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2026 教材命题点探源 第一次模拟试卷
高三数学（全国一卷）01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
A
A
B
C
B
D
C
C
1.设全集
是小于16 的平方数
，
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意可得
，由
，可得
解得
，
又
，于是
，所以
，所以
.
故选A.
2.若
，则
( )
A.1
B.
C.
D.2
1
【答案】A
【解析】由
得
，所以
.
故选A.
3.已知双曲线
（
，
）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2 倍，
则双曲线C 的离心率
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】双曲线C 的渐近线方程为
，即
，焦点坐标为
，虚轴顶点坐标为
.因为焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2 倍，所以
，则
，所以
.
故选B.
4.已知
，则
( )
A.
B.
C.
D.2
【答案】C
【解析】由
得，
（另解：也可以去分母化为
，则
2
），所以
，所以
.
故选C.
5. 已知某古代天文观测仪器的核心部件为圆台形，其上底面半径为1，一个表面积为
的球形校准器
置于该圆台内，且与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则该圆台的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设球的半径为R，由球的表面积为
可知，
，所以
，则该圆台的高为
.圆台及其内切球的轴截面如图所示，设圆台的下底面半径为r，易知该圆台的母线长
，则
，即
，解得
，所以此圆台的体积
，故选B.
6.当
时，函数
有两个零点，则a 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
3
【解析】由
，得
.函数
有两个零点，即函数
的图象与直线
有两个交点.作出
，
的图象，如图.由
图象可知，
，解得
.
故选D.
7.已知函数
，若方程
有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范
围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为
，当
时，
，由指数函数单调性可知，
在
上单调递减，此时
；当
时，
，由一次函数的单调性可知，
在
上单调递减，此时
.因为方程
有两个不相等的实数根，所以函
数
的图象与
的图象有两个交点.因为函数
是增函数，当
时，
4
得
，当
时，得
，所以
，所以实数a 的取值范围为
.
故选C.
8.已知
及其导函数
的定义域为R，
为偶函数，
的图象关于点
对称，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由
为偶函数，得
，则
.两边取导数，得
①.由
的图象关于点
对称，得
②.
得
，所以
，则数列
中所有奇数项是公差为2 的等差数列，
所有偶数项是公差为2 的等差数列.在
中，令
，得
.在
中，令
，得
.在
中，令
，得
，
所以
，所以数列
是以0 为首项，1 为公差的等差数列，所以
，
设
，则
③
两边同乘2，得
5
④
，得
其中等比数列求和部分：
，
代入得
，整理得，
因此，
故选C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AC
ACD
ABC
9.已知某AI 智能设备的运行温度X（单位：℃）服从正态分布
，且满足
，
则下列说法正确的是（ ）
A. 从该批设备中任选1 台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5
B. 从该批设备中任选1 台，其运行温度高于110℃的概率是0.7
C. 从该批设备中任选1 台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等
D. 从该批设备中任选2 台，这 2 台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18
【答案】AC
【解析】因为
，所以A 正确；从该批设备中任选 1 台，其运行温度低于 110℃的概率为
，所以B 错误；由
，
，可得C 正确；从该批设备中任选 2 台设备，这 2 台设备运行温
度都高于 130℃的概率为
，所以D 错误.
故选AC.
6
10.已知函数
，则下列结论正确的是( )
A.函数
存在两个不同的零点
B.函数
的极大值为
，极小值为
C.若
时，
，则t 的最大值为2
D.若方程
有两个实根，则
【答案】ACD
【解析】令
，可得
，解得
或
，所以函数
存在两个不同的零点，故A 正确；易得
的定义域为R，
，令
，可得
或
，当
时，
，所以
在
，
上单调递减，当
时，
，所以
在
上单调递增，所以当
时，
函数
取得极小值
，当
时，函数
取得极大值
，故B 不正确；易得
时，
，
时，
，作出
的图象如图所示.易知方程
的
根为
和
，其中
.若
时，
，则
，所以t 的最大值为
7
2，故C 正确；方程
有两个实根等价于
的图象与
的图象有两个不同的交点，结
合图象可知
，故D 正确.
故选ACD.
11. 在新时代科技实践与数学建模项目中，某研究小组聚焦一类具有实际应用价值的特殊曲线，通过数据
分析、模型推演完成了曲线方程的构建，该曲线被命名为“星轨回旋曲线”，其表达式为：
小组同步绘制了该曲线的大致图象（如图所示，
轴水平向右为正方向，
轴竖
直向上为正方向），并围绕图象特征与代数性质展开专项探究。下列说法正确的是（ ）
A. 当探测器沿直线
飞行时，与星轨回旋曲线
的交会点最多为3 个
B. 根据题图所示的星轨分布特征，可推断参数
C.存在实数a，使得星轨回旋曲线
是偶函数图象
D. 当
时，在
的深空区域内，星轨高度y 可唯一表示为飞行距离x 的函数
【答案】ABC
【解析】对于A，星轨回旋曲线
，令
，得关于y 的一元三次方程
，令
，则
，所以方程
最多有两个实
根，即函数
最多有两个极值点，即方程
最多有三个实根，因此曲线
与直线
8
最多存在3 个交点，故A 正确；
对于B，若曲线
如题图所示，则存在
，使得直线
与曲线
有三个交点，即存在
，
使得关于y 的方程
有三个实根.令
，则
.假设
，则
都有
且等号不恒成立，即
单调递增，则方程
在
上最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误.故
，故B 正确；
对于C，当
时，曲线
，即为函数
的图象，设
，
，定义域关于原点对称，且
，所以
是偶函数，故
存在a，使得曲线
是偶函数的图象，故C 正确；
对于D，当
时，曲线
的方程为
.令
，得
，令
，则
，
，
，由零点存在定理可知，方
程
至少有两个实根，则
对应的y 值不唯一，不符合函数的定义，故D 错误.
故选ABC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知向量
，
，
，则
_________.
【答案】
【解析】
，
，
，又
，
，
即
，解得
，
，
..
9
故答案为：
.
13.点M，N 分别是曲线
和直线
上任意一点，则
的最小值为___________.
【答案】
【解析】设
是
的切线，切点为
，则
解得
则
，则
的最小值即为两平行线
与
间的距离，即
.
故答案为：
.
14.有8 枚非遗文创印章，分别刻有数字 1，2，3，4，5，6，7，8。现从这 8 枚印章中随机抽取3 枚，
则抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余5 枚印章上的数字之和相等的概率为__________.
【答案】
【解析】法一：由题意知，从 8 枚非遗文创印章中随机抽出 3 枚的基本事件总数为
.因为所有
数字之和为36，所以要使3 枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等，则3 枚印章上的数
字之和应为18.罗列出 “抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等” 的基本事
件情况：① “3，7，8” 和 “1，2，4，5，6”；② “4，6，8” 和 “1，2，3，5，7”；
③ “5，6，7” 和 “1，2，3，4，8”.共3 种情况，所以 “抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余 5
枚印章上的数字之和相等”的概率
.
法二：由题意知，从8 枚非遗文创印章中随机抽出3 枚的基本事件总数为
.因为所有数字之和为
36，所以要使3 枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等，则 3 枚印章上的数字之和为
18.考虑抽出的3 枚印章上的数字之和为18，则相当于从−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2 中选择3 个数，使其和为 0.
10
若中间数为 0，则有 2 种情况；若中间数为 1，则有 1 种情况。所以 “抽出的 3 枚印章上的数字之
和与其余 5 枚印章上的数字之和相等” 的概率
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
.
（1）求B；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为
，
所以
，………………………………2 分
所以
，即
.…………………………………………………4 分
因为
，所以
.……………………………………………………………5 分
（2）由（1）知
，所以
，
由正弦定理知
.……8 分
11
因为
为锐角三角形，
，…………………………………………………9 分
所以
解得
，…………………………………………10 分
所以
，可得
，
所以
，………………………………………………………12 分
所以
的取值范围是
.………………………………………………………13 分
16.（15 分）如图，已知四棱锥
，底面ABCD 为直角梯形，
，
平面
，
，
，
，M 为棱PD 上一点，且
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）证明：
平面ABCD，
平面ABCD，
.
，
，
.……………………………………………………………1 分
，
，
，
，
为直角三角形，
.………………………………………………………3 分
12
平面
，
平面ABCD，
.
，
，
，
平面PCD，
平面PCD.
平面
，
.……………………………………………………………5 分
，
，
平面PAD，
平面PAD.
又
平面PAD，
.………………………………………………………………7 分
（2）由（1）可知AD，CD，PC 两两垂直.
如图，以C 为坐标原点，CP 所在的直线为z 轴，CD 所在的直线为x 轴，过点C 且平行于AD 的直线为y
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.……………………………………………9 分
设平面AMB 的法向量为
，
则
即
令
，则
，
，
.……………………………………………………11 分
设平面CMB 的法向量为
，
13
则
即
令
，则
，
，
.……………………………………………13 分
，
二面角
的正弦值为
.…………………………………15 分
17.（15 分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点P 在椭圆W 上，P 到
W 的焦点的最大距离为
，
.
（1）求椭圆W 的标准方程；
（2）若
，判断点P 与曲线
的位置关系；
（3）若椭圆W 的右顶点为C，经过点
的直线与W 交于A，B 两点，
的面积为
，求直线
AB 的方程.
【答案】（1）
（2）点P 在曲线
上
（3）
或
【解析】（1）因为P 到W 的焦点的最大距离为
，
14
所以
，
又
，所以
，………………………………………………………2 分
即
，所以
，解得
，
所以
，所以
，
所以椭圆W 的标准方程为
.………………………………………………………………3 分
（2）由（1）知椭圆W 的方程为
，
所以
，
.
因为
，设
，
所以
，…………………………………………………5 分
所以
解得
因为
，
所以点P 在曲线
上.………………………………………………………………8 分
（3）当直线AB 斜率不存在时，
，
则
，不符合题意；…………………………9 分
15
当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的斜率为
，
因为直线AB 经过点
，所以直线AB 的方程为
，
联立
消去y 得
，………………………………10 分
设
，
，由韦达定理得
，
，
所以
.………………………………………………………………………………12 分
因为C 为椭圆的右顶点，所以
，
由点到直线的距离公式得点C 到直线
的距离为
，
所以
的面积为
.
因为
的面积为
，所以
，……………………………………………13 分
整理得
，所以
，或
（舍去），
所以
，
所以直线AB 的方程为
或
.…………………………………………………15 分
18.（17 分）已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若存在正数a，b，且a 为函数
大于1 的零点，b 为函数
的极值点.
16
（ⅰ）求实数m 的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【答案】（1）函数
的单调递减区间为
，无单调递增区间
（2）（ⅰ）
（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）依题意，函数
的定义域为
，
，
当
时，
在
上恒成立，…………………………………………………2 分
所以函数
在
上单调递减，
所以函数
的单调递减区间为
，无单调递增区间.………………………………4 分
（2）（ⅰ）由（1）可知
，
令
，
，则
.
因为
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递减，
当
时，由（1）可知，函数
在
上单调递减，
所以函数
不存在极值点，不符合题意；………………………………………………6 分
当
时，
，
所以当
时，
，则
，
所以函数
在
上单调递减.
因为
，所以当
时，
，
17
所以函数
不存在大于1 的零点，不符合题意；………………………………………9 分
当
时，
，因为
，
，
所以存在
，满足
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
存在极值点.…………………………………………………………………11 分
因为
，
，所以
，此时
，且
，
即函数
存在大于1 的零点，此时实数m 的取值范围为
.…………………12 分
（ⅱ）证明：依题意
即
所以
，即
.………………………………………………………14 分
因为
在
上恒成立，且
，
，即
，
所以
，即
，……………………………………………16 分
两边取对数得
，
则
，所以
.…………………………………………………………17 分
19.（17 分）航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精
度、检测标准等。最新行业数据显示，我国航空航天零件的整体合格率为 27.9%，高精度零件占全部合
格零件的约三分之一.改善生产工艺和加强质量检测是常用的提升方式，同时适当优化生产流程可以使零
件合格率水平提升，降低生产风险，推动高质量发展.
（1）某航空制造企业为鼓励和引导生产车间积极优化生产流程，提升零件合格率，开展 “精益生产，
质量为先” 活动.下表为开展活动后近5 个季度高精度零件的合格情况统计：
季度x
1
2
3
4
5
高精度零件合格（或达标）人数y
320
270
210
150
100
18
若高精度零件合格（或达标）人数y 与季度变量x（季度变量x 依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相
关关系，请预测第 6 季度高精度零件合格（或达标）的大约有多少人？
（2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，
该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为
，若甲组挑战乙
组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为
，
；若挑战权在丙组，
则挑战甲组、乙组的概率分别为
，
.
（i）经过3 次挑战，求挑战权在乙组的次数X 的分布列与数学期望；
（ii）定义：已知数列
，若对于任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正整数
，使得当
时，
（A 是一个确定的实数），则称数列
为“聚点数列”，A 称为数列
的
聚点.经过n 次挑战后，挑战权在甲组的概率为
，证明数列
为“聚点数列”，并求出聚点A 的值.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
【答案】（1）42 人
19
（2）（i）分布列见解析，数学期望为
（ii）证明见解析，聚点A 的值为
【解析】（1）由已知可得
，
.………………………………………………………………1 分
又
，
，………………………………………………………………3 分
所以
，
所以
，
所以
，……………………………………………………………………………5 分
当
时，
，
所以预测第 6 季度高精度零件合格（或达标）的大约有42 人.………………………………6 分
（2）（i）由题知X 的所有可能取值为0，1，2，
；……………………………………………………………………7 分
；………………………………8 分
，…………………………………………………………9 分
20
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
所以
.………………………………………………………10 分
（ii）设经过n 次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为
，
，
则当
时，
，
，
，
由后两个等式相加，得
.①
因为
，所以
，
，
代入①式得
，………………………………………………………………12 分
即
，
所以
.
因为
，
，
所以
，…………………………………………………………………………14 分
所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
21
所以
，即
，………………………………………15 分
所以由
，得
，即
，
所以对任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正整数
（
表示不超过x
的最大整数），使得当
时，
，
所以数列
为“聚点数列”，聚点A 的值为
.……………………………………………………17 分
22
