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高三开学摸底考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得集合 ，可求得 .
【详解】依题得 ，则 ．
故选：C.
2．已知复数 满足 ，则复数 在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到 ，得到 ，结合复数的几何意义，即
可求解.
【详解】由复数 满足 ，可得 ，则 ，
则复数 对应的点为 位于第四象限.
故选：D.3．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从 四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过 景
点，所以甲不选 景点，则不同的选法有（ ）
A．64种 B．48种 C．36种 D．24种
【答案】B
【分析】由分步乘法计数原理求解即可.
【详解】因甲不选A景点，应该分步完成：
第一步，先考虑甲在 三个景点中任选一个，有3种选法；
第二步，再考虑乙和丙，从 中分别任选一个景点，有 中选法．
由分步乘法计数原理，可得不同选法有： 种．
故选：B．
4．某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数 与可见叶片数 进行分析研究，其关系可以用函数 （
为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄
指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据： ， ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】利用函数 ，由题意已知 ，求出待定系数 ，再用 ，去求解
，当然这里面有取自然对数及取值计算.
【详解】由题意知 ， ，则等式两边同时取自然对数得 ， ，
． ， ， ， ，
故选：C．
5．过圆锥 高的中点 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 上部分圆锥与下部分圆台体积比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系．
【详解】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为 ,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为
h，圆台的体积为 ，所以 ， ，
可得 .
故选：D.
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除 ，得到 .再利
用两角差的正切公式展开 ，将 换成 ，化简即可得到答案.
【详解】 ，所以 ，
两边同除 ，得到 ，即 .
， .
故选：C.
7．已知函数 ，则使得 成立的正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数 的单调性求解不等式即可.
【详解】由题意可知 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数．
当 时， ，则函数 在 上单调递减，且 ．所以不等式 成立，需 ，
解得 或 ，又 ，
所以 ，即正实数 的取值范围是 ．
故选：A．
8．已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用导数判断 的单调性，再构造函数 ，利用导数判断得 ，
从而得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，则 恒成立，
所以当 时， ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
构造函数 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
即 ，可得 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
即
所以， ，
即 .
故选：D.
【点睛】思路点睛：先利用导数判断 的单调性，再构造函数 ，利用导数判断得
，是解决本题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a， ，有一组样本数据为 ，3， ， ，8，10， ，12，13，若在这组数据中
再插入一个数8，则（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变
【答案】AD
【分析】求出样本数据的平均数，判断A的真假；令 取特殊值，验证B的真假；利用方差的计算公式
求方差判断C的真假；因为8不是最值，所以插入8不影响极差，可判断D的真假.
【详解】对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确；
对于B选项，取 ， ，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误；
对于C选项，新数据的方差为
，错误；
对于D选项，因为 ，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．
故选：AD
10．已知直线 与圆 相交于 两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆 关于直线 对称，则
B． 的最小值为C．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆 的交点
D．若 （ 为坐标原点）四点共圆，则
【答案】BCD
【分析】根据对称性判断直线 过圆心，即可判断A，将直线 的方程整理为 ，即可说明
直线 所故定点，当定点为弦 的中点时，此时弦长最短，根据弦长公式判断B，根据圆系方程，可判断
C，根据几何关系，设出过四点 的圆 的方程，再求过圆 和圆 的交点的直线 的方程，代
入定点，即可判断D.
【详解】A.若圆 关于直线 对称，则直线 过圆 的圆心 ，即 ，得 ，故A错误；
B. ，整理为 ，不管 为何值，直线 始终过点 ，当 是线段
的中点时，此时弦长 最短，
圆 ，圆心是 ，半径 ，
圆心 和点 的距离是 ，所以最短弦长 ，故B正确；
C. 当 时，直线 ，
曲线 ，即 ，
所以曲线 为过直线 与圆 交点的曲线方程，故C正确；
D.若 四点共圆，设此圆为圆 ，圆 的圆心 ，
的中点为 ，所以 的垂直平分线方程为 ，所以 ，圆 的方程为 ，整理为 ，
直线 是圆 与圆 的交线，圆 与圆 的方程相减得
所以直线 的方程是 ，
将直线 所过的定点坐标 代入上式得 ，得 ，
所以直线 ，即直线 的斜率为 ，即 ，则 ，故D正确.
故选：BCD
11．已知 内角A、B、C的对边分别是a、b、c， ，则（ ）
A． B． 的最小值为3
C．若 为锐角三角形，则 D．若 ， ，则
【答案】BCD
【分析】由 ，得 ，由正弦定理得和余弦定理化简得 ，即可判断A；
将 代入 化简成 ，由基本不等式可得它的最小值，即可判断B；由正弦定理边化
角可得 ，再由 的范围可得 的范围，即可判断C；由正弦定理求出 ，再由余弦定
理可得 ，即可判断D.
【详解】由 ，得 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，
则 ，当 时， ，即 ，
当 时， ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选项A错误；由 ，则 ，当且仅当 时，故选项B正确；
在 中， ，由正弦定理，
，
若 为锐角三角形，又 ，则 ，故 ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，故选项C正确；
在 中，由正弦定理 ，又 ， ， ，
得 ，则
由余弦定理， ， 得 ，
整理得 ，解得 ，或 ，
当 时，有 ，又 ，所以 ，
因为 ，则 不成立，故选项D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量 的夹角为 ，若 ，则 .
【答案】4【分析】对 化简结合已知条件可得答案.
【详解】因为向量 的夹角为 ， ，
所以
所以由 ，得
得 ，或 （舍去），
故答案为：4
13．已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数a= ．
【答案】3
【分析】先设在 上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在 上的切点，即可求出a的
值.
【详解】设直线l与曲线 相切于点 ，
由 ，得 ，因为l与曲线 相切，
所以 消去 ，得 ，解得 ．
设l与曲线 相切于点 ，由 ，得 ，即 ，
因为 是l与曲线 的公共点，
所以 消去 ，得 ，即 ，解得 ．
故答案为：3.
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若过点 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，且 .又以双曲线的顶点为圆心，半径为 的圆恰好经过双曲线虚
轴的端点，则双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据给定条件，结合双曲线定义及余弦定理、圆的定义求出 即可.
【详解】令 ，依题意， ，解得 ，
显然 ， ， ，
而 ，于是 ，
在 中，由余弦定理 ，
得 ，解得 ，即 ，
所以双曲线的离心率为 .
故答案为：2
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范
围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合 转化为a，c的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以a或 转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式 ．
(2)设数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式 进行计算可发现数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
即可进一步得到数列 的通项公式；
（2）先根据题干及（1）的结果计算出数列 的通项公式，然后运用错位相减法计算出前 项和为 的
表达式，然后运用放缩法即可证明不等式成立．
【详解】（1）依题意，由 ，可得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
整理，得 ， ，
∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ；
（2）依题意及（1），由 可得 ，
则 ，
，两式相减，可得
，
∴ ，故得证．
16．（15分）已知底面 是平行四边形， 平面 ， ， ， ，
且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 .若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 或 .
【分析】（1）由 ，得到 ，再由 平面 ，证得 ，进而证得
平面 ，结合 ，得到 平面 ，利用面面垂直的判定定理，即可证得平面
平面 .（2）以 为原点，建立空间直角坐标系 ，设 ，求得向量
和平面 的一个法向量为 ，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求
解.
【详解】（1）证明：在 中， ， ， ，
则 ，可得 ，
所以 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）
是平行四边形， 平面 ， ， ，
，且 .
假设线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，
以 为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示，则 ，
可得 ， ，
设 ，则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
故 ，
整理得 ，解得 或 ，所以 或 .
17．（15分）为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参加航天科普知
识挑战赛，比赛共设置A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为50分，答对问
题A，B，C分别加10分，20分，30分，答错任一题减10分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当
累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分数大于或等于80分
时，答题结束，挑战成功；③每位参加者按问题A，B，C顺序作答，直至挑战结束.设甲同学能正确回答
出问题A，B，C的概率分别为 ， ， ，且回答各题正确与否互不影响.
(1)求甲同学挑战成功的概率；
(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求X的分布列和数学期望 .
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望 为
【分析】（1）用 表示甲第i个问题回答正确， 表示甲第i个问题回答错误，分析甲
同学能进入下一轮包括 ，分别求概率，再相加；
（2）分析出 的可能取值：0，1，2，分别求概率，写出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）用 表示甲第i个问题回答正确， 表示甲第i个问题回答错误，则
;
.
记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：
.
即甲同学能进入下一轮的概率为 .
（2）由题意知 的可能取值：0，1，2，
∴; ,
，
，
∴ 的分布列为：
0 1 2
∴ ,
即数学期望 为 .
18．（17分）已知椭圆 ： （ ）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与 轴垂
直的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点（ 在
靠近 的一侧）（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）在直线 上是否存在一定点 ，使 恒成立？若存在，求出 点坐标；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）存在，
【分析】（1）结合长半轴、焦距与通径定义计算即可得；
（2）（ⅰ）设出直线 方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，通过计算 得到其范
围后，即可得 的范围；（ⅱ）结合点到直线的距离公式，由题意可得距离相等，代入计算可得 点
纵坐标，代入方程可得横坐标，即可得解.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
则 ： ；
（2）（ⅰ）设直线 ： ， ， ，
联立 ，得 ，
则有 ， ，
且 ，则 ，则
，
设 ，
则 ，
则 .
（ⅱ）设 ，则 ，
设直线 ， ： ， ，
即分别为： ， ，
由 ，则 到直线 ， 的距离相等，
联立 ，有 是其中一组解，
又 与 等价，
不妨设 ，则有 ，
即 ，即 ，
可得 ，
又 ，即 ，则有 ，
通分并整理得：
.
代入得
.
化简得 .
故 ，则 ，则 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；（5）代入韦达定理求解.
19．（17分）若函数 在区间 上有定义，且 ， ，则称 是 的一个“封闭区间”．
(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ，设集合 ．
（i）求集合 中元素的个数；
（ii）用 表示区间 的长度，设 为集合 中的最大元素．证明：存在唯一长度为 的闭区
间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
【答案】(1)
(2)（i）2；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数 求导并求出其值域解不等式可得 的取值
集合；
（2）（i）对 求导得出函数 的单调性，利用零点存在定理即可求得集
合 中元素的个数为2个；
（ii）根据区间长度的定义，对参数 进行分类讨论得出 的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.
【详解】（1）由题意， ， ，
恒成立，所以 在 上单调递增，
可得 的值域为 ，
因此只需 ，
即可得 ，即 ，
则 的取值集合为 ．（2）（i）记函数 ，
则 ，
由 得 或 ；由 得 ；
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
其中 ，因此当 时， ，不存在零点；
由 在 单调递减，易知 ，而 ，
由零点存在定理可知存在唯一的 使得 ；
当 时， ，不存在零点．
综上所述，函数 有0和 两个零点，即集合 中元素的个数为2．
（ii）由（i）得 ，假设长度为 的闭区间 是 的一个“封闭区间” ，
则对 ， ，
当 时，由（i）得 在 单调递增，
，即 ，不满足要求；
当 时，由（i）得 在 单调递增，
，
即 ，也不满足要求；当 时，闭区间 ，而 显然在 单调递增，
，
由（i）可得 ， ，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为 的闭区间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应
的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.
