2024-2025 学年高三数学开学摸底考试卷（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A={x|−3<x≤2)) B={x|1≤x<3)) A∩B=
A．[1,2) B．(1,2) C．(−3,3) D．[2,3)
2．（5分）（2024·河南·模拟预测）若zi3=1−❑√5i，则|z)=（ ）
A．1 B．❑√6 C．❑√7 D．3
3．（5分）（2024·陕西渭南·三模）已知向量⃗m=(2,λ)，⃗n=(2−λ,−4)，若⃗m与⃗n共线且反向，则实数λ
的值为（ ）
A．4 B．2 C．−2 D．−2或4
π 4
4．（5分）（2024·江苏南通·模拟预测）已知0<β<α< ，sin(α−β)= ，tanα−tanβ=2，则
2 5
sinαsinβ=（ ）
1 1 2 ❑√2
A． B． C． D．
2 5 5 2
5．（5分）（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、
钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两
个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是
20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体
积是（ ）1784π 1884π 2304π 2504π
A． B． C． D．
3 3 3 3
x
6．（5分）（2024·湖北武汉·模拟预测）函数f (x)=ln(ex+1)− （ ）
2
A．是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增 B．是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数
π
7．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx−φ) ( ω>0,0<φ< ) 的部分图象如图所示，
2
则下列结论正确的是（ ）
(2π ) ❑√3
A．当x∈ ,π 时，f (x)的最小值为−
3 2
[π π
)
B．f (x)在区间 , 上单调递增
4 2
C．f (x)的最小正周期为2π
π
D．f (x)的图象关于直线x= 对称
3
8．（5分）（2024·四川南充·三模）已知函数f (x)、g(x)的定义域均为R，函数f(2x−1)+1的图象关于
原点对称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0，则
f(2030)−g(2017)=（ ）
A．−4 B．−3 C．3 D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·广东汕头·二模）某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30,100)，若等级分X∼N(80,25)，则（ ）
参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545；
P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.
A．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在[65,95)内的人数约为997
D．P(70<X≤75)=0.1359
10．（6分）（2024·江西·二模）设函数 （ ）在 处的切线与直线
f (x)=ln(1−ax) a≠0 (−1,f (−1))
ax+2y−3=0平行，则（ ）
A．a=1
B．函数f (x)存在极大值，不存在极小值
1
C．当x∈(−∞,0)时，f (x)>− x2−x
2
1
D．函数g(x)=|f (x))+ (x−1)有三个零点
2
11．（6分）（2023·广东广州·模拟预测）已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=−1的距离之和
等于4的点的轨迹，若P(x ,y )在曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
0 0
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过❑√13
C．曲线C及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
( 3) 9
D．点P(x ,y )到点Q 1,− 和点F(0,1)的距离之和最小为
0 0 2 2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知 ， 是双曲线C：x2 y2 的左、右焦点，P，
F F − =1
1 2 a2 b2
Q为双曲线C上两点，满足 ，且 ，则双曲线C的离心率为 ．
F P//F Q |F Q)=|F P)=3|F P)
1 2 2 2 113．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=❑√x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同
的切线，则公共点坐标为 .
14．（5分）（2024·全国·模拟预测）在一次抽奖活动中，某同学在标有
“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事
件A (i=1,2,3)表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正
i
确的是 （填标号）.
2 7
① P(A )=P(A )；②P(A |A )= ；③E(X)= .
1 2 1 2 5 2
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，
．
a(sinB−❑√3cosB)=❑√3(b−c)
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为❑√3，周长为6，求a．
16．（15分）（2024·山东济宁·三模）已知椭圆 x2 y2 的左焦点为 ，上顶点为 ，离心
E: + =1(a>b>0) F B
a2 b2
❑√2
率e= ，直线FB过点P(1,2).
2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若∠MPF=∠NPF，求直线l
的方程.π
17．（15分）（2024·山东泰安·模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD= ，
2
1
AB=BC= AD，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A BE的位置，如图
2 1
2．
(1)证明：平面BCDE⊥平面A OC；
1
(2)若平面A BE ⊥平面BCDE，求平面A BC与平面A CD夹角的余弦值．
1 1 1
18．（17分）（2024·上海·三模）已知f (x)=ex−ax−1，a∈R，e是自然对数的底数.
(1)当a=1时，求函数y=f (x)的极值；
(2)若关于x的方程f (x)+1=0有两个不等实根，求a的取值范围；
(3)当 时，若满足 ，求证： .
a>0 f (x )=f (x )(x <x ) x +x <2lna
1 2 1 2 1 2
19．（17分）（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 是斐波那契数列，其数值为：
{a ) 1,1,2,3,5,8,13,
n.这一数列以如下递推的方法定义： .数列 对
21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅ a =1，a =1，a =a +a (n∈N* ) {b )
1 2 n+2 n+1 n n
于确定的正整数 ，若存在正整数 使得 成立，则称数列 为“ 阶可分拆数列”.
k n b =b +b {b ) k
k+n k n n
(1)已知数列 满足 .判断是否对 ，总存在确定的正整数 ，
{c ) c =ma （n∈N* ，m∈R） ∀m∈R k
n n n
使得数列 为“ 阶可分拆数列”，并说明理由.
{c ) k
n
(2)设数列 的前 项和为 ，
{d } n S =3n−a (a≥0)
n n
（i）若数列{d }为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值；
n
（ii）在（i）问的前提下，若数列 满足 a ， ，其前 项和为 .证明：当 且 时，
{f ) f = n n∈N* n T n∈N* n≥3
n n S n
n
成立.
T <a2+a2+a2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a2−a a +1
n 1 2 3 n n n+1
