合 中的最大元素．证明：存在唯一长度为 的闭区
间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
