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第20 课时 圆周运动
目标要求 1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解
问题的分析方法。3.掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。
考点一 圆周运动的运动学问题
1.描述圆周运动的物理量
2.匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 ，所做的运动叫作匀速圆
周运动。
(2)特点：加速度大小 ，方向始终指向 ，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小 ，方向始终与 方向垂直且指向圆心。
1.匀速圆周运动是匀变速曲线运动。( )
2.物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的。( )
3.物体做匀速圆周运动时，其所受合外力是变力。( )
4.向心加速度公式在非匀速圆周运动中不适用。( )
在an＝v
2
r ，an＝ω2r 两式中an与r 成正比还是成反比？
例1 (2024·山东东营市开学考)A、B 两艘快艇在水平湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内(该时间
小于A、B 的周期)，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A.线速度大小之比为4∶3
B.角速度之比为3∶4
1
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C.圆周运动的半径之比为2∶1
D.向心加速度大小之比为1∶2
例2 如图所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为
RB∶RC＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动
时，由于摩擦力作用，B 轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c 分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c
三点在运动过程中的( )
A.线速度大小之比为3∶2∶2
B.角速度之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.向心加速度大小之比为9∶6∶4
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装
置
A、B 两点在同轴的一
个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B 两点
分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B 两点
分别是两个齿轮边缘上的点
角速度、周期相同
线速度大小相等
线速度大小相等
转
向
相同
相同
相反
规
律
线速度与半径成正
比：
v A
vB
＝r
R
向心加速度与半径成
正比：
aA
aB
＝r
R
角速度与半径成反比：
ωA
ωB
＝r
R
向心加速度与半径成反比：
aA
aB
＝r
R
角速度与半径成反比：
ωA
ωB
＝r2
r1
向心加速度与半径成反比：
aA
aB
＝r2
r1
例3 (多选)(2025·山东烟台市校考)一位同学玩飞镖游戏，已知飞镖距圆盘为L，对准圆盘上边缘的A
点水平抛出飞镖，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直于盘面且过盘心O 点的水平轴匀速转动。
不计空气阻力，重力加速度为g。若飞镖恰好击中A 点，下列说法正确的是( )
2
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A.从飞镖抛出到恰好击中A 点，A 点一定转动到最低点位置
B.从飞镖抛出到恰好击中A 点的时间为L
v0
C.圆盘的半径为g L
2
4 v0
2
D.圆盘转动的角速度一定满足2k π v0
L
(k＝1，2，3，…)
匀速圆周运动的周期性和多解性问题
匀速圆周运动基本特征之一就是周期性，即在做匀速圆周运动过程中，物体的空间位置具有时间上的重复
性。这一特点决定了匀速圆周运动问题的多解性。在分析匀速圆周运动与其他运动(匀速直线运动、平抛运
动等)相联系的问题时，利用运动的等时性(同时发生、同时结束)是解决此类问题的关键。
考点二 圆周运动的动力学问题
1.匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的 。
(2)大小
Fn＝ ＝ ＝ ＝mωv。
(3)方向
始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个变力。
2.匀速圆周运动中向心力的来源
运动模型
向心力Fn的来源(图示)
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
圆锥摆
3
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飞车走壁
飞机水平转弯
火车转弯
3.离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就
做 的运动。
(2)受力特点(如图)
①当F＝0 时，物体沿 方向飞出，做匀速直线运动。
②当0<F<mrω2时，物体逐渐 圆心，做 运动。
③当F>mrω2时，物体逐渐 ，做 运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力 做匀速圆周运动需要的向心力。
1.做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。( )
2.摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。( )
3.向心力可以由物体受到的某一个力提供，也可以由物体受到的合力提供。( )
4.在变速圆周运动中，向心力不指向圆心。( )
例4 (多选)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω 匀速转动的圆筒内壁上而不
掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为g，杂技演员与圆筒内壁间的
动摩擦因数为μ，则该演员( )
A.受到4 个力的作用
4
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B.所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大，人受到的摩擦力越大
D.圆筒的角速度ω≥√
g
μr
例5 (2023·福建卷·15)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO'上
的O 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O 点，另一端与套在杆上的圆环
相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。
已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角α 始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝
100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。
(1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O 点的距离；
(2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
(3)求圆环处于细杆末端P 时，细杆匀速转动的角速度大小。
圆周运动中动力学问题的分析思路
例6 (多选)四个完全相同的小球A、B、C、D 均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球A、B
在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B 球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D 在不同水平面内做圆锥摆
运动，但是连接C、D 的绳与竖直方向的夹角相等(连接D 球的绳较长)，则下列说法正确的是( )
A.小球A、B 角速度大小相等
5
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B.小球A、B 线速度大小相等
C.小球C、D 向心加速度大小相等
D.小球D 受到绳的拉力与小球C 受到绳的拉力大小相等
圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F 向＝mgtan θ＝mv
2
r ＝mω2r，且r＝Lsin θ，联立解得v＝√gL tanθsinθ，ω＝√
g
Lcosθ
。
2.稳定状态下，θ 角越大，对应的角速度ω 和线速度v 就越大，小球受到的拉力F＝mg
cosθ 和运动所需的向
心力也越大。
6
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答案精析
考点一
1.2π r
T
2π
T 2π r
v
ω2r 4 π
2
T
2 r
2.(1)相等 (2)不变 圆心 (3)不变 速度
判断正误
1.× 2.× 3.√ 4.×
讨论交流 在v 一定时，an与r 成反比；在ω 一定时，an与r 成正比。
例1 A [由v＝Δs
Δt 知，时间相同，路程之比即线速度大小之比，为4∶3，A 项正确；由ω＝Δθ
Δt 知，时
间相同，运动方向改变的角度之比等于快艇与圆心连线扫过的圆心角之比，即角速度之比，为3∶2，B 项
错误；由v＝ωr 知半径之比为8∶9，C 项错误；由向心加速度an＝v
2
r 知，向心加速度大小之比为2∶1，D
项错误。]
例2 D [A、B 靠摩擦传动，则两轮边缘上a、b 两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，选项A 错误；
B、C 同轴转动，则两轮边缘上b、c 两点的角速度相等，即ωb＝ωc，转速之比
nb
nc
＝ωb
ωc
＝1
1，选项B、C
错误；对a、b 两点，由an＝v
2
r 得
aa
ab
＝RB
R A
＝3
2，对b、c 两点，由an＝ω2r 得
ab
ac
＝RB
RC
＝3
2，故aa∶ab∶ac
＝9∶6∶4，选项D 正确。]
例3 ABC [飞镖抛出后做平抛运动，则从飞镖抛出到恰好击中A 点，A 点一定转动到了圆盘最低点位置，
故A 正确；飞镖水平抛出，在水平方向做匀速直线运动，因此t＝L
v0
，故B 正确；飞镖击中A 点时，A 恰
好在圆盘最低点，有2r＝1
2gt2，解得r＝g L
2
4 v0
2，故C 正确；飞镖击中A 点，则A 点转过的角度满足θ＝ωt
＝π+2kπ(k＝0，1，2，…)，故ω＝2k +1
L
πv0(k＝0，1，2，…)，故D 错误。]
考点二
1.(1)方向 大小 (2)mv
2
r mrω2 m4 π
2
T
2 r (3)圆心
2.Ff FT mBg mgtan θ lsin θ mgtan θ mgtan θ mgtan θ
3.(1)逐渐远离圆心 (2)①切线 ②远离 离心 ③向圆心靠近 近心 (3)小于
判断正误
1.× 2.× 3.√ 4.×
例4 BD [杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3 个力作用，A 错误；由于杂技演员在圆筒内壁
上不掉下来，竖直方向根据平衡条件，有mg＝Ff，筒壁的弹力提供向心力，水平方向有F＝mω2r，角速度
7
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越大，弹力变大，人受到的摩擦力不变，B 正确，C 错误；要想不下滑，最大静摩擦力需要大于等于重力，
所以μF≥mg，F＝mω2r，解得ω≥√
g
μr ，D 正确。]
例5 (1)0.05 m (2) 10√6
3
rad/s
(3)10 rad/s
解析 (1)当细杆和圆环处于静止状态，对圆环受力分析得受弹簧弹力FT0＝mgcos α＝5 N
根据胡克定律F＝kΔx 得Δx0＝FT 0
k ＝0.05 m
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O 点的距离
x1＝x0－Δx0＝0.05 m
(2)若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第
二定律得mg
tan α ＝mω0
2r
由几何关系得圆环此时做匀速圆周运动的半径为r＝x0sin α
联立解得ω0＝10√6
3
rad/s
(3)圆环处于细杆末端P 时，圆环受重力、支持力、沿杆向下的弹力。
根据胡克定律得FT＝k(L－x0)＝10 N
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，
则有mg+FTcos α＝FNsin α，
FTsin α+FNcos α＝mω2r'
由几何关系得r'＝Lsin α
联立解得ω＝10 rad/s。
例6 ACD [对题图甲中A、B 分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、
B 到悬点O 的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝√
g
lcosθ ＝√
g
h ，所以小球A、B 的角速度大
小相等，A、B 做圆周运动的半径不同，则线速度大小不相等，故A 正确，B 错误；对题图乙中C、D 分析，
设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝man，FTcos θ＝mg，得an＝
8
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gtan θ，FT＝mg
cosθ ，所以小球C、D 向心加速度大小相等，小球C、D 受到绳的拉力大小也相等，故C、D
正确。]
9
