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专题 03 函数及其性质
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 函数的概 2026上海卷、2025北京卷
念及其表示（求 2024年新高考卷Ⅰ、2024上海卷
以基本初等函数为载体，考查函数
值、定义域、值
2023北京卷、2023上海卷 的定义域与值域等内容
域、图像与解析
式） 2022北京卷、2022浙江卷
2026北京卷、2026天津卷、2026
上海卷
2025年全国一卷、2025北京卷、
2025上海卷
2024年全国甲卷（理）、2024北
京卷、2024天津卷、2024上海
考查指数和对数函数的单调性（比
考点02 幂指对函 卷、
较大小等）、根据分段函数的单调
数的运算与应用 2023年新高考卷Ⅰ、2023年全国
性求参数、指对数的运算性质等
甲卷、2023北京卷、2023天津
卷、
2023上海卷
2022年全国甲卷、2022北京卷、
2022天津卷、2022上海卷、2022
浙江卷
2026新课标全国Ⅰ卷、2026新课
标全国Ⅱ卷2026北京卷、2026天
津卷、2026上海卷
2025年全国一卷、2025北京卷
2025天津卷、2025上海卷
2024年新高考卷Ⅰ、2024年全国
甲卷2024天津卷、2024上海卷、
考点03 函数的性
质及其应用（单调 2023年新高考卷Ⅰ、2023年新高 以抽象函数作为载体，考查函数的
性、奇偶性、周期 考卷Ⅱ、2023年全国甲卷、2023 单调性、奇偶性、周期性及对称性
性、对称性）
年全国乙卷、2023北京卷、2023
天津卷、2023上海卷
2022年新高考卷Ⅰ、2022年新高
考卷Ⅱ、2022年全国甲卷、2022
年全国乙卷2022北京卷、2022天
津卷、
2022上海卷、2022浙江卷2026新课标全国Ⅱ卷
2025天津卷、2025上海卷、
2024年新高考卷Ⅱ、2024年全国
甲卷（理）、2024天津卷、2024 一般会结合其他知识点考查，需要
考点04 函数的零
上海卷 掌握函数零点的定义和数形结合思
点与方程的根
2023年新高考卷Ⅰ、2023天津 路
卷、2023上海卷
2022北京卷、2022天津卷、2022
上海卷
考点01 函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式）
1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系 中有一图形 ，
过 内任意一点 作垂直于x轴的直线 ，满足 为一线段.现沿 方向平移这些线段，使得它们的中
点均在x轴上，这样叫做平移对称法.对于 ， ，直线 和直线 围成的封闭图形 ，
对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先作出两函数在区间 上的图象，根据平移对称法，分别算出 和 时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐
标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项确
定答案.
【详解】方法一：依题意，作出函数 与 在 上的图象.
按照平移对称法，当 时， ，线段中点纵坐标为 ，
则应将此时的线段沿 方向向下平移 ， 的图象上的对应点纵坐标应分别为 和 ，故排除B项；
1 1
当 时， ，线段中点纵坐标为 ，则应将此时的线段沿 方向向下平移 ，
4 4
的图象上的对应点纵坐标应分别为1和−1，故可排除C，D两项，A项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数 和函数 在 上的函数值差值等分
在x轴上下两侧，
等分量为 ，故在 上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意.
故选：A.
2．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域为D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存
在 ，使得 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数 的值域为 ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，充分性成立；
取 ， ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，但此时函数 的值域为 ，必要性不成立；
所以“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 的定义域为R， ，且当 时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 时 ，所以 ，
又因为 ，
则 ，
，
，
，
，则依次下去可知 ，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为 的函数 ，给出下列四个结论：
①存在在 上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在 上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在 上的增函数 ，满足 ，
则 ，即 ，
故 时， ，故 ，
故 即 ，矛盾，故①错误；
对于②，取 ，该函数为 上的减函数且 ，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取 ，
此时 ，由 可得 有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在 ，使得 ，
令 ，则 ，但 ，矛盾，
故满足 的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③5．（2024·上海·高考真题）已知 ，求 的x的取值范围_______.
【答案】
【分析】分 与 两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知 .
当 时， ,即 ，解得 ，则有 ；
当 时， ,即 ， ，即 时，不等式 都成立.
综上所述， 的x的取值范围为 .
故答案为： .
6．（2024·上海·高考真题）函数 的定义域为_______.
【答案】
【分析】由对数函数性质即可得.
【详解】由题意可得 ，即 的定义域为 .
故答案为： .
7．（2024·上海·高考真题）已知 则 ______．
【答案】❑√3
【分析】利用分段函数的形式可求 .
【详解】因为 故 ，
故答案为：❑√3.8．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ____________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：1
9．（2023·上海·高考真题）已知 ，则 的值域是______；
【答案】
【分析】分段讨论 的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知 ，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为： .
10．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ________；若当 时，
，则 的最大值是_________．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出 的最小值, 的最大值即可.
【详解】由已知 ， ，
所以 ，当 时，由 可得 ，所以 ，
当x>1时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
11．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是_________．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
考点02 幂指对函数的运算与应用
1．（2026·上海·高考真题） 为不为1的任意实数，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，则 .
2．（2026·天津·高考真题）已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简 ，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小
即可.
【详解】由题意可得 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
又因函数 在 上单调递增，则 ，
所以 ，
因 ，且 在 上单调递增，
所以 ，即 .
故 .
3．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取 个单位、 个单位、 个单位时所需时间分别为 ,
由题意， ，
，
，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
4．（2025·上海·高考真题）设 ．下列各项中，能推出 的一项是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论 与1的关系即可判定选项.
【详解】∵ ，∴ ，
当 时， 定义域上严格单调递减，
此时若 ，则一定有 成立，故D正确，C错误；
当 时， 定义域上严格单调递增，要满足 ，需 ，即A、B错误.
故选：D
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知 ，则x，y，z的大小关系不可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：设 ，对 讨论赋值求出 ，即可得出大小关系，利
用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设 ，所以令 ，则 ，此时 ，A有可能；
令 ，则 ，此时 ，C有可能；
令 ，则 ，此时 ，D有可能；
故选：B．
法二：设 ，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着 的变化可能出现： ， ， ， ，
故选：B．
6．（2025·上海·高考真题）幂函数 在 上是严格减函数，且经过 ，则 的值可能是
（ ）．
1
A． B． C． D．3
3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点 ，可排除A.
【详解】因为幂函数 在 上是严格减函数，所以 ，故C错误，D错误；对于A，若 ，则 ，当 时， ，
所以幂函数 过点 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，当 时， ，
所以幂函数 过点 ，故B正确.
故选：B.
7．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.8．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 ，消去S即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，即 ，所以 .
故选：D.
9．（2024·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：D10．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
12．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
13．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答】 ，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ．
故选：C．
14．（2022·天津·高考真题）化简 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：C
15．（2022·天津·高考真题）设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故选：D.
16．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
17．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
18．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直
冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据T与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D19．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
20．（多选题）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强
弱，定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的
声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.21．（2026·北京·高考真题）音高y（单位: ）与频率f（单位： ）满足 ，若
，则f的取值范围为________．
【答案】
【详解】由题意 ，则 ，解得 ，
所以f的取值范围为 .
22．（2024·上海·高考真题）函数 的定义域为_______.
【答案】
【分析】由对数函数性质即可得.
【详解】由题意可得 ，即 的定义域为 .
故答案为： .
23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 且 ，则 ______．
【答案】64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
24．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ____________．【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：1
25．（2023·上海·高考真题）已知函数 ，且 ，则方程 的解为
______________．
【答案】
【分析】分类讨论 和 ，解方程 的解，即可得出答案.
【详解】当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： （舍去），
所以方程 的解为 .
故答案为： .
26．（2022·上海·高考真题）已知函数 的反函数为 ，则 ________
【答案】3
【分析】求出函数 的反函数的解析式，进而可求得结果.
【详解】由 可得 ，故 ，因此， .
故答案为：3.
27．（2024·上海·高考真题）已知函数 ．
(1)若函数 的图象经过点 ，求解不等式 ；
(2)若存在x，使得 、 、 依次成等差数列，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）代入点坐标计算求出 ，根据定义域和单调性即可求出 的解集；
（2）根据 的定义域将问题转化为 时，得出 有解，再结合分
离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1） ，则 ，
， ， ，
，定义域为 ，
要解不等式 ，则 ， ．
又 在定义域内是严格增函数，
由 ，则 ，解得 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2） 的定义域为 ，存在x，使得 、 、 依次成等差数列，
则在方程 中，应满足 ，
由 ，解得 ，问题转化为 时，方程 有实数解．
又 ，则 ，
即 ．
为严格单调函数，
，
，两边同除以 得， ．令 ，由 ，则 ，
在 有解．
又 在 上是严格增函数，
，即 ，
又 ，则 .
28．（2022·上海·高考真题）
(1)若将函数 图像向下移 后，图像经过 ，求实数a，m的值.
(2)若 且 ，求解不等式 .
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题知 ，再根据题意得 ，解方程即可得答案；
（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为 的解集，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：函数 的定义域满足 ，即 ，
所以，要使函数的定义域非空，则 ，即 .
若将函数 图像向下移 后得到的解析式为：
， .
所以 在函数 的图像上，即 ，解得： ，
所以，
（2）解：由题知 ，
,
,
因为函数 在 上单调递增，
所以 等价于 ，展开整理得： ，
所以，不等式的解集为 的解，
所以，当 时，不等式的解为 ；
当 时，不等式的解为 .
综上，当 时，不等式的解为 ；当 时，不等式的解为 .
考点03 函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
1．（2026·北京·高考真题）下列函数 是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A，在 中， ，则 ，函数为偶函数，故错误；
B，在 中， ，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；方法一：
C，在 中， ，则 ，
，函数单调递减，故错误；
D，在 中， ，解得 ，
，则 为奇函数，
，即函数在定义域上单调递增，故正确.
法二：
C，在 中， ，则 ，为奇函数，
∵ 和 是减函数，
∴函数 单调递减，故错误；
D，在 中， ，解得 ，
， 为奇函数，
∵ 和 是增函数，则 为增函数，
∴函数 单调递增，故正确.
2．（2026·全国二卷·高考真题）已知 是定义域为R的偶函数， ，且当 时，
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D【分析】根据 推出周期性 ，分析可得 ，得到a，再由 可得b.
【详解】 ，则 ，
，即 的周期为 ，
结合奇偶性，周期性，故 ，
在 上满足 ，说明 的对称轴为 ，
则 ，解得 ，
又根据 知 ，而 ，
则 ，于是 ，
即 ，解得
3．（2026·天津·高考真题）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数 为奇函数，且当 时， ，
对A选项，当 时， ，与图象不符，故A错误；
对B选项，当 时， ，与图象不符，故B错误；
对D选项，当 时， ，与图象不符，故D错误；
对C选项，在 中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.4．（2026·上海·高考真题）对于函数 ， ，设 .对于点集M，若存
在 ，使得任取 ，总有 ，则称 为“最低点”.对于函数 和
，以下说法中正确的是（ ）
A．若 和 都有最小值，则 有最低点；
B．若 有最低点，则 和 都有最小值；
C．若 或 有最小值，则 有最低点；
D．若 有最低点，则 或 有最小值.
【答案】D
【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得
或 ，再分类讨论即可.
【详解】对于A项，取 ， ，取 ， ，
则 ， ；而 无最低点，故A错误；
对于B项，取 ， ，取 ， ，
则 无最小值， ；而 有最低点 ，故B错误；
对于C项，取 ， ，取 ， ，
则 无最小值， ；
因为 的函数值可趋向于负无穷大，所以 无最低点，则 亦无最
低点，故C错误；
对于D项，因为 有最低点，不妨设 为 的最低点， 且 ， 且，
所以 或 ，
若 ，则 且对任意的 ，总有 ，即 ；
若 ，同理可知 ；
所以若 有最低点，则 或 有最小值，故D正确.
故选：D.
5．（2025·北京·高考真题）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有点的（ ）
1
A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
2
1
C．纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变）D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
3
【答案】A
【分析】由 ，根据平移法则即可解出．
1
【详解】因为 ，所以将函数 的图象上所有点的横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变，即
2
可得到函数 的图象，
故选：A.
6．（2025·天津·高考真题）已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由 时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数 和函数 为奇函数，故排除选项AB；
又当 时 ，此时 ，
由图可知当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D
7．（2025·上海·高考真题）已知 ，C在 上，则△ABC的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为 ，得出 ，将三角形的高转化成关于b的函数,分析其单调性，从
而求解.
【详解】设曲线上一点为 ，则 ，则 ，
，AB方程为： ，即 ，
根据点到直线的距离公式， 到AB的距离为： ，
设 ，
由于 ，显然 关于b单调递减， ，无最小值，
即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值，
又AB一定，故面积有最大值，无最小值.故选：A
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时，
，则 （ ）
1
A． B． C． D．
2
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为 的范围中求解.
【详解】由题知 对一切 成立，
于是 .
故选：A
9．（2024·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ，定义集合
，在使得 的所有 中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是增函数 D．存在 在 处取到极小值
【答案】B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M与已
知条件矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项： 时， ，
当 时， ， 任意的 ， 恒成立，
若 时偶函数，此时 矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若 函数图像如下：当 时， ， 时， ，当 ， ，
∴存在 在 处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在 时，若函数 严格递增，则集合M的取值不会是 ，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在 在 处取到极小值，则在 在左侧存在 ， ，与集合M
定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
10．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.
【详解】 ，又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.
故选：B.
11．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则
，故A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ， ，
，则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，
因为 ，且 不恒为0，
则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
1
A． B． C． D．1
2
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符号
分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而可得
的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
1
所以 的最小值为 ；
2
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
1
所以 的最小值为 .
2
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
13．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
14．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.
【详解】根据所学知识，知道 为奇函数， 为偶函数， 为非奇非偶函数.
故选：B.
15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A．−2 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为x不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
16．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故选：D
18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
1
A． B．0 C． D．1
2
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
20．（2022·天津·高考真题）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选
项.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，CD选项错误；
又当 时， ，B选项错误.故选：A.
21．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A．−3 B．−2 C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为6，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为6．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
22．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
23．（2022·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
24．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
25．（多选题）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求导，和 ，得 ，
所以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D
错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
26．（2026·上海·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，若 ，则
__________．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数 是偶函数，当 时， ，
所以 ，解得 .
27．（2025·天津·高考真题）若 ，对 ，均有 恒成立，则 的
最小值为_______
【答案】−4
【分析】先设 ，根据不等式的形式，为了消a可以取 ，得到 ，验证 时， 是
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设 ，原题转化为求t的最小值，
原不等式可化为对任意的 ， ，
不妨代入 ，得 ，得 ，
当 时，原不等式可化为 ，即 ，
观察可知，当 时， 对 一定成立，当且仅当 取等号，
此时， ，说明 时， 均可取到，满足题意，
故 的最小值为−4.
故答案为：−4
28．（2024·上海·高考真题）若函数 是奇函数，则实数 ______.
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】 是奇函数，则 恒成立，
所以 ，解得
故答案为：0．
29．（2023·北京·高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【分析】先分析 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取 ，结合图像即可判断；对于②，分段
讨论 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 的范围；对于④，取 ，结合图像
可知此时 存在最小值，从而得以判断.【详解】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为a的圆在x轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值a；
当 时， ，
综上： 取得最大值a，故②正确；
对于③，易知当 时，在 ， 且接近于 处，
的距离最小，当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，
当 时， 且接近于 处， 的距离最小，
此时 ；故③正确；
对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点P在 上，点Q在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径a，
此时，因为 的斜率为1，则 ，故直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故a的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
30．（2023·全国甲卷·高考真题）若 为偶函数，则 ________．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
31．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条
件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨论可知
或 ， 解得 .
【详解】解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符
合题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
32．（2022·上海·高考真题）若函数 ，为奇函数，则参数a的值为___________．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.
【详解】当 时， ，
当 时， ，故 ，
而 ，故 即 ，
故答案为：1.
33．（2022·全国乙卷·高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
∵函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
∵函数 为奇函数
[方法三]：因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
34．（2026·上海·高考真题）设 是定义在 上的函数.定义性质P：若对任意 ，当 时，
，则称函数 具有“性质P”.
(1)判断函数 是否具有“性质P”；
(2)若分段函数 具有“性质P”，求所有满足条件的实数a和b的解；
(3)已知 的值域为 ，且在 上是严格增函数，证明： 是偶函数的充要条件是： 具
有“性质P”.
【答案】(1)没有，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质P”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质P”的特性进行运算证明即可.
【详解】（1）函数 不具有“性质P”，理由如下：
例如当 时，显然 成立，
，根据指数函数的单调性可知 ，所以有 ，这与“性质P”矛盾，故函数 不具有“性质P”；
（2）因为函数 具有“性质P”，所以取 ，有 ，
于是有 ，
当 时，由 ，
当 时，由 ，
若 ，若 ，则有 ，
取 ，
此时 ，但是 ，不符合“性质P”，所以 不符合题意，
故 ，此时 ，
若 时，则 ，
由 ，
若 时，则 ，
由 ，
因此 ，
综上所述：当且仅当 时，满足条件；
（3）充分性：若 具有“性质P”，则 是偶函数.
若存在 ， ，不妨设 ，记 ，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，
若 ，则有 ，
若 ，则有 ，
故对任意 ， ，这与 的值域为 矛盾，
所以 不成立，则有 ，因此函数 是偶函数；
必要性：若 是偶函数，则 具有“性质P”.
当 时，因为 在 上是严格增函数，
所以 ，
又因为函数 是偶函数，
所以由 ，因此 具有“性质P”.
所以 是偶函数的充要条件是： 具有“性质P”.
35．（2026·上海·高考真题）已知 是1，2，3的一个排列，若函数 ， ， ，对任意
，都有 且 ，则称 是关于 ， ， 的一个
I排列，则关于 ， ， 的I排列总数记为 ．
(1)已知 ， ， ， ，判断 是否为I排列；
(2)对 ， ， ， 满足条件的 ，求 的取值范围；(3)对 ，且对任意 ， ，令 ， ，
， ，证明：若 严格减，则存在 ，使 ；若
严格增，则存在 ， ．
【答案】(1)是I排列；
(2) ；
(3)首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若 和 在 上同时成立，
那么排列 都将是I排列，此时 至少为4．
当 时，即 ，
因为 是定义在 上的函数，且严格单调递减，实数 ，
则 恒成立，
又因为函数 在 上单调递增，
则在区间 上， ， .
若 恒成立，则 ，
则只需 ，即 ，因为对任意的 ， ，
则 ，则 ，则解得 ，
当 时，即 ，
因为 严格递减，所以 且 ，
，
只要 ，就有 ，则可取 即可满足题意．
即存在 ，使得 .
再证明第2个结论.
假设对于任意的 ，都有 ，
因为（2）中①排列 始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是I排列．
首先，我们证明 不可能恒成立：
假设对于某个 ，在 上恒有 ．
即 ，
即 ，
取 ．由于 严格递增，
令 ，
则 ，
于是对任意正整数 ：
，
当 时， ，这与 矛盾！
因此， 不可能恒成立．则排列③排列 和④排列 永远不可能是I排列．
接下来只剩②排列 ，其需满足 ，
⑤排列 ，其需满足 ，
⑥排列 ，其需满足 ，下面证明：对于任意 在I上恒成立＂与＂ 在I上恒成立＂这两个命题，
必须有且只有一个为真．
（i）若对任意 ，都有 ，即都有 ，
对于任意 和 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，又因为 ，故等号无法取到，
所以 恒成立，
则 对所有的 恒成立.
则此时②排列 ，⑤排列 ，⑥排列 均成立，
则 ，与假设 矛盾！
（ii）并非对于所有 都有 ，即 ，
则必定存在 ，使得 ，
设 ，
因为 是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的 ，总可以找到 ，使得 ，
即 ，即 ，
同时，因为 严格递增且 ，必有 ．
即 ，
即 ，即 ，
则可取充分小的a使得 ，即存在 ，使得 ，所以＂ 恒成立＂这个命题是假的．
既然 为假，那么＂ 恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列 成立，此时满足 ，
则对于 ，在 时都有：
，
即 ，
取 ，则对于任意 ：
，
因为 严格递增，则 ．
则
又因为 ，
则
即 ，对任意 都成立．
取 ，因为 ，则 ，
则对于 内的任意t，都满足 ，
因为 ，故有 ，
但是，之前我们得到 ，
即 ，则 ，
则有： ， 这与我们的假设相矛盾．综上，原命题成立，必然存在 ，使得 ．
【分析】（1）根据I排列的定义判断即可；
（2）分析得1，2，3的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分 和 讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【详解】（1）由题意得 ，
则当 ， ，
则 恒成立，
，
则 恒成立，
故 是为I排列.
（2）若 ，则1，2，3的全排列均满足题意，
① ，则有： ，此时两个不等式显然成立．
② ，则有： ，即 .
③ ，则有： ，即 .
④ ，则有： ，即 .
⑤ ，则有： ．
⑥ ，则有： ，即 .则上述不等式均要成立，取它们的交集有 ，
即 ，即 对 恒成立，
分离参数得 ，因为当 时， ，
所以 .
（3）略.
36．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，且当 时， ．对任意 ，
定义集合 ．
(1)若当 时， ，求 ；
(2)若 是奇函数， ，且 ，证明： ；
(3)设 满足：①若 ，则 ；②当 时， ．
（i）证明： ；
（ii）证明： 在区间 单调递增．
【答案】(1)
(2)由题意证明如下：
在 中， 是奇函数，当 时， ．
∴ ，当 时， ，∴
在集合 中，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 且 ，即 ， ，
∵ ，
∴①当 时，解得 ，
， ，
此时 ，
②当 时，解得 ，
， ，
此时 ，
③当 时，解得 ，
， ，此时 ，
综上， .
(3)（i）由题意证明如下，
法一：
若 ，则存在 ，使得 ，
条件①：若 ，则 ，
∴ ，则 ，
取 ，则 ，此时 ，
∵ ，则 ，即 ，
但 ，相矛盾，
∴
法二：
假设 ，则存在 ，使得 ，
从而 ，这导致 ，
但 ，
∵根据条件又有 ，矛盾，
∴假设不成立， .
（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，在集合 中，
要证 在 上单调递增，
即需证 ， ，都有 ，
即需证 ， ，都有 ，
①先证明：当 时， ，
假设 ，使得 ，
∵当 时， ，
∴ ，使得 ，
∴ ，
而当 时， ，
否则 ，使得 ， ，与 矛盾，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（3）（i）得， ，
则 ，
由条件②：当 时， ，
则 ，否则 时， 与 矛盾，
∴若 ，使得 ，则 ， ，（*）
∴ ，使得 ，
则 ，
令 ， ，
此时 ，则 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴易取 ， 满足 ， 使得 ，
根据（*）可得，此时 ，与 矛盾，
∴当 时， ，
②证明：对 ， ，都有 ，
∵ ， ，都有 ，
∴ ，
对任意给定的 ，取 ，则 ，
∴对 ， ，都有 ，
∴ 在 上单调递增.
【分析】（1）求出 ，写出 表达式，即可求出 ；（2）求出 表达式，化简集合 并得出表达式，利用 得出 与 ，对
的三种情况进行分类讨论，即可证明结论；
（3）（i）法一：假设 ，则存在 ，使得 ，取 ，求出 ，与
矛盾，进而证明结论；
法二：假设 ，则存在 ，使得 ，取 ，求出 ，与
时 矛盾，进而证明结论；
（ii）将证明转化为证 ， ，都有 ，先证明：当 时， ，再证明
对 ， ，都有 ，进而证明出 在 上单调递增.
【详解】（1）由题意，
在 中， ， ，
在 中，
，
∴ ，
当 时， ， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∴ .（2）略
（3）（i）略
（ii）略
37．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域是D．对于 ，定义集合 ．
(1) ，求 ；
(2)对于集合 ，若对任意 都有 ，则称 是对称集．若D是对称集，证明：“函数 是偶
函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”；
(3)若 ， ．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有 ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；
（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；
（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.
【详解】（1）由定义得， .
（2）证明：
必要性：因为函数 是偶函数，所以对任意 ， ，
对任意 ，若 ，即 ，则 ，
所以 ，所以对任意 ， 是对称集.
充分性：若对任意 ， 是对称集，
因为对任意 ， ，所以 ，即 ①，又 ，所以 ，即 ②.
由①②得，对任意 ， ，
所以函数 是偶函数.
综上，“函数 是偶函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”，得证.
（3）因为对于任意 ，都有 ，
所以若 ，则 ，即若 ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调不减，
所以对任意 ， 恒成立.
当 时，显然成立， ；
当 时， 恒成立，令 ， ，
所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ；
当 时， 恒成立，此时
因为 在 上单调递减，当 时， ，
时， ，
所以 ；
综上， .
【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.
38．（2023·全国甲卷·高考真题）设 ，函数 ．
(1)求不等式 的解集；(2)若曲线 与x轴所围成的图形的面积为2，求a．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）分 和 讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若 ,则 ,
即 ,解得 ,即 ,
若 ,则 ,
解得 ,即 ,
综上,不等式的解集为 .
（2） .
画出 的草图,则 与x轴围成△ABC,
△ABC的高为 ,所以 ,
所以 ,解得 .考点04 函数的零点与方程的根
1．（2025·天津·高考真题）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知： 在 上单调递减， 在 单调递增，
所以 在定义域上单调递减，
显然 ，
所以根据零点存在性定理可知 的零点位于 .
故选：B
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A．−1 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结
合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即可
得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；故选：D.
3．（2026·全国二卷·高考真题）若函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】方法一：令 ,则 即 ， ,转化为一元二次方程
有两个正根的问题.
方法二：把函数 有两个零点转化为方程 有两个实数根的问题，再转化
为 ,即函数 与函数 交点问题.
【详解】令 ，得 ，即 ，
方法一：
令 ，则 ，即 ， ,
则一元二次方程 有两个正根，
那么 ，
所以， 的取值范围是 .
方法二：
设 ，那么设 ，则 ，
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
根据函数图象可知，函数 有两个零点，则 的取值范围是 .4．（2025·上海·高考真题）关于x的方程 的解集为__________．
【答案】
【分析】根据x的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可.
【详解】 .
当 时，令 得 ；
当 时， 恒成立；
当 时，令 得 .
综上所述，方程 的解集为 .
故答案为： .
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的
取值范围为______．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令 ，分离参数 ，构造新函数 结合
导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令 ，即 ，令则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
故答案为：
6．（2024·天津·高考真题）设 ，函数 .若 恰有一个零点，则 的取
值范围为______．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 与 ，则两函
数图象有唯一交点，分 、 与 进行讨论，当 时，计算函数定义域可得 或 ，计
算可得 时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当 时，在y轴右侧无交点的情况即可
得；当 时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令 ，即 ，
由题可得 ，当 时， ，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，故 时， 图象为双曲线 右支的x轴上方部分向右平移 所得，
由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的x轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为−2，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 的零点问题转化为函数 与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
7．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值
范围为_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，
若a=1时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ，−1；
当 时，只有一个零点−1；
当 时，零点为 ，−1；
当a=1时，只有一个零点−1；
当 时，零点为 ，−1；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，故答案为： .
9．（2022·天津·高考真题）设 ，对任意实数x，用 表示 中的较小者．若函
数 至少有3个零点，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】设 ， ，分析可知函数 至少有一个零点，可得出 ，求
出 的取值范围，然后对实数 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式，综合可
求得实数 的取值范围.
【详解】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
10．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．
【答案】 1【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
11．（2022·上海·高考真题）已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，
设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 ________
【答案】2
【分析】根据题意可得函数 是以4为周期的周期函数，作出函数 的图像，结合图像可知
的几何意义为函数 两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.
【详解】解：因为 为奇函数，所以 ，且 ，
又 关于直线 对称，所以 ，
所以 ，
则 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
作出函数 和 的图像如图所示：
由 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，
则 的几何意义为函数 两条渐近线之间的距离为2，所以 .
故答案为：2.
12．（2024·上海·高考真题）已知 ，
(1)设 ，求解: 的值域;
(2) 的最小正周期为π，若在 上恰有3个零点，求 的取值范围.
【答案】(1) ;
(2)
【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.
（2）利用三角函数的性质求解参数即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以令 ，
由正弦函数性质得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ，（2）由题意得 ，所以 ，可得 ，
当 时， ， ，即 ， ，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
所以 ，
即 ，故 .
13．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当 时，是否存在实数c，使得 为奇函数；
(2)若函数 过点 ，且函数 图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2) 且
【分析】（1）将 代入得 ，先考虑其定义域，再假设 为奇函数，得到方程
无解，从而得以判断；
（2）先半点 代入 求得 ，从而得到 ，再利用二次函数的根的分布得到
关于 的不等式组，解之可得 ，最后再考虑 的情况，从而得到 的取值范围.【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
假设 为奇函数，则 ，
而 ，则 ，此时无实数 满足条件，
所以不存在实数 ，使得函数 为奇函数；
（2） 图像经过点 ，则代入得 ，解得 ，
所以 ，定义域为 ，
令 ，则 的图像与x轴负半轴有两个交点，
所以 ，即 ，解得 ，
若 ，即 是方程 的解，
则代入可得 ，解得 或 .
由题意得 ，所以实数 的取值范围是 且 .
