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数学运算
1、代入排除法
何时用
看题型
年龄问题
题目中每个人之间的年龄存在一定数量关系，最后求年龄
多位数问题
数位上数字之间的关系，数位上数字对调等问题：密码箱问题
余数问题
平均分有剩余
不定方程问题
ax+by=c
看选项
选项为一组数
咋样用
先排除后代入
根据题目所给条件，先验证最苛刻的，往往能先排除选项，最后再剩二代一
有最值先代
问最大先代最大，最小就先代最小
2、倍数特性
整除型
被3整除
给位数字之和能被3整除
例：234566→2+3+4+5+6+4 = 24，24能被3整除，则234564能被3整除
被9整除
给位数字之和能被9整除
例：45675→4+5+6+7+5 = 27，27能被9整除，则45675能被9整除
被2或5整除
看末尾数字是否能被2或5整除即可
被4或25整除
看末2位数字是否能被4或25整除即可
被8或125整除
看末3位数字是否能被8或125整除即可
余数型
总数 = ax ± b
多退少补：总数±b后能被a整除
例：一堆西瓜，每人分3个，最后剩余2个，则总数-2后，能被3整除
比例型
我是你的2/5
“我”是2的倍数
“你”是5的倍数
“我你之和”是2+5 = 7的倍数
“我你之差”是5-2 = 3的倍数
等效于：我是你的2/5
我：你=2：5
我是你的40%
我是你的0.4倍
我比你多40%
我比你多0.4倍
我比你多2/5
等效于：我比你多2/5
“你”是5的倍数
“我”是2+5 = 7的倍数
我：你=7：5
等效于：我是你的2/5
“你”是5的倍数
“我”是2的倍数
我：你=2：5
余数问题
余同加余
余数相同→公倍数+余数
例：一个数除以7余2，5余2，6余2→余数相同
被除数 = 210n+2
和同加和
除数和余数的和相同→公倍数＋除数与余数之和
差同减差
例：一个数除以7余4，6余3，5余2 →差=7-4=6-3=5-2
被除数
除数和余数的差相同→公倍数 - 除数与余数之差
= 210n-3
公倍数作周期
如5、6、7的公倍数为210→210作周期
3、奇偶特性
奇偶数
奇数
2n-1
偶数
2n
方法
和差同性
任意俩数的和为偶数（或奇数），那么差也为偶数（或奇数）；差对和亦如此
乘偶必偶
任意自然数与偶数相乘，结果必为偶数
4、方程法
普通方程
设小不设大
方便表示其他未知量，避开分数
出现比例数，按份数设
例：1/3的甲 = 1/4的乙 = 1/5的丙，则设甲为3x，乙为4x，丙为5x
设中间商
多个未知量都与其中一个未知量存在数量关系时，设中间量
A和非A
A = 总 - 非A
总 = （非A + 非B + 非C）÷ 2
A = （非B + 非C - 非A）÷2
不定方程
特征
ax+by=c
方法
奇偶特性
未知数系数：ab一奇一偶
例：3x + 4y = 5
倍数特性
例：6x + 7y = 49
尾数特性
例：
未知数系数和常数项有公因子：a或b其一跟c有公因子
未知数系数的尾数为0或5：ab系数尾数出现0或5
15x + 7y = 52
不定方程组
特征
两个不定方程，三个未知数
方法
看选项和所给条件中是否存在倍数关系
未知数是否为整数
一定为整数：如人数，个数
消元后，变成不定方程去做
不一定为整数：如商品单价
赋0法
将两条方程中系数较大的未知数看成0
5、赋值法
看条件
给比例求比例
题干中给的都是比例型数据（百分数、倍数、分数，比例等）
要求的是比例、倍数、百分数等
看关系
三量关系：A = B × C
三个量皆未知，最多可以赋2个
三个量知其一，可以再赋1个
三量关系：A = B + C
三个量皆未知，最多可以赋1个，其余只能设未知数
三个量知其一，剩余只能设未知数
知不知的意思是，这个量有没有给出具
体数据，如果给的比例并不算具体数据
6、工程问题
普通类
给完工时间类
特征
题干中给出不少于2个完工时间
方法
1、赋值总量为完工时间的公倍数
2、利用总量和完工时间计算效率
3、根据工作过程列式计算（通常用方程）
给效率比例类
特征
题干中给出有关效率比例的条件
直接给
我与他的效率之比为2：3
间接给
我做3小时完成的工作，他只需要2小时
特殊型
n台机器或n名工人在干活
方法
1、根据效率比例直接赋值效率
2、根据效率和时间条件计算总量
3、根据工作过程列式计算（通常用方程）
给具体单位类
特征
题干给出具体效率或具体工作量（带单位）
方法
直接算
所给条件和所求存在运算关系则直接计算即可
方程法
存在多个运算关系，则根据等量关系，设未知数，列方程求解
日期周期类
特征
工程问题，结合日期或周期问题考察
方法
日期类
注意时间
周期类
先计算一个周期完成的工作量，除法计算循环次数
和剩余工作量，最后分析剩余工作量的分配问题
牛吃草类
公式
Y：原有草量
原始存量
N：牛的数量
消耗存量的对象的数量，因为每个对象效率赋值
为1，故此也表示单位时间消耗存量的效率
X：草的生长效率
存量的自然增长效率
T：时间
理解
当N＞X时
草消耗地比长得快
原始草量最终会被耗完
当N = X时
耗得跟长得一样快
草量永远不变，可持续发展思想
当N＜X时
草消耗地比长得慢
草会越长越多
题型
真正牛吃草
牛一边吃，草一边长
资源消耗类
河道清理河沙：一边清，河沙一边产
游泳池排水：边排水边放水
窗口排队类
处理完一个人，又有人来排队
7、几何问题
常见几何公式
周长
圆弧：
长方形：2×（长+宽）
圆：2πr
平面面积
扇形
梯形
菱形
立体表面积
正方体
长方体
圆柱体
球体
体积
方体
圆柱体
锥体
球体
三角形
常用勾股数
3、4、5
6、8、10
5、12、13
8、15、17
常用根号值
三角函数
特殊三角形
30°、60°
30°所对直角边为斜边一半
直角边比例：
45°、45°
两直角边相等
等腰直角三角形
60°、60°、60°
等边三角形
两点最短路径
线上某点到已知两点最短路径
已知两点同侧
已知两点其一作镜面对称点，对称点
与另一已知点相连，连线与镜面交点
已知两点异侧
某点在已知两点连线上
几何最值问题
立体几何
表面积一定，形状越趋近于球体，体积越大
垃圾袋鼓起来
体积一定，形状越趋近于球体，表面积越小
平面几何
周长一定，形状越趋近于圆，面积越大
极限分析
绳子捆柴，捆成圆形柴最多
面积一定，形状越趋近于圆，周长越小
长方形
四边形周长一定，正方形面积最大
均值不等式
四边形面积一定，正方形周长最小
同比例放缩
放缩前后，对应的角度不变
长度变为原来N倍
周长变为原来N倍
面积变为原来N的2次方倍
体积变为原来N的3次方倍
说明
长度指的是：边长、高，半径，棱长
面积指的是表面积
8、容斥原理
两集合
三集合
标准
条件
给出三个交集
公式
非标准
条件
1、没给两两交集
2、给出满足两项
公式
常识
画图法
特征
出现只参加某一项，或公式解决不了
方法
1、画圈圈
2、填数字（从内往外填，注意重复）
3、根据关系列式子
9、最值问题
最不利构造
特征
至少…………才能/保证
方法
构造数列
特征
方法
注意
最倒霉的情况 + 1
排第一的，最低为多少分
最低分的，最高为多少分
1、按名词先排序
2、求谁就设谁
3、将其与名次的人用设的未知数表示出来
4、结合总量，加和求解
题干是否有要求，每个名次的数量不同
所求结果带小数，需要取整
题干求最多，则向下取整
题干求最少，则向上取整
多集合反向构造
特征：……都满足条件的最少/至少有几个？
方法
反向求解（常用）
1、求反向：给满足各项的数量，用“总-满足”求出各项不满足的数量
2、加和：将不满足的各项数量加和
3、作差：用总量-上一步的加和
正向求解（无脑）
公式：各集合加和-（集合个数-1）×总数
四个集合为例：A+B+C+D-（4-1）×总数
10、年龄问题
特征
围绕年龄，年龄或对象间存在数量关系
基本规律
年龄都是整数，每过1年长1岁
婴儿出生当年，岁数为0岁
结合年龄差考察，若计算得年龄差为负数，证明孩子未出生
年龄差不变，结合倍数特性解决
同样两人之间，年龄间倍数随年龄增长会越来越小
年龄常识
本科毕业：22岁
研究生毕业：24~25岁
法定结婚年龄：男22，女20
题型
倍数特性类
主要运用代入排除法：代入选项，验证年龄关系的条件
方程法类
优先考虑代入
不行就列方程，将每个对象用同一个未知数表示，找之间的关系列式即可
年龄及其平方
特征
年龄的平方数跟某个年份有关
常见
1892（年） + 44（岁） = 44² = 1936
1980（年） + 45（岁） = 45² = 2025
2070（年） + 46（岁） = 46² = 2116
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪（12个生肖为一个周期）
生肖
11、等差数列问题
通项公式
d
首项
公差
公式
性质
例：
理解
项数差了几，则值就差几个d
等差中项
奇数项
偶数项
中间两项的平均数
求和公式
公式
常见
几项等差求和
3项
5项
7项
标准等差（首项和公差都为1）
12、周期问题
统一特征
出现循环关系，或周期重复性动作的描述
周期余数
1、确定周期
确定周期的起点和长度
2、计算余数
总数 ÷ 周期 = 循环次数 + 余数（n）
3、余几加几
剩余多少，就从最后一循环中最后一个数基础上加几
周期相遇
特征
出现几个人不同的几个周期，求再次相遇的情况
例：甲、乙、丙分别每2、3、4天打一次卡，今天恰
好三人都打卡，问下一次三人都打卡是几天之后
方法
所有周期的最小公倍数为相遇时间
最小公倍数求法
整数
短除法
分数
1、通分至分母一致
2、计算分子的最小公倍数
3、最后除分母即可
坑：每隔 n 天 = 每（n + 1）天
星期日期问题
年
平年
闰年
年份能被4整除
月
一三五七八十腊（12月），
三十一天永不差；
四六九冬（11月）三十整；
二月特殊不可忘；
平年二月二十八；
闰年二月把一加。
31天
1、3、5、7、8、10、12月
30天
4、6、9、11月
2月特殊
平年：28天
闰年：29天
天
每连续的7天，周一至周天必定各出现一次
每连续的28天，周一至周天必定各出现四次
隔月计算
1、先算这个月还剩几天
2、跨一个月没减完，注意跨月的天数
3、最后剩余的天数就是日数
例：今天5月3号，再过60天，是几月几号？
60-（31- 3）+ 30 = 2天，即7月2号
13、经济利润
基础经济
公式
1、成本 + 利润 = 售价
2、利润率 = 利润 / 成本（进价）
3、成本 × （1+利润率）= 售价
4、折扣 = 折后价 / 折前价
5、售价 = 定价 × 折扣
6、总价 = 单价 × 数量
7、总利润 = 单利 × 销量
方法
方程法
给出具体带单位的数据
存在等量关系时
方式
1、如果关系比较复杂或乱时，可以列表的形式呈现数据
2、找等量关系， 设未知数，列方程求解
赋值法
给比例求比例时，基本都能用，注意三量关系是相加还是相乘
分段计费
特征
出现电费、水费、税费、出租车计费、停车计费、购物打折等，存在多重收费标准类似的描述
方法
分段计算、再汇总求和
可以借助线段进行分析
函数最值
特征
1、有两个量存在此消彼长的关系
2、以最大获利或收入为目标
常见形式
1、总利润 = 单利 × 销量
2、总收入 = 单价 × 销量
涨价少卖或降价多卖
方法
两点式
1、设涨价或降价次数为x
2、将单利、单价、销量用x表示出来
3、令两个括号的数等于0，解得x1和x2后加和求平均
理解
例：原来卖一台空调老板可以赚500元，但是每个月只能卖出12
台，若每台降价50元，则会多卖2台，降几次价才能利润最大化
1、设降价次数为X次
2、总利润 = （500 - 50X）×（12 + 2X）
3、令（500 - 50X）= 0、（10 + 2X）= 0
解得：X1 = 10，X2 = - 6，则X =（X1 + X2）÷ 2 = 2次
则降价2次后，利润实现最大化
14、植树和方阵问题
植树问题
普通植树
线段植树
棵数 = 段数 + 1 = （总长÷间隔长度）+ 1
环形植树/一端不植树
棵数 = 段数 = 总长÷间隔长度
两端不植树
棵数 = 段数 - 1 = （总长÷间隔长度）- 1
容斥结合植树
特征：不同间距要求种上不同种类树木，问共有几棵树？
公式
头尾都算
头尾不算
类型
头尾都算
例：24米长的路，小明每2米做个标记，小芳每3
米做个标记，标记的地方种树，问共种几棵？
头尾均需要标记，种上树
头尾不算
例：24米长的绳子，小明每2米做个标记，小芳每
3米做个标记，标记的地方切一刀，问共切几刀？
头尾均不需标记，不用切
不移动植树
特征：更换植树间距，问有几棵树不用动
方法
1、确定总长度
2、更换前后间隔的最小公倍数
3、（总长 ÷ 最小公倍数）+ 1
注意：以上方法是更换间距前后，两端均种树，其余情况适当减1或不减
方阵问题
实心方阵
最外一圈
相邻2圈人数相差8人
去掉一行一列
去掉人数：
去掉两行两列
去掉人数：
15、行程问题
普通行程
注意单位换算：1m / s = 3.6 km / h
火车过桥
完全通过桥
S = S桥 + S车
完全在桥上
S = S桥 - S车
匀变速平均速度
始末速度之和 ÷ 2
等距离平均速度
直线等距离或往返
上下坡往返
相遇追及
直线相遇
同时相向而行：面对面相遇
直线追及
同时同向而行：快追慢相遇
环形相遇
同起点相向出发
每相遇一次，两人路程之和为1圈
异起点相向出发
相遇一次
相遇N次
环形追及
同起点同向出发
每追上一次，两人路程之差为1圈
异起点同向出发
追上一次
追上N次
多次相遇
两地相距S
同地同时出发，多次面对面相遇
第一次面对面相遇：两人路程之和为2S
第二次面对面相遇：两人路程之和为4S
第N 次面对面相遇：两人路程之和为2NS
每相遇一次，两人路程之和增加2S
两地同向出发，多次面对面相遇
第一次面对面相遇：两人路程之和为1S
第二次面对面相遇：两人路程之和为3S
第N 次面对面相遇：两人路程之和为（2N - 1）S
每相遇一次，两人路程之和增加2S
流水行船
顺水实际航行速度
逆水实际航行速度
船速（表显速度）
水流速度
比例行程
主要在某个量相等情况下，另外两个
量成正反比，按比例计算份数即可
S相等，T和V成反比
V相等，S和T成正比
T相等，S和V成正比
16、排列组合
运算关系
分类用加法
特征：要么…要么…
存在“或”的意思，方式多选一
分步用乘法
特征：先…后… / 既要…又要…
存在“且”的意思，多个方式都要满足
符号区别
C
组合：与顺序无关
例：在甲乙丙丁四个不同的球中选择3个 →
A
排列：与顺序有关
例：在甲乙丙丁四个不同的球中选择3个并放入3个不同的箱子中，各放一个 →
解题思想
正面求解
分类讨论，列举
反面求解
总情况数 - 反面（不满足的情况数）
题型
相邻问题
捆绑法
将要求相邻的对象捆绑，看成一个整体
整体的内部是否有顺序要求，要注意
不相邻问题
插空法
将其余对象先排列，其余不能相邻的对象填在产生的的空隙中
同素分堆
插板法
每人至少分一个
直接插板
例：有6个一模一样小球，分给3人，每人至少1个，问几种分法？
6个球之间有5个空，插入2个板，形成三堆：
每人至少分两个
方法
每人先给一个
剩余总数进行插板
操作
例：有9个一模一样小球，分给3人，每人至少2个，问几种分法？
1、每人先给一个
9个剩6个
2、剩余总数进行插板
6个球之间有5个空，插入2个板，形成三堆：
随便分（可能有人分到0个）
方法
先借给每人1个，转化乘每人至少分一个去做
操作
例：有6个一模一样小球，分给3人，随便分，问几种分法？
1、每人先借一个
总数为6 + 3 = 9个
2、再进行插板
9个球之间有8个空，插入2个板，形成三堆：
异素分堆
只分堆
异素均分
例：有6个不同颜色小球，将其分为三组，每2个球一组，问几种分法？
1、按顺序一组组选球：
2、最后除组数的排列：
异素不均分
每组均不同数
例：有6个不同颜色小球，将其分为三组，每组分别1、2、3个，问几种分法？
直接从少到多一组组选球：
因为每组数量不同，不会出现相同数量的组重复的情况
有组同数
例：有7个不同颜色小球，将其分为三组，每组分别2、2、3个，问几种分法？
1、直接从少到多一组组选球：
2、最后除同数组数的排列（有两组同数）：
分堆后再分配
在只分堆的结果上，乘分配数量的排列
错位重排
特征
不能匹配自己的（避嫌）
方法
记住常用即可
4个元素错位重排：
环形排列
例：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个
车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少中不同的停放方式?
N个人进行排列，实际上第一个人先坐下去才
能开排，所以实际上是（N - 1）人进行排列
17、概率
给情况求概率
正面求解
1、一般总情况数好求，先求总的
2、可以根据分母及约分情况，利用倍数特性排除选项
反面求解
当正面情况比较多，关系复杂的时候可以考虑反面切入
注意
可以重复抽，则每次抽的总数相同
总数 = N × N × N × N × N ……
不可重复抽，则每次的总数都会少一个
总数 = N × (N-1) × (N-2) × (N-3) × (N-4) ……
骰子问题
数字之和
每个骰子都有6种情况
数字之和为2~6
分别有1、2、3、4、5种
数字之和为7~11
分别有6、5、4、3、2种
数字相同
数字相同只有6种情况
给概率求概率
正面求解
分类讨论，列举
反面求解
总情况数 - 反面（不满足的情况数）
跟屁虫问题
特征
多个对象要求在同一排 / 列 / 一队 / 组的概率
方法
两个对象
先安排其中一人（概率为1），再安排另
一人（从剩余的总数中计算满足情况数）
例：电影院有6排共24个座位，我和
姐姐坐在同一排的概率？
解：我先挑的概率为1，每排4个座
位，姐姐在剩余23个座位中挑跟我同
排的数量为3个，故概率为1×（3/23）
多个对象
例：每个宿舍有3人，全班有9人，
现在全班分为3组去打扫卫生，我
宿舍3人刚好分到同一组的概率？
依次安排
解：一人先选概率为1，第二人选概率为（2/8），
第三人选概率为（1/7），最后三个概率相乘
满足情况数为1，总情况
数用同素分堆隔板法计算
解：同一组只有一种情况，总情况数为9
人分3堆，C82 = 28，故概率为（1/28）
比赛问题
特征
求胜负概率
题型
三局两胜
两胜即结束
五局三胜
三胜即结束
七局四胜
四胜即结束
5
分情况计算第几局结束的概率，最后相加
抓阄、密码问题
特征
每次的概率都相同
方法
概率相加
例：小李有一张银行卡,他忘记了密码的后3位,
只记得这3个数全是奇数且有2个相同。问他尝
试不超过两次就输入正确密码的概率为多少?
解：奇数共有5个，从5个中任选2个，情况数为C52 = 10种,第
三个数与前两个数中其一相同，有2种情况，三个数字有顺
序，先将不相同的数字填进3个空中，有3种情况，剩下两个相
同数字直接补上，只有1种情况，总情况数为10×2×3 = 60种，
故每次输入密码正确的概率为（1/60），2次概率为（2/60）
18、溶液问题
核心公式
两溶液混合
特征
已知两溶液浓度、质量或体积，求混合后溶液的浓度
方法
线段法
原理：距离跟量成反比
距离：混合前后溶液的浓度之差
量：混合前溶液的质量或体积
注意
加水或加溶质，建议用核心浓度公式
等量溶液混合，混合后浓度为混合前平均值
三溶液混合
两次两溶液混合
其中两溶液先混合，混合后再与第三个溶液进行混合
注意，先混合比较好算的，或量相等的两溶液
反复操作
反复倒出又加满水
特征
倒出多少溶液后，用水加满……
方法
例题
理解
50%浓度的盐溶液，倒出1/4后水加满，再倒出1/5后水加
满，再倒出1/2后水加满，最后浓度为多少？
每次加满后溶液质量不变，倒掉的是溶质，此时溶液不
变，浓度跟溶质成正比，倒掉比例多少比例，浓度就少
了多少比例
操作
50%浓度的酒精溶液，倒出1/4后用纯酒精加满，再倒出1/5后
用纯酒精加满，再倒出1/2后用纯酒精加满，最后浓度为多少？
与加满水一个道理，只需将溶质看成水去想即可，先算
“水”的浓度，最后“1 - 水浓度”即是酒精浓度
反复倒出又加满溶质
特征
倒出多少溶液后，用溶质加满……
方法
例题
理解
操作
浓上加浓
特征
已知浓度，加入溶质，提高浓度求某些量
题型
1、已知浓度的溶液，加入一定量溶质，问最后溶液浓度
2、已知浓度的溶液，问要想得到目标浓度的溶液，需要加入溶质量为多少？
方法
将加入的溶质，看成浓度为100%的溶液，进行两溶液混合即可
越来越稀
特征
已知浓度，蒸发或加一定量的水，最后求浓度
已知浓度，蒸发或加水后的浓度，求蒸发或加入的水量
方法
将水看成浓度为0%的溶液，利用线段法求解
题型
蒸发类
将蒸发掉的水看成0%浓度的溶液
蒸发前的浓度相当于混合后的浓度，0%和
蒸发后浓度看成混合前两部分溶液的浓度
加水类
将加入的水看成0%浓度的溶液
加水前浓度和0%进行两溶液混合即可
核心：溶质不变
例题
蒸发类
20%浓度的盐溶液36kg，要制作成
45%的盐溶液，要蒸发多少kg水？
找不变量
线段法
加水类
25%浓度的盐溶液若干kg，加入20kg的水
后，浓度变为15%，问原含盐量多少kg？
找不变量
线段法
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
跃跃公考
例：一个数除以7余1，6余2，5余3 →和=7+1=6+2=5+3
被除数 = 210n+8
