文档文本内容
牟立志
夸夸刷—数量关系
最值问题、溶液问题
数量关系的学习要素
① 连续分析的能力：敢读题，读懂题，能分析
② 知识框架的搭建：套路题，能识别，会方法
③ 多刷题积累经验：多刷题，要总结，攒经验
最值问题基础回顾
① 最不利
② 构造数列
③ 多集合反向构造
④ 最值思维
最不利
识别：至少......才能保证......
方法：保证数=最不利数+1
难点：结合排列组合考查
【例1】（2020浙江选调）箱子内有标号分别为1、2、3……25的25个乒乓球，问至
少需要取出多少个乒乓球才能保证有两个的标号之差为6的倍数？
A.6
B.7
C.9
D.10
【例2】（2017辽宁）某高校举办一次读书会共有37位同学报名参加，其中中文，历
史、哲学专业各有10位同学报名参加此次读书会，另外还有4位化学专业学生和3位
物理专业学生也报名参加此次读书会，那么一次至少选出（ ）位学生，能保证选
出的学生中至少有5位学生是同一专业的。
A.17
B.20
C.19
D.39
【例3】（2023重庆选调）某中学计划从10名一线教师候选人中投票选出2名优秀教
师予以表彰，规定每位投票人只能从10名候选人中选2名。那么该校至少应有多少人
参加投票，才能够保证其中至少有2人投了2名相同的候选人？
A.46
B.48
C.50
D.52
【例4】（2024浙江选调）幼儿园给小朋友送贴纸，包括动物类贴纸3种、卡通人物
类贴纸4种、水果类贴纸4种，每种贴纸各不相同。已知每位小朋友每类贴纸各选择2
种，那么这个幼儿园至少有多少个小朋友，才能保证有3个小朋友的贴纸完全相同？
A.109
B.110
C.216
D.217
【例5】（2024四川）某单位每名党员每周六都被随机安排到甲、乙、丙三个社区中
的一个开展志愿服务（同一个社区可以连续前往）。已知任意连续的3个周六中，都
能保证至少3名党员的志愿服务行程完全相同。问该单位至少有多少名党员？
A.55
B.52
C.24
D.21
构造数列
识别：和定最值
方法：① 定位：确定求谁的最大值或最小值
② 反向：此消彼长（注意是否有各不相同的条件）
③ 求和：结果不为整，反向取正
例1：22个苹果，分给5人，每人分的数量各不相同，问分得最多的人最少分几个？
构造数列
识别：和定最值
方法：① 定位：确定求谁的最大值或最小值
② 反向：此消彼长（注意是否有各不相同的条件）
③ 求和：结果不为整，反向取正
例2：22个苹果，分给5人，每人分的数量各不相同，问分得最少的人最多分几个？
构造数列
识别：和定最值
方法：① 定位：确定求谁的最大值或最小值
② 反向：此消彼长（注意是否有各不相同的条件）
③ 求和：结果不为整，反向取正
例3：22个苹果，分给5人，问分得最多的人最少分几个？
构造数列
识别：和定最值
方法：① 定位：确定求谁的最大值或最小值
② 反向：此消彼长（注意是否有各不相同的条件）
③ 求和：结果不为整，反向取正
例4：22个苹果，分给5人，志哥分的比其他人都多，问志哥最少分几个？
【例6】（2021上海）有一座13.2万人口的城市，需要划分为11个投票区，任何一个
区的人口不得超过其他区人口的10%，那么人口最少的地区可能有多少人？
A.9800
B.10500
C.10700
D.11000
【例7】（2017江苏）在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分
120分，按得分排名，前5名的平均分为115分，且得分是互不相同的整数，则第三名
得分至少是：
A.112分
B.113分
C.115分
D.116分
【例8】（2022上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100分。有5位员工
的平均分为90分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77分，那
么排第二名的员工至少得（ ）分。（员工分数取整数）
A.90
B.92
C.94
D.96
【例9】（2024广东事业单位）某单位组织职工进行技能考试，满分是100分，7位
职工在这次考试中平均成绩是81分，这7位职工得分互不相同且均为整数，其中一位
职工仅得了50分，那么得分排在第5名的那位职工至少得（ ）分？
A.65
B.64
C.63
D.62
【例10】（2021国考）某地10户贫困农户共申请扶贫小额信贷25万元。已知每人申
请金额都是1000元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农
户的2倍，且任意2户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申
请多少万元信贷？
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
【例11】（2025浙江事业单位）小张等5人的数学考试成绩之和为392分。排名第2
的分数是排名第4的分数的1.3倍。已知每人分数均为0至100之间的整数，且各不相
同，那么排名第5的分数最高可能是多少？
A.66
B.67
C.68
D.69
【例12】（2021广东）某街道服务中心的80名职工通过相互投票选出6名年度优秀
职工，每人都只投一票，最终A、B、C、D、E、F这6人当选。已知A票数最多，共获
得20张选票；B、C两人的票数相同，并列第2；D、E两人票数也相同，并列第3；F
获得10张选票，排在第4。那么B、C获得的选票最多为（ ）张。
A.11
B.12
C.13
D.14
【例13】（2023联考）某小区物业准备了230盒口罩免费派发给10栋楼，要求任意
两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1倍。假设口罩不拆盒发放，那
么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发口罩：
A.18盒
B.15盒
C.14盒
D.12盒
多集合反向构造
识别：求交集最小
公式：
A∩B最小=A+B-全部
A∩B∩C最小=A+B+C-2×全部
A∩B∩C∩D最小=A+B+C+D-3×全部
......
【例14】（2015广东）阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70
本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5
B.10
C.15
D.30
【例15】（2020西藏事业单位）某市一中高二进行了四次数学摸底考，高二（1）班
60人，80分以上的人数比例分别为80％、82％、83％、75％。请问每次都在80分
以上的人至少有：
A.48人
B.36人
C.24人
D.12人
【例16】（2024广东事业单位）某知识竞赛共有60人参加，其中答对第一题的有45
人，答对第二题的有36人，答对第三题的有54人，答对第四题的有48人，答对第五
题的有52人。如果有4人一道题都没有答对，则至少有（ ）人五道题都答对了。
A.7
B.9
C.11
D.13
【例17】（2024福建事业单位）某班学生中，有45人会骑自行车，39人会打乒乓球，
37人会打羽毛球，38人会游泳，要保证这个班级至少有5人这四项运动都会，那么该
班至多有多少人？
A.45
B.50
C.51
D.52
【例18】（2025天津）乡村振兴文明实践积分制度中，基础积分50分；民主评议活
动积分中3项为每项10分，2项为每项5分；贡献积分有5项，每项10分。每项积分仅
加一次。小李去年在民主评议活动和贡献积分中都有收获，总积分为130分。问小李
至少获得了几项民主评议活动积分？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例19】（2025深圳）某商场举行消费满额抽奖活动，现场共布置了50个礼盒，每
个礼盒中均放有1张奖品券或1张现金券，每名消费达标顾客有2次抽奖机会。某日恰
好有25名顾客参与抽奖，礼盒全部抽完。已知至少有20%的顾客2次都抽中现金券，
至多有60%的顾客2次都抽中同种类券，则一共至少有（ ）张现金券。
A.10
B.15
C.20
D.25
【例20】（2025浙江）某年级从A、B、C、D四个班招募96名志愿者，其中A班志愿
者人数占总数的1/3，B班志愿者人数比C班多4人，D班志愿者人数比其他三个班都
少。问D班最多能有多少名志愿者？
A.18
B.19
C.20
D.21
溶液问题基础回顾
方法：方程、赋值、线段法
题型：
① 两两混合
② 多者混合
混合本质：混合浓度 =
溶质1+溶质2+溶质3+......
溶液1+溶液2+溶液3+......
③ 蒸发、稀释
溶质不变，赋值分析
④ 连续稀释
溶液原来浓度n%，倒出比例a，加水填满，再倒出比例b，加水填满，以此类推
最终浓度=n%×（1-a）×（1-b）×......
【例1】（2025湖北选调）一瓶浓度为n%的酒精中加入1千克水，浓度变为0.6n%；
又加入1.5千克浓度为50%的酒精后，浓度变为0.9n%。问n的值在以下哪个范围内？
A.n≤35
B.35＜n≤37.5
C.37.5＜n≤40
D.n＞40
【例2】（2024广东事业单位）甲、乙两个相同的烧杯中分别装满了浓度为24%和
40%的同种溶液，将甲杯中倒出一半溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，再将甲
杯倒出一半溶液，又用乙杯中的溶液将甲杯加满，最后甲杯中溶液的浓度是：
A.25%
B.32%
C.36%
D.40%
【例3】（2024江苏）甲瓶中有50克浓度为80%的溶液，加水50克混合后倒出40克
至空瓶乙中；再往甲瓶中加水40克，混合后又倒出40克至乙瓶中。最终乙瓶中溶液
的浓度是：
A.38%
B.32%
C.26%
D.20%
【例4】（2024山西纪委）某装有酒精溶液的容器中，若再倒入浓度为5%的酒精溶
液800克后，浓度会变为20%。实际操作时先倒入800克水，之后又倒入第三种酒精
溶液400克，浓度也变为20%。则第三种酒精溶液的浓度是多少？
A.24%
B.30%
C.36%
D.42%
【例5】（2025江苏）甲、乙两瓶质量和浓度均相同的酒精溶液，在甲瓶中加入20克
水、乙瓶中加入50克浓度为30%的酒精溶液后，浓度仍然相等。若继续在甲瓶中加
入30克纯酒精，溶液又恢复到最初浓度，则乙瓶酒精溶液最初的质量是：
A.100克
B.110克
C.120克
D.150克
【例6】（2024黑龙江）有三种浓度分别为30%、50%、80%的酒精溶液。现在要用
这三种溶液调配出150克浓度为60%的酒精溶液，要求每种溶液至少用30克，问80%
的溶液最多使用多少克？
A.70
B.72
C.78
D.90
【例7】（2024广东事业单位）研究员需要调制浓度35%的营养液1100克，现有浓
度50%、45%和15%的三种营养液各500克可取用，则至少需要浓度50%的营养液（
）克。
A.200
B.225
C.250
D.300
【例8】（2018联考）将浓度为15%和5%的盐水各1000克，分别倒出若干配置成浓
度为10%的盐水1200克，将剩下的盐水全部混合在一起，得到的盐水浓度为：
A.10%
B.8.25%
C.8%
D.7.25%
【例9】（2024天津事业单位）现有浓度为32%和48%的苹果汁各若干克，将其混合
后加入150克纯净水，配制成了浓度为40%的苹果汁1200克，则原来32%和48%的
苹果汁质量之比是：
A.2∶5
B.3∶8
C.2∶7
D.1∶6
【例10】（2023江苏）浓度分别为68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为
240克。若将它们全部混合，则可得浓度为74%的酒精溶液；若只将浓度为72%和
78%的酒精溶液混合，则可得浓度为76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为
72%的酒精溶液质量为：
A.30克
B.40克
C.48克
D.60克
【例11】（2024福建事业单位）在浓度为15%的盐水中加入20千克水后，浓度变为
10%，这时再加入（ ）千克盐，可使浓度变为20%。
A.5
B.7.5
C.10
D.15
【例12】（2014河北）浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再
加入同样多的水后，浓度为多少？
A.9%
B.7.5%
C.6%
D.4.5%
【例13】（2024联考）现有一容器，装有100克浓度为75%的盐水，从中倒出40克
盐水后，再加入40克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：
A.16.20%
B.9%
C.1.62%
D.0.90%
【例14】（2023四川事业单位）某容器内装满了浓度为64%的酒精，现倒出2升该
溶液后再加水注满容器，搅拌均匀后又倒出2升溶液后加水注满容器，此时溶液浓度
变为36%。则该容器的容积为（ ）升。
A.8
B.9
C.10
D.12
【例15】（2024四川）现有浓度为70%的盐水100克。从中倒出40克，再加入40克
浓度为20%的盐水，如此操作共5次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？
A.低于23%
B.在23%到25%之间
C.在25%到27%之间
D.高于27%
