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微专题58 实验：用单摆测量重力加速度
1．利用单摆测量重力加速度的原理：由周期公式T＝2π 得g＝。2.采用图像法处理数据，在
T2－l 图像中斜率k＝。若l 不是摆长则结合T＝2π 进行图像分析。
1．(2023·福建省阶段练习)某同学在家里利用单摆测量当地的重力加速度，由于家里没有能
悬挂的小球，该同学找铁锁替代小球，如图甲所示。组装单摆时，摆线选择了长度约为1 m
的无弹性的细线。
(1)安装好器材后发现家里只有一根量程为40 cm 的刻度尺，于是他在细线上的A 点做了一
个标记，使得悬点O 到A 点间的细线长度小于刻度尺量程，保持该标记以下的细线长度不
变，通过改变OA 间细线长度来改变摆长，记录OA 间细线长度为L，则实验中得到的T2－L
关系图像如图乙所示，那么正确的图像应该是a、b、c 中的________；
(2)如果OA 间细线的长度分别为L1和L2时，测得相应的周期为T1和T2，由此可得重力加速
度g＝________。(用L1、L2、T1和T2表示)
答案 (1)a (2)
解析 (1)设标记以下的细线长度为L0，由单摆周期公式T＝2π 及l＝L＋L0可得T＝2π，所以
T2＝L＋L0，所以正确图像应为a；
(2)由(1)可知T1
2＝(L1＋L0)，T2
2＝(L2＋L0)，解得g＝。
2. (2023·北京市专题练习)某实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速
度”实验。
(1)实验中该同学进行了如下操作，其中正确的是__________。
A．用公式g＝计算时，将摆线长当作摆长
B．摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动
C．确保摆球在同一竖直平面内摆动
D．摆球不在同一竖直平面内运动，形成了圆锥摆
(2)在实验中，多次改变摆长L 并测出相应周期T，计算出T2，将数据对应坐标点标注在T2－
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L 坐标系(如图所示)中。请将L＝0.700 m，T2＝2.88 s2所对应的坐标点标注在图中，根据已
标注数据坐标点描绘出T2－L 图线，并通过图线求出当地的重力加速度g＝________ m/s2(结
果保留3 位有效数字)。
(3)将不同实验小组的实验数据标注到同一T2－L 坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如
图所示。已知图线a、b、c 平行，图线b 过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的
是________。
A．出现图线c 的原因可能是因为使用的摆线比较长
B．出现图线a 的原因可能是误将摆线长记作摆长L
C．由图线b 计算出的g 值最接近当地的重力加速度，由图线a 计算出的g 值偏大，图线c
计算出的g 值偏小
(4)该同学通过自制单摆测量重力加速度。他利用细线和铁锁制成一个单摆，计划利用手机
的秒表计时功能和卷尺完成实验。但铁锁的重心未知，不容易确定准确的摆长。请帮助该同
学提出“通过一定测量，求出当地重力加速度”的方法__________。
答案 (1)BC (2)见解析图 9.86 (3)B (4)见解析
解析 (1)用公式g＝计算时，应该将悬点到摆球重心之间的间距当作摆长，即应该将摆线长
与摆球的半径之和当作摆长，A 错误；实验过程中，单摆的摆长不能发生变化，即摆线上端
牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动，B 正确；单摆的运动应该是同一竖直平面内的圆周
运动，即实验时确保摆球在同一竖直平面内摆动，不能形成圆锥摆，C 正确，D 错误。
(2)将该坐标点标注在坐标系中，用一条倾斜的直线将描绘的点连接起来，不能落在直线上
的点均匀分布在直线两侧，如图所示
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根据T＝2π 有T2＝L，结合图像有＝ s2·m－1，解得g≈9.86 m/s2。
(3)根据图线c 可知，在T2为0 时，L 不为0，表明选择的L 的长度比实际的摆长大一些，即
有可能是将摆线的长与摆球的直径之和作为摆长L，此时有T＝2π 即有T2＝L－，该图像与
摆线的长度大小无关，A 错误；若将摆线长记作摆长L，则有T＝2π 即有T2＝L＋，该函数
对应的图像是a，即出现图线a 的原因可能是误将摆线长记作摆长L，B 正确；根据上述可
知，三条图像的斜率均为k＝，解得g＝，可知三条图线求出的重力加速度相同，C 错误。
(4)不容易确定准确的摆长，但可以通过多次改变摆线的长度，测量对应的周期，获得较准
确的重力加速度。具体做法：设摆线下端距重心x，第一次测出摆线长l1，则摆长为L1＝l1
＋x，测出对应的周期T1。仅改变摆线长，第二次测出摆线长l2，则摆长为L2＝l2＋x，测出
对应的周期T2。根据T1＝2π，T2＝2π，解得重力加速度g＝。
3．某小组同学用如图甲所示的DIS 二维运动实验系统研究单摆在运动过程中机械能的转化
和守恒(忽略空气阻力)。实验时，使发射器(相当于摆球)偏离平衡位置后由静止释放，使其
在竖直平面内摆动。系统每隔0.02 s 记录一次发射器的位置，多次往复运动后，在计算机屏
幕上得到的发射器在竖直平面内的运动轨迹如图乙所示。(当地的重力加速度g＝9.8 m/s2)
(1)在运动轨迹上选取适当区域后，点击“计算数据”，系统即可计算出摆球在所选区域内
各点的重力势能、动能及总机械能，并绘出对应的图线，如图丙所示。由图丙可知，此单摆
的周期为________ s。是否可以根据单摆的周期公式计算此摆的摆长大小？若能，请计算摆
长大小；若不能，请说明理由。________。
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(2)图丙中的C 点对应在图乙中圆弧轨迹AB 上的某一点，该点在__________。
A．圆弧AB 中点的左侧
B．圆弧AB 中点的右侧
C．圆弧AB 的中点
D．信息不够，不能确定
答案 (1)1.12 能 0.31 m (2)A
解析 (1)由题图丙可得，经0.28 s 时间，摆球重力势能从零增大到最大，动能从最大减小为
零，可知T＝4×0.28 s＝1.12 s，由T＝2π 可知，可以计算其摆长，代入数据得摆长为l＝＝
m≈0.31 m
(2)题图丙中的C 点动能和势能相等，有mgH＝mv2＋mgh＝2mgh，即h＝H
根据几何知识可知，该点在圆弧AB 中点的左侧，故选A。
4．某小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为
刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2 π，式中Ic为由该
摆决定的常量，m 为摆的质量，g 为重力加速度，r 为转轴到重心C 的距离。如图甲，实验
时在杆上不同位置打多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O 上，使杆做简谐运动，
测量并记录r 和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，
并测得摆的质量m＝0.50 kg。
r/m
0.45
0.45
0.35
0.30
0.25
0.20
T/s
2.11
2.14
2.20
2.30
2.43
2.64
(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。
(2)Ic的国际单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后二位)。
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g 的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不
变”)。
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答案 (1)T2r (2)kg·m2 0.17 (3)不变
解析 (1)由T＝2π 可得T2r＝＋r2，所以题图乙中纵轴表示T2r。
(2)Ic单位与mr2单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2；结合
T2r＝＋r2和题图乙中的纵截距和斜率，解得Ic的值约为0.17。
(3)重力加速度g 的测量值是通过求斜率得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，
重力加速度g 的测量值不变。
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