§2.10 指、对、幂的大小比较
重点解读 函数“比大小”是非常经典的题型,难度不定,方法无常,很受命题者的青睐.每年高考基本都会
出现,难度逐年上升.高考命题中,常常在选择题中出现,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混
在一起,进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻,即利用函数的性质与图象解答.
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
3 3 3
例1 (2024·鄂尔多斯模拟)已知a＝ 0.74, b＝log 84 ,c＝ 44, 则( )
A.b<a<c B.a<c<b
C.b<c<a D.a<b<c
答案 A
解析 由于y＝0.7x是R上的减函数,
3
则0< 0.74<0.70＝1,所以0<a<1,
由于y＝log x是(0,＋∞)上的增函数,
8
3
则log <log 1＝0,所以b<0,
84 8
由于y＝4x是R上的增函数,
3
则 44>40＝1,所以c>1,
所以b<a<c.
命题点2 找中间值
例2 设a＝0.20.5,b＝log 3,c＝50.2,则a,b,c的大小关系是( )
5
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<b<a D.c<a<b
答案 A
√5 √2.52 1
解析 0<a＝0.20.5＝ < ＝ ,
5 5 2
1
1
1>b＝log 3>log 52＝ ,
5 5
2
c＝50.2>50＝1,所以a<b<c.
命题点3 特殊值法
1
例3 已知a>b>1,0<c< ,则下列结论正确的是( )
2A.ac<bc B.abc<bac
C.alog c<blog c D.log c<log c
b a a b
答案 C
1
解析 取特殊值,令a＝4,b＝2,c＝ ,
4
1 1
则ac＝
44,
bc＝
24,
∴ac>bc,故A错误；
1 9 1 3
abc＝4×
24＝24,
bac＝2×
44＝22,
∴abc>bac,故B错误；
1 1
log c＝log ＝－1,log c＝log ＝－2,
a 44 b 24
alog c＝－8,blog c＝－2,
b a
∴alog c<blog c,log c>log c,故C正确,D错误.
b a a b
思维升华 利用特殊值作“中间量”
1
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0, ,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较
2
的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log 3,可知1＝log 2<log 3<log 4
2 2 2 2
＝2,进而可估计log 3是一个1~2之间的小数,从而便于比较.
2
(1) 0.3
跟踪训练1 (1)(2024·宁河模拟)设a＝2－0.5,b＝ ,c＝log 0.3,则a,b,c的大小关系为( )
2 0.5
A.c<b<a B.a<b<c
C.b<a<c D.c<a<b
答案 B
(1) 0.3
解析 因为a＝2－0.5,b＝ ＝2－0.3,
2
易知函数y＝2x在R上是增函数,
又－0.5<－0.3<0,所以a<b<20＝1,
又易知y＝log x在(0,＋∞)上是减函数,
0.5
所以c＝log 0.3>log 0.5＝1,
0.5 0.5
综上,a<b<c.
g
(2)(2025·天津模拟)设a＝log π,b＝lo 1π,c＝π－2,则( )
2
2
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
答案 Cg g
解析 依题意,a＝log π>log 2＝1,b＝lo 1π<lo 11＝0,0<c＝π－2<π0＝1,所以a>c>b.
2 2
2 2
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
命题点1 作差法
例4 设a＝log 2,b＝log 3,c＝log 5,则( )
6 12 40
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<a<b D.a<c<b
答案 D
1 lg4
解析 ∵ ＝log 12＝1＋log 4＝1＋
b 3 3 lg3
2lg2 1
＝1＋ , ＝log 40
lg3 c 5
lg8
＝1＋log 8＝1＋
5 lg5
3lg2
＝1＋ ,
lg5
1 1 2lg2 3lg2
∴ － ＝ －
b c lg3 lg5
2lg2×lg5-3lg2×lg3
＝
lg3×lg5
lg2(2lg5-3lg3)
＝
lg3×lg5
lg2(lg25-lg27)
＝ <0,
lg3×lg5
1 1
∴ < ,
b c
又b>0,c>0,∴b>c；
1
∵ ＝1＋log 8<1＋log √125
c 5 5
3 5 2
＝1＋log 52＝ ,∴c> ,
5 2 5
1
∵ ＝log 6＝1＋log 3>1＋log √8
a 2 2 2
3 5 2
＝1＋log 22＝ ,∴a< ,
2 2 5
∴a<c.∴a<c<b.
命题点2 作商法
例5 (2025·成都模拟)若a＝ 3 - 4
1
, b＝
(3
2
)-
3
1
,c＝lo g 1 5
2
,则a,b,c的大小关系为( )
2A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
答案 D
1
解析 因为0<a＝
3
- 4<30＝1,
(3)- 1 (3) 0
0<b＝ 3< ＝1,
2 2
1
-
a 3 4 - 1 ＋ 1
令b ＝ (3)- 1 ＝3 4 3 × 2 - 3 1 ＝31 1 2 × 2 - 3 1 ,
3
2
而 ( 31 1 2×2 - 3 1) 12 ＝ ( 31 1 2 ) 12 ×( 2 - 3 1 )12
3
＝3×2－4＝ <1,
16
1 1
即 312 × 2 - 3<1,所以a<b,
2 4 5 1
又因为c＝lo g ＝lo g >lo g ＝lo g ＝1,所以c>b>a.
1 5 1 10 1 10 1 2
2 2 2 2
命题点3 乘方法
4
例6 已知a＝log 5,b＝log 7,c＝ ,则( )
3 5 3
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
答案 D
4 4
解析 因为53＝125> (33) 3＝81,所以5> 33,
4
4
所以log 5>log 33＝ ,即a>c.
3 3
3
4 4
因为73＝343< (53) 3＝625,所以7< 53,
4
4
所以log 7<log 53＝ ,即b<c.
5 5
3
所以a>c>b.
思维升华 求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小
关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
跟踪训练2 (1)已知正数a,b,c满足2 024a＝2 025,2 025b＝2 024,ec＝2,下列说法正确的是( )
A.log c>log c B.loga>logb
a b c cC.ac<bc D.ca<cb
答案 D
解析 ∵2 024a＝2 025,2 025b＝2 024,ec＝2,
∴a＝log 2 025>1,b＝log 2 024<1,c＝ln 2<1,
2 024 2 025
∴a>1,0<b<1,0<c<1,
∴log c<0,log c>0,∴log c<log c,故A错误；
a b a b
∵0<c<1,a>b,∴loga<logb,ac>bc,ca<cb,故B,C错误,D正确.
c c
√3
(2)若a＝ 4 log 2 2 , b＝log 14 7,c＝log 12 6,则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
答案 A
√3 √3 (√3) 2 2
解析 a＝4
log
2 2 ＝2
2log
2 2 ＝2
log
2 2 ＝
(√3)
＝
3
,
2 4
ln2 ln2
b＝log 7＝1－log 2＝1－ ,c＝log 6＝1－log 2＝1－ ,
14 14 ln14 12 12 ln12
1
因为4log 2＝log 24＝log 16>1,则log 2> ,
14 14 14 14 4
1 3
所以1－log 2<1－ ＝ ,即b<a；
14 4 4
ln2 ln2
而ln 2>0,ln 14>ln 12>0,所以 < ,
ln14 ln12
ln2 ln2
所以1－ >1－ ,即b>c,
ln14 ln12
综上,a>b>c.
课时精练
[分值：52分]
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
1.(2024·湛江模拟)已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log 0.3,则( )
0.2
A.b>c>a B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
答案 D
解析 依题意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log 0.3<log 0.2＝1,所以b>a>c.
0.2 0.2
2 (1)- 1
2.(2025·攀枝花模拟)若a＝( √3)3, b＝log 3 e,c＝ e 3,则( )A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
答案 A
解析 易知y＝ x3
1
在(0,＋∞)上单调递增,则( √3)3
2
＝33
1
>e3
1
＝
(1
e
)-
3
1
,即a>c,
1 1
而由y＝3x,y＝ex均为增函数,得 33>30＝1 ,e3>e0＝1,即a>c>1,
又y＝log x为增函数,故1＝log 3>log e＝b,
3 3 3
则a>c>1>b.
1
3.已知a＝ln √3,b＝ πe, c＝ln √3 π,则a,b,c的大小关系为( )
A.b>a>c B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
答案 A
解析 ∵(√3) 6＝27,(√3 π) 6＝π2,27>π2,
∴√3>√3 π,
∴0<ln √3 π<ln √3<ln e＝1,即c<a<1,
1
∵b＝ πe>1,
∴b>a>c.
π
4.已知a＝log 2,b＝log 3,c＝sin ,则a,b,c的大小关系为( )
3 4 6
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.b>a>c
答案 D
π 1
解析 c＝sin ＝ ,因为函数y＝log x,y＝log x在(0,＋∞)上单调递增,
6 2 3 4
1
则a＝log 2>log √3＝ ,
3 3 2
1
b＝log 3>log 2＝ .
4 4 2
ln2 ln3 ln2×ln4-(ln3) 2
a－b＝ － ＝ ,
ln3 ln4 ln3×ln4
1 1
因为ln 2>0,ln 4>0,则ln 2＋ln 4>2√ln2×ln4 ln 2×ln 4< ×(ln 8)2< ×(ln 9)2＝(ln 3)2.
4 4
⇒
故a<b,综上,b>a>c.
10 11 ln2.2
5.(2025·沈阳模拟)设a＝ e33, b＝ln
10
,c＝
10
,则( )A.a<b<c B.c<b<a
C.b<c<a D.a<c<b
答案 B
10 11 ln2.2
解析 a＝ e33>e0＝1,b＝ln
10
<1,c＝
10
<1,故a>b,a>c,
11 ln2.2 (11) 10
要比较ln 与 的大小,即比较ln 与ln 2.2的大小,
10 10 10
等价于比较1.110与2.2的大小,等价于比较1.19与2的大小,
又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1×1.96>2,
11 ln2.2
故1.19>2,即ln > ,即b>c,
10 10
故c<b<a.
9 1
6.已知log m＝ ,log n＝ ,0.9p＝0.8,则正数m,n,p的大小关系为( )
4 20 12 4
A.p>m>n B.m>n>p
C.m>p>n D.p>n>m
答案 A
9 9 9
解析 由log
4
m＝
20
,得m＝ 420＝210<2,
1 1
由log 12 n＝ 4 ,得n＝ 124,
9 1
×9
m 420 420 ( 49 ) 1 ( 49 ) 1 (44 ) 1 (256) 1
＝ ＝ ＝ 20＝ 20＝ 20＝ 20>1,因此2>m>n；
n 1 1
×5
125 35×45 35 243
124 1220
由0.9p＝0.8,得p＝log 0.8>log 0.81＝2,于是p>m>n,
0.9 0.9
所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n.
二、多项选择题(每小题6分,共12分)
7.已知x>y>0,则( )
A.log (x2＋1)>log (y2＋1)
2 2
B.cos x>cos y
C.(x＋1)3>(y＋1)3
D.e－x＋1>e－y＋1
答案 AC
解析 对于A,由x>y>0,得x2＋1>y2＋1,又f(t)＝log t是增函数,所以log (x2＋1)>log (y2＋1),故A正确；
2 2 2
对于B,由于g(t)＝cos t在(0,＋∞)上不单调,所以cos x与cos y的大小关系无法确定,故B错误；
对于C,由x>y,得x＋1>y＋1,又h(t)＝t3是增函数,所以(x＋1)3>(y＋1)3,故C正确；对于D,由x>y,得－x＋1<－y＋1,又φ(t)＝et是增函数,所以e－x＋1<e－y＋1,故D错误.
8.设a＝ln 4,b＝lg 4,c＝20.6,则( )
A.b>a B.c>a
C.a－b>ab D.a＋b>ab
答案 BD
解析 因为a＝ln 4>ln e＝1,b＝lg 4<lg 10＝1,所以b<a,故A错误；
因为42<e3,所以ln 42<ln e3,即ln 4<
3
,又
(3) 5
＝
243
,(20.6 ) 5 ＝(25
3
) 5＝8＝
256
,所以
3
<20.6,则ln 4<20.6,即a<c,
2 2 32 32 2
故B正确；
lg4 (lg4) 2 lg4[1-lg(4e)]
因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝ －lg 4－ ＝ ,而lg(4e)>1,lg 4>0,lg e>0,所
lg e lg e lg e
以a－b－ab<0,即a－b<ab,故C错误；
5e
lg4 lg4 lg
由a＋b－ab＝ ＋lg 4－ ·lg 4＝lg 4· 2 >0,所以a＋b>ab,故D正确.
lg e lg e
lg e
三、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知a＝log 0.5,b＝20.5,c＝sin 2,则a,b,c的大小关系为 .
2
答案 a<c<b
解析 因为函数y＝log x是增函数,且0.5<1,
2
则a＝log 0.5<log 1＝0,
2 2
因为函数y＝2x是增函数,且0.5>0,
则b＝20.5>20＝1,
[π 3π] π
因为正弦函数y＝sin x在区间 , 上单调递减,且 <2<π,
2 2 2
π
所以0＝sin π<c＝sin 2<sin ＝1,
2
所以a<c<b.
10.定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数,且当x <x <2时,[f(x )－f(x )](x －x )>0恒成立,a＝f(1),b＝f(ln
1 2 2 1 2 1
5
10),c＝f( 34),则a,b,c的大小关系为 .(从大到小排列)
答案 b>a>c
解析 因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x),
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称,
当x <x <2时,x －x >0,
1 2 2 1
由[f(x )－f(x )](x －x )>0,
2 1 2 1
得f(x )－f(x )>0,即f(x )>f(x ),
2 1 2 1所以f(x)在(－∞,2)上单调递增,
则f(x)在(2,＋∞)上单调递减,
根据函数y＝ln x在(0,＋∞)上单调递增,且e2<10<2.53<e3,则2<ln 10<3；
5
根据函数y＝3x在R上单调递增,且1< ,
4
5
则3< 34,
5
则有 34>3>ln 10.
由函数f(x)在(2,＋∞)上单调递减,f(1)＝f(3),
5
可知f(ln 10)>f(3)>f( 34),即b>a>c.
