文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题六 导数（解答题10 种考向）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考向一 含参函数单调性的讨论
【例1-1】（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，则
，
从而
，
，
故所求切线方程为
，即
（或
）.
（2）由题意可得
.
当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
，即
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，则
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
【例1-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数
，其中
.
(1)若
的图象在
处的切线经过点
，求a 的值；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）
，
因为
，
，
所以
的图象在
处的切线方程为
，
将
代入得
，解得
；
（2）
，
当
时，
，令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
【例1-3】（2025·广东江门·一模）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的极值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）由
，则函数
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
当
时，
，显然当
时，函数
在
上单调递增，
当
时，求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
与
上单调递增，在
与
上单调递减.
（2）由
时，则函数
，可得
，解得
或
，
所以函数
的定义域为
，由（1）易知函数
为偶函数，
当
时，则函数
，
当
时，函数
在
上单调递增，此时无极值；
当
时，求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故函数
的极大值为
，
由函数
为偶函数，则函数
的极大值为
，
综上，当
时，函数
无极值；
当
时，函数
的极大值为
，无极小值.
【例1-4】（2025·山东菏泽·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，存在
，使得
，求a 的取值范围.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
当
时，
恒成立，此时
在
上单调递减；
当
时，令
，则
当
时，
，此时
在
单调递减，
当
时，
，此时
在
单调递增；
综上所述，当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的减区间为
，增区间为
.
（2）因为存在
，使得
.只需
或
因为
，所以
所以只需
，由（1）知
为
与
中的较大者
所以
或
，解得
或
，
所以
综上所述，a 的取值范围为
【例1-5】（2025·江西·一模）已知函数
，
(1)若
，求函数
的最小值；
(2)设函数
，讨论函数
的单调性；
(3)若在区间
上存在一点
，使得
成立，求
的取值范围．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）当
时，
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，
所以，
.
（2）因为
，其中
，
则
，
当
时，即当
时，由
可得
，由
可得
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
；
当
时，即当
时，
由
可得
，由
可得
或
，
此时，函数
的增区间为
、
，减区间为
；
当
时，即当
时，对任意的
，
，
此时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，即当
时，
由
可得
或
，由
可得
，
此时，函数
的增区间为
、
，减区间为
.
综上所述，当
时，函数
的减区间为
，增区间为
；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
；
当
时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
.
（3）由（2）可知，当
时，函数
在
上单调递增，则
，不合乎题意；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
（i）若
，则
时，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
，
设
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，则
，合乎题意；
（ii）若
，即当
时，函数
在
上单调递减，
所以，
，解得
，
因为
，则
.
【例1-6】（2025·陕西安康·二模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
(3)
.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】（1）当
时，函数
，求导得
，则
，而
，
所以所求切线方程为
.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，由
，得
或
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
或
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
的递增区间为
，递减区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
上单调递增，递减区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
，递减区间为
.
（3）由（2）知当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
依题意，
，即
恒成立，
令函数
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，函数
在
上递增，在
上递减，
即
，因此
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
最小值为
.
考向二 切线
【例2-1】（24-25 高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若
的图象在点
处的切线方程为
，求a 与b 的值；
(2)若
在
处有极值
，求a 与b 的值.
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，
，
因为切线方程为
，
所以
，解得
，
所以
.
（2）
函数
在
处有极值
且
或
恒成立，此时函数无极值点，
此时1 是极值点，满足题意，
所以
.
【例2-2】（2025·云南昆明·一模）已知函数
，
，其中
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，求
的值.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)单调递减区间
，单调递增区间为
(2)
【解析】（1）由已知，
，有
.
令
，解得
.
由
，可知当
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
0
+
极小值
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）由
，可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
由
，可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
因为这两条切线平行，故有
，即
.
两边取以
为底的对数，得
，
所以
.
【例2-3】（2025·北京平谷·一模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的单调区间；
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(3)当
变化时，曲线
在点
处的切线斜率能否为1？若能，求
的值，若不能，说明理由.
【答案】(1)
(2)
在
为减函数.
(3)能，
【解析】（1）当
时，则
，
，
，
所以在点
处的切线方程为
.
（2）当
时，函数
的定义域是
，
所以
，
令
，
所以
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
时为增函数，在
上为减函数，
在
处取得最大值，
又
，故
恒成立，所以
在
为减函数.
（3）由题意知，因为
，
所以
，即有
，
令
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
故
是
上的增函数，又
，因此0 是
的唯一零点，
即方程
有唯一实根0，所以
.
所以曲线
在点
处的切线斜率能为1，此时
.
【例2-4】（2025·陕西榆林·二模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)已知直线
是曲线
的切线，且
对
恒成立，求
的最大值.
【答案】(1)
在
上单调递增，在
上单调递减.
(2)
【解析】（1）
，
令
得
，当
时，
；当
时，
.
因此
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）知，
.
当
时，直线
是曲线
的切线，且
对
恒成立，满足题意；
当
时，设直线
与曲线
相切于点
，
，
因为
，所以
，又
，因此
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又因为
，所以
，
，
取
，则
，
，
因此存在
，使得
，不满足题意.
综上，
的最大值为
.
【例2-5】（2024·河南）已知函数
，
．
(1)若曲线
在
处的切线与曲线
相交于不同的两点
，
，曲线
在
A，B 点处的切线交于点
，求
的值；
(2)当曲线
在
处的切线与曲线
相切时，若
，
恒成
立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）因为
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
．
由已知得
，
，不妨设
，
又曲线
在点A 处的切线方程为
，
在点B 处的切线方程为
，
两式相减得
，
将
，
，
代入得
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
化简得
，
显然
，所以
，所以
，又
，所以
．
（2）当直线
与曲线
相切时，设切点为
，
则切线方程为
，将点
代入，解得
，此时
，
，
根据题意得，
，
，
即
恒成立．
令
，则，
，令
，则
，
易知
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
．
若
，则
，即
在
上单调递增，
则
，所以
在
上恒成立，符合题意；
若
，则
．
又
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，
单调递减，即
，
所以此时存在
，使得
，不符合题意．
综上可得，a 的取值范围为
．
【例2-6】（2025·山西）已知
，函数
.
(1)若
是增函数，求
的取值范围；
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)证明：当
，且
时，存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域为
令
，
令
，得
；令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
，故
的取值范围是
.
（2）设曲线
的切点为
，
则曲线
在点
处的切线方程为
.
联立
，得
，
必有
，
记函数
，由题
，
故当
时，
.
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
记
，
令
，得
；令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
，且
时，
，
当
时，
，故存在
，使得
，
当
，或
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减.
由
，得
，代入
并整理得：
同理
，
记
，由（1）知
为增函数，
，
，
又
，当
时，
，
有三个零点，
存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
考向三 零点
【例3-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)讨论函数
在
上零点的个数.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【解析】（1）当
时，
，求导得
，
则
，而
，所以所求切线方程为
，即
.
（2）依题意，
，
当
时，
；当
时，
，函数
在
上递增，
在
上递减，
，
当
，即
时，
恒成立，此时
在
上无零点；
当
，即
时，
，
，
在
上无零点，
，在
上有一个零点，则
在
上有一个零点；
当
，即
时，
，
函数
在
和
上各有一个零点，因此
在
上有两个零点；
当
，即
时，
在
上恒成立，当且仅当
，函数
在
上有一个零点；
当
，即
时，
恒成立，此时
在
上无零点，
所以当
或
时，
在
上无零点；
当
或
时，
在
上有一个零点；
当
时，
在
上有两个零点.
【例3-2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数
.
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若方程
有两个根，求
的取值范围.
【答案】(1)函数
的单调递增区间为
和
，递减区间为
(2)
的取值范围为
【解析】（1）当
时，
，
所以
，
由
，得
或
，由
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
和
，递减区间为
；
（2）因为
不是
的根，当
时，
由
，可得
，
设
，
则
，
，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
当
时，
且
，
当
时，
，
要使
有两个根，则
，解得
，
所以
的取值范围为
.
【例3-3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
在点
处的切线与
轴垂
直.
(1)求
的值；
(2)求
的极值；
(3)求方程
的实数根的个数.
【答案】(1)
(2)
的极大值
，
的极小值
(3)有1 个实数根
【解析】（1）由题知
，
所以
.
由题意可知
，解得
.
（2）由（1）知
，
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴当
时，
0；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
所以当
时，
取得极大值
，
当
时，
取得极小值
，
即
的极大值
，
的极小值
.
（3）
即
.
因为
，故方程在
上没有实数根；
又
，则
，所以方程在
上有1 个实数根.
故
共有1 个实数根.
【例3-4】（2025·山东泰安·一模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
或
【解析】（1）由题意
的定义域为
当
时，
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，又
，
在
处的切线方程为
，即
（2）
，
，
当
，即
时，
，
在
上单调递减，
当
，即
时，在
上，
，在
上
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，
时，
在
上单调递减；
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）方程
有两个不同实根，
等价于方程
有两个不同实根,
设
，
则
且
，
当
时，
时，
时，
，
此时函数
只有一个零点
，方程只有一个根，不符合题意；
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
，
存在
使
，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
上
，在
上
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，
设
，则
，
当
时，
单调递减，
又
，
，又
，
在
上和
上各有一个零点，符合题意；
当
时，
，
在
上
，在
上
，
在
上单调递增，在
上单调递增，
，
只有
一个零点，不符合题意；
当
时，
，
，
存在
使得
，
在
上
单调递减，在
上
单调递增，
，
，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
当
时，
单调递增，
又
，
，
在
上存在一个零点
又
，
时
有两个零点，符合题意；
综上，方程
有两个不同实根时，
或
.
【例3-5】（2025·广东湛江·一模）已知函数
，其中
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)当
时，试判断
的零点个数并证明．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)两个零点，证明见解析
【解析】（1）由题知
，
，
当
时，
．
令
，得
或
（舍去）．
当
时，
，故
的单调递减区间为
．
当
时，
，故
的单调递增区间为
．
（2）解法一：因为
，故
有一个零点是2．
令
，解得
（舍去），
．
当
时，
，故
单调递减．
当
时，
，故
单调递增．
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，
．
．
下面先证明当
时，
．
令
，
，
故
在
上单调递增，
所以
．
因为
，所以
．
易知
，所以
在
上存在唯一的零点
，
所以当
时，
有两个零点，为2 和
．
解法二：当
时，
，故2 是
的一个零点．
令
，又
，所以
．
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
是
的极小值点．
当
时，
，所以
．
下证
．
令
，则
．
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
从而
，
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以当
时，
，
所以
，
即
．
令
，则有
，则
．
易得当
时，
，所以
在
上有唯一解．
综上，当
时，
有两个零点．
解法三：令
，
当
时，
，故2 是
的一个零点．
当
时，
．
令
，
易得
在
和
上均单调递减．
因为
（洛必达法则），
所以当
时，
且单调递减，
故当
时，
在
上有唯一解．
而当
时，
，
故当
时，
无解．
综上可知，当
时，
有两个零点.
考向四 极值点
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例4-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数
.
(1)讨论
的极值点个数；
(2)若存在实数
使得
轴为
的切线，求
的最大值.
【答案】(1)当
时，无极值点；
时，
有唯一极小值点，无极大值点
(2)1
【解析】（1）由题意得
若
，则
在
上单调递增，无极值点
若
，令
，得
，由于
是增函数.
所以
时，
单调递减，
时，
单调递增，
故
是
的唯一极小值点.
综上，当
时，无极值点；
时，
有唯一极小值点，无极大值点.
（2）设切点为
，
由（1）知
，因为
轴为
的切线，则
解得
，
令
，
当
时，
单调递增，
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
单调递减，
故
是
的唯一极大值点.
，所以
的最大值为1.
【例4-2】（2024·河南）已知函数
.
(1)证明：
恰有一个零点；
(2)设函数
.若
至少存在两个极值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：令
，得
.
又
，所以
.
令
，则
，
所以
在区间
上单调递增.
又
，
所以存在唯一的
，使得
，
即
在区间
内恰有一个零点，
故函数
恰有一个零点.
（2）由题意知
，
所以
.
因为函数
至少存在两个极值点，
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以方程
至少有两个不等实根.
令
，则
.
令
，则
，
所以函数
在区间
上单调递减.
又
，所以当
时，
，即
0，此时
单调递增；
当
时，
，即
，此时
单调递减，
且当
时，
；当
时，
；当
时，
.
要使
在区间
内至少有两个不等实根，
则函数
的图象与直线
在区间
上至少有两个交点.
作出函数
的图象，如图所示，
则
，解得
.
此时，
在区间
和区间
内各有一个零点，分别设为
，
则当
或
时，
；当
时，
，
故
为
的极小值点，
为
的极大值点，符合题意.故实数
的取值范围是
.
【例4-3】（2024·贵州）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若
有两个极值点
，
，证明：
.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）由题得
，其中
，
令
，
，其中对称轴为
，
．
①若
，则
，
此时
，则
，所以
在
上单调递增；
②若
，则
，
此时
在
上有两个根
，
，且
，
所以当
时，
，则
，
单调递增；
当
,
时，
，则
，
单调递减；
当
,
时，
，则
，
单调递增，
③当
时，当
时，
，则
，
单调递增，
当
时，
，则
，
单调递减，
④当
时，
，
此时
在
上有两个根
，
，
所以当
时，
，则
，
单调递减；
当
,
时，
，则
，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
，
上单调递减，在
，
上单调
递增．
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
（2）由（1）知，当
时，
有两个极值点
，
，且
，
，
所以
．
令
，
，
则
，故
在
上单调递减，
所以
，所以
，
即
．
考向五 恒成立
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线为l，l 不过原点，且l 在坐标轴上的截距相等，求a 的值；
(2)当
时，若
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）由
，
又由切线l 在坐标轴上的截距相等，l 不过原点，故切线l 的斜率为
，
可得
，
故
；
（2）令
，则
，
有
，令
，有
，令
得
，
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得函数
的减区间为
，增区间为
，
可得
，
当
时，
，有
，可得
；
当
时，
，
可化为
，
令
，有
，
又由函数
单调递增，且
，
可得函数
的减区间为
，增区间为
，
有
，故
，
由上知实数
的取值范围为
.
【例5-2】（2025·河北邯郸·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
，
切线的斜率
，
，
所以切点坐标为
，切线方程为
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以直线与
轴交点为
，与
轴交点为
，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为
.
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）因为
，
，
，
所以
，
可化为：
，
即
，
令
，
，
所以
为
上的单调递增函数，
将
，
转化为
，
因为
为
上的单调递增函数，所以
，
即
，即
，
整理有：
，
令
，
，
令
，即
，
，
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在单调递减，
所以
，
因为
恒成立，
所以
.
【例5-3】（24-25 河北保定·期末）已知函数
，
，其中
为
的导函
数.
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由题意可知：
的定义域为
，且
，
则
，可得
，
①当
时，
恒成立，可知
在
上单调递减；
②当
时，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
上单调递减，在
上单调递增；
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由
可得
，
整理得
，即
，
可得
，
因为
在定义域
内单调递增，可得
，
即
，可得
，
令
，则
.
因为
，
令
，解得
；令
，解得
；
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
可得
，所以a 的取值范围为
.
【例5-4】（2024·江西）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，
因为
，当
时，
，
所以当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，由
，得
或
，
当
即
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
时，
，
在
上单调递减，
或
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
时，
，
在
上单调递减；
或
时，
，
在
上单调递增．
综上可得，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
（2）由题可得
，所以
，
由（1）得当
时，
在
上单调递增，则
时
，不满足题意，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
，即
时
在
上单调递减，
时，
，满足题意，
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
时，
恒成立，则
，即
，
因为
，
，
所以
，
综上得实数
的取值范围为
．
考向六 不等式的证明---单变量
【例6-1】（2025·山东青岛·一模）已知函数
，
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
当
或
时，
；
当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
和
上单调递增.
（2）由
，
，得
，
因为函数
有两个极值点，所以方程
有两个不相等的实根，
设为
且
，因为函数
在
时的图象关于
轴对称，
所以
，即
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
分别是函数的极大值点和极小值点，
即
，
，
又
，即
，
则
，
又
，则
，，
设
，
，
则
，即函数
在
上单调递减，
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即
.
【例6-2】（2025·河北·模拟预测）已知
，曲线
与曲线
在它们的交点
处的切线相互垂直.
(1)求a，b 的值；
(2)当
时，求证：
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【解析】（1）
交点的横坐标为t，
，即
，
又
，将
代入，
得
，
，
由
，得
，
，若
，则
为无理数，
，
则
，
.
（2）由（1）知
，
，
要证
成立，
可试证
在
时成立，
即证
在
上成立.
设
，则
，
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
在
处取得最大值
，即
在
上恒成立，
原不等式成立.
【例6-3】（2025·陕西西安·二模）已知函数
．
(1)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若
是函数
的极值点，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由
，则可得不等式
，
由
，则
，令
，
求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
由题意可得
.
（2）由
，则
，令
，
求导可得
在
上恒成立，
则函数
在
上单调递增，即函数
在
上单调递增，
由
是函数
的极值点，则
，即
，
由
，则
，
所以
.
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例6-4】（2025·河南安阳·一模）已知函数
.
(1)求
的极值；
(2)若当
时，
，求实数
的取值范围；
(3)设实数
，
满足
，证明：
.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由题可知
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值
，
没有极小值.
（2）设
，根据题意，当
时，
恒成立.
又
，
若
，则
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，不符合题意，
若
，令
，得
或
.
若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增，
又当
时，
，不符合题意，
若
，则
，当
时，
，所以
在
上单调递增，
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，不符合题意 ，
若
，则
，当
时，
，
当
时，
，所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，所以
在
上成立，
要使
在
上也成立，只需
，即
，得
，
故
的取值范围是
.
（3）由（1）可知
在
上单调递增，在
上单调递减，且当
时，
.
又由（2）知当
时，
，故可作出
，
在
上的大致图象如下，
除了点
，
的图象都在
的图象的下方，
当
时，直线
与曲线
有两个交点，横坐标分别为
，
，
直线
与曲线
有两个交点，横坐标分别为
和
，
由图可知
.
考向七 不等式证明---双变量
【例7-1】（2025·江西赣州·一模）已知函数
（其中为自然对数的底数）有两个零点
，
．
(1)求
的取值范围：
(2)（ⅰ）证明：对一切的
且
，都有
；
（ⅱ）证明：
．
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）由
得
.
当
时，
，
在
上单调递增，不合题意.
当
时，由
得
，由
得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，故
.
∵
，
时，
，
∴
在
和
内分别存在一个零点，符合题意，
∴m 的取值范围为
.
（2）（ⅰ）不妨设
，则
等价于
，即证
.
令
，即证
对任意的
恒成立.
令
，则
，
∴
在
上单调递增，故
，
∴
.
（ⅱ）由（1）得，
在
和
内分别存在一个零点，
由
得
，设
，则
，
∵
等价于
，
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴
，即
，
由（ⅰ）得，
，即
，
∴
.
【例7-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
，
（i）当
时，求函数
的最小值；
（ii）若
有两个实根
，
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）证明见详解.
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，又
，
所以函数
在
处的切线方程为：
，即
.
（2）（i）当
时，
，定义域为
，
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又因为
，
所以
使得
，即
，①
故当
时，
，即
，此时
在
上单调递减；
当
时，
，即
，此时
在
上单调递增，
所以当
时，函数
有最小值，
由①可得
，即
，
所以函数
的最小值为
.
（ii）由题意，
，定义域为
，
由题意
有两个不相等的实数根，
令
，则
，
所以
在
上递增，所以
，
令
，
所以
有两个不相等的正的零点
，且
，
即
，两式分别相加减得，
.
所以
②
要证
，只需证
，
即证
，即需证
，
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由②知，
，
故只需证
，
不妨设
，令
，
则只需证
，即
，
故只需证
，
令
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
即当
时，
成立.
所以
，即
，故
.
【例7-3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
，其中
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，证明：
【答案】(1)答案见解析
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得，函数
的定义域为
，且
，
，
令
，
当
，即
时，
恒成立，则
，所以
在
上是单调递减；
当
，即
时，函数
有两个零点：
，
，
当x 变化时，
，
的变化情况如下表所示：
x
-
0
+
0
-
单调递
减
单调递
增
单调递
减
综上，当
时，
在
内单调递增，
在
和
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减.
（2）由（1）知，当
时，
有两个极值点
，
，
则
，
是方程
的两个根，由韦达定理，得
，
，
所以
，
，
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，
，则
，
当
时，
，则
在区间
上单调递减，
从而
，
故
【例7-4】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若
是定义域上的增函数，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
；
(3)若函数
有两个极值点
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意知函数
的定义域为
，
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
又
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即实数
的取值范围是
.
（2）当
时，
，
，
所以要证
，即证
，即证
.
构造函数，证明
，
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，当且仅当
时，等号成立.
再构造函数，证明
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
综上所得，所以
，
又等号不同时成立，（
取等号的条件是
，
取等号的条件是
）
所以
，即
.
（3）先求出
的大致范围，
.
由题意知
是方程
的两个不同的根.
设
，则方程
有两个不同的正实数根
，
所以
，解得
.
再化简
，
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，则
，
所以
.
由
，得
，
所以要证
，即证
，即证
，即证
，
即证
，即证
.
令
，即证
.
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，
所以不等式
成立.
考向八 导数与数列
【例8-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
有两个不同的零点
.
(1)证明：
；
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)当
时，求
的最大值；
(3)若
，数列
满足
，证明：
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
;
(3)证明见解析.
【解析】（1）由题设，
的定义域为
，且
，
由
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
趋向于0 或正无穷时，
均趋向于负无穷，
要使
有2 个零点，只需
，得证；
（2）由已知，
，设
，由
，则
，
将
代入
，则
，结合
，
所以
，
设
，则
，
设
，则
，
，
由
，则
，即
在
上单调递增，
，
所以
，则
在
上单调递增，则
，
所以
的最大值
；
（3）由题意
，
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
，所以
，
对于
，则
，显然
有
，
有
，
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
所以
，故
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
，
，依此类推有
，
从而
，整理得
，
当
时，
，则
（当且仅当
时取等号），
所以
，得证.
【例8-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
，
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】（1）若
，则
，
，
，
所以切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）若对定义域内
，都有
恒成立，
即
恒成立，只需
即可，
设
，
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，
故
的取值范围为
.
（3）由（2）得当
时，
恒成立，即
，
将
中的
替换为
，显然
，
则
，
故
，
即
.
故
.
【例8-3】（2024·四川·一模）已知函数
，
与
在函数
的图象上，
54
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
回答下列问题：
(1)当
时，证明
；
(2)
上有
三点（
均不为
且互不相等），满足
成等差数列且
．
①若不存在
三点，使
成等差数列，求
的取值范围；
②若
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②证明见解析
【解析】（1）由
，
则
，又
与
在
上.
则
；
且
；
要证
，
因为
，即证
，
不妨设
，令
，则
，
则
，
故只需证
.
55
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，
，
则
，
再令
，
则
，则
在
上单调递增，
故
，故当
时，
恒成立，
由
，得
，
则
，所以
在
上单调递减，
故
，得证.
（2）①由
等差数列且
，则
，
解得
，
下面先研究若存在
三点，使
成等差数列的充要条件.
故
；
又
，
成等差数列
，
由
，
存在
三点，使
成等差数列
有解.
当
时，
，故
，
56
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，故
，
故当
时，
；
令
，
且
，则
，
所以
，令
，
且
，
则
，
再令
，
且
，
则
，
令
，因为
在
单调递减，且
，
故当
时，
，即
，则
在
单调递增；
当
时，
，即
，则
在
上单调递减，
故
，故
，
故
在
上单调递减，且在
上也单调递减；
又因为当
，
；当
时，
；
当
，
且
.
综上可知
且
，
所以有
，且
，
且
，又
，
所以若不存在
三点，使
成等差数列，则有
或
，
故
的取值范围为
；
57
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②令
，
.
则所证不等式
.
令
，
，
则
，
故
在
单调递增，则有
，
即
，得证.
考向九 求参数
【例9-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
函数的定义域为
，当
时，
.
要证
，只需证：当
时，
.
令
，则
.
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
，即
时，
，
得证.
（2）
，
令
，
58
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
①当
时，
在
上无极值点，不符合题意；
②当
时，
，即
在
上单调递减，且
.
取
，其中
.
显然，
，
则
.
由根的存在性定理可知，存在唯一的
，使得
.
当
时，
，即
；当
时，
，即
.
此时
在区间
上有且仅有一个极值点
，满足题意.
综上，
.
【例9-2】（2025·黑龙江·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有极小值，且
的极小值小于
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，则
，所以
，
因为
，所以
在
处的切线方程为
．
（2）因为
，其中
，
则
，
①当
时，
恒成立，此时函数
在
上单调递增，无极小值，
59
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②当
时，令
，可得
，列表如下：
-
0
+
递减
极小
值
递增
所以
，
由题意可得
，即
，
令
，则
．
因为
，当
等号成立，
所以函数
在
单调递增，
所以由
，得
，
所以实数
的取值范围是
．
【例9-3】（24-25 高三上·江苏淮安·阶段练习）已知
.
(1)当
时，过原点作函数
的切线，求切线的方程；
(2)讨论函数
的导函数
的单调性；
(3)当
时，
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
.
【解析】（1）当
时，
，
，
60
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设切点为
，切线方程为
因为切线过原点，所以
，即
，解得
；
所以
，因此
；
即切线方程为
；
（2）易知
，
令
，则
，
①当
时，
，则
在
上递减；
②当
时，令
，可得
；
所以
在区间
上单调递增，在
上单调递减；
③当
时令
，即
；
所以
在区间
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由（2）可知
，
①当
时，
，因为
，所以
，
所以
在
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，
又因为
，所以
，所以
在区间
上单调递增，
又因为
，所以
时，
.
②当
时，令
，可得
，
则函数
在区间
上单调递减；
61
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
在区间
上小于零，
所以
在区间
上递减，
又因为
所以当
时
与条件矛盾.
③当
时，因为
，所以
，
所以函数
在区间
上单调递减，
因为
，所以
在区间
上小于零，所以
在区间
上递减，
又因为
，所以
与条件矛盾，
综上可得
，实数
的取值范围为
.
【例9-4】（2025·陕西渭南·一模）已知
，函数
．
(1)讨论
的单调性：
(2)若
恒成立．求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
．
【解析】（1）
的定义域为
，
当
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
时，令
，解得
；令
，解得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
62
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由
在
上恒成立，
可得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，因为
在
上均单调递增，则
在
上单调递增；
由
在
上恒成立，可得
恒成立，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，
所以当
时
，当
时
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增；
故
，
则
，解得
，
故
的取值范围为
．
【例9-5】（2025·黑龙江·模拟预测）函数
，
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若不等式
对任意的
，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）
，
63
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
，
当
时
或
；
，
所以此时
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
或
；
，
所以此时
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
恒成立，所以此时
在
上单调递增 ，
当
时
；
，
所以此时
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由
对
，
恒成立，不妨设
，则整理得：
，
设
，
有
，所以
单调递增，即
恒成立，
即
，其中
，
所以
，又
，当且仅当
时等号成立，
同时
时，
不是常函数，所以
.
考向十 新定义
【例10-1】（2025·山东青岛·一模）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立
坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数
的图象.现定义双曲正弦函数
，回答以下问
题：
64
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)类比三角函数的导数关系：
，
，写出
与
的导数关系式，并证明
；
(2)对任意
，恒有
成立，求实数a 的取值范围；
(3)求
的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)0.
【解析】（1）导数：
，
，
；
依题意，
，
所以
.
（2）构造函数
，
，由（1）可知
，
当
时，由
，
，函数
在
上单调递增，
对
，
，即
恒成立，因此
；
当
时，令
，
，求导得
，
而函数
在
上都单调递增，函数
在
上单调递增，
因此
，函数
在
上单调递增，
而
，
，则存在唯一
，使得
，
当
时，
，函数
在
内单调递减，
对任意
，
，即
，不符合题意，
65
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以实数a 的取值范围为
．
（3）令函数
，求导得
，
令
，求导得
，
令
，求导得
，
当
时，由（2）知，
，则
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
则
，函数
在
上单调递增，
于是
，函数
在
上单调递增，
则
，函数
在
上单调递增，
又
，
函数
为偶函数，在
内单调递减，因此
，
所以函数
的最小值为0.
【例10-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数
的方法.给定两个正整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，其中
和
分别是
和
次多项式，且满足
.其中
为
的导数.已知
在
处的
阶帕德近似为
.
(1)求实数
的值，利用
的
阶帕德近似估计
的近似值（结果保留3 位有效数字）；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：当
时，
.
66
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
，0.182
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）
，
因为
，所以
，解得
，
.
（2）解法1：设
，
则
在
上恒成立.若
，则
显然成立；
若
，
设
，
，当
时，
，
因此
，即
在
上单调递增，
时，
，满足题意；
当
时，
在
上单调递减，因为
，
所以存在唯一的
，使得
，
当
时，
，即
在
单调递减，
时，
，与已知矛盾，舍去.
综上，实数
的取值范围为
.
解法2：设
，
67
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
在
上恒成立.因为
，
，
所以
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
时，
恒成立.
综上，实数
的取值范围为
.
（3）证明：要证
时，
，即证
，
设
，则
，令
得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
因此
，
因此只需证
，即证
.
设
，
则
在
上单调递增，
，即
，
令
，则
，因此原不等式成立.
68
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例10-3】（2025·福建莆田·二模）若函数
在区间
上有意义，且存在正实数，使得
，均有
，则称
在
上具有性质
．设
．
(1)求
的单调区间：
(2)判断
在
上是否具有性质
，并说明理由；
(3)当
时，
在
上具有性质
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)具有，理由见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）
，
则当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）
在
上具有性质
，理由如下：
由（1）知
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，故
，
故当
时，
，有
，
，
故
，
当
时，
，有
，
综上，
，
恒成立，
即
在
上具有性质
；
69
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）因为
在
上具有性质
，
所以
在
时恒成立，
则
在
时恒成立，
即
在
时恒成立，
设
，
，
，
令
，则
，
设
，
，
则
，
故
在
上单调递减，则
，
故
，故
在
上单调递增，
则
，
，
设
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，则
，
又当
时，
，
70
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故存在
，使得
，
即当
时，
，当
时，
，
又
，
令
，
则
，
故
在
上单调递减，则
，
故
，
故
，则
，即
.
【例10-4】（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那
么项链所形成的曲线是悬链线．在17 世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是
，其中c 为参数．当
时，该方程就是双曲余弦函数
．相应地就有双曲正弦
函数
．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：
；②二倍角关系：
71
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出
和
之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)设无穷数列
满足
，是否存在实数
，使得
？若存在，求
的值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)① 平方关系：
；② 二倍角关系：
；③ 导数关系：
，
.
(2)
(3)
【解析】（1）（1）双曲函数关系式
① 平方关系：
；
② 二倍角关系：
；
③ 导数关系：
，
.
证明如下（不需要写出）：
因为
，
，
所以
；
因为
，
，
72
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
；
，
（2）因为
，所以
，
所以
，
，
当
时，设
，
若
，则存在足够小的
使得
矛盾，
所以
，因为
，
观察
，
令
，
，
当且仅当
时等号成立，
所以
在
时单调递增，
因为
，所以
对
成立，
即
，所以
满足题意，
所以
；
（3）因为
与递推式
形式一致，
所以假设
，其中
为待定参数，
因为
符合递推关系，
所以
，因为
，
73
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，因为
，
得
，令
，
方程变为
，解得
或
，
所以
或
，所以
或
，
因为
是偶函数，所以不妨设
，
所以
，
，
所以
74
