文档文本内容
专题11 空间向量与立体几何
考点分类
五年考情（2022-2026）
命题规律
考点01 空间几何
体及其表面积、体
积
2026 全国二卷、
2025 年全国二卷、2025 北京卷、
2025 上海卷、
2024 年新课标Ⅰ卷、2024 年全国
甲卷、2024 北京卷
2023 年新课标Ⅰ卷、2023 年新课
标Ⅱ卷、2023 年全国甲卷、2023
年全国乙卷、2023 天津卷
2022 年新高考全国Ⅰ卷、2022 年
新高考全国Ⅱ卷、2022 年全国甲
卷、2022 年全国乙卷、2022 北京
卷、2022 天津卷、2022 上海卷
空间几何体体积和表面积的考查涉
及各种类型的几何体，如棱台、棱
柱、棱锥、球等，且常与其他知识
点结合。与球有关的切、接问题也
是重要考点，多以正方体、正四棱
锥等为背景，考查考生对空间几何
体结构特征的理解和空间想象能
力。
考点02 点、平
面、直线间的位置
关系判断
2025 天津卷、2025 上海卷
2024 年全国甲卷、2024 天津卷、
2024 上海卷
2023 上海卷
2022 上海卷
考查学生对空间中直线与直线、直
线与平面、平面与平面位置关系的
基本概念和定理的理解，通常可以
以正方体等简单几何体为载体，通
过对一些位置关系的判断来命题，
难度适中，注重对基础知识的考
查。
考点03 线面平
行、垂直的证明
（多数提现在大题
第1 问）
2026 全国一卷、2026 全国二卷、
=
2026 北京卷、2026 天津卷、2026
上海卷
2025 年全国一卷、2025 年全国二
卷、2025 北京卷、2025 天津卷、
2025 上海卷
2024 年新课标Ⅰ卷、2024 年新课
标Ⅱ卷、2024 年全国甲卷、2024
北京卷、2024 天津卷、2024 上海
卷
2023 年新课标Ⅰ卷、2023 年新课
标Ⅱ卷、2023 年全国甲卷、2023
年全国乙卷、2023 北京卷、2023
天津卷、2023 上海卷
2022 年新高考全国Ⅰ卷、2022 年
新高考全国Ⅱ卷、2022 年全国甲
线面关系证明是基础必考题
平行关系（如线面平行、面面平
行）和垂直关系（线面垂直、面面
垂直）的判定是解答题的常规考
点，题目通常以常见几何体（棱
柱、棱锥、棱台等）为载体，要求
结合几何定义、判定定理进行逻辑
推理，强调对空间线面位置关系的
直观感知与严谨论证能力，难度中
等，是得分的关键环节。
卷、
2022 年全国乙卷、2022 北京卷、
2022 天津卷、2022 上海卷、2022
浙江卷
考点04 求异面直
线所成角、线面
角、二面角
2026 全国二卷、2026 北京卷、
2026 天津卷、2026 上海卷
2025 年全国一卷、2025 年全国二
卷、2025 北京卷、2025 上海卷
2024 年新课标Ⅱ卷、2024 年全国
甲卷、2024 北京卷、2024 上海卷
2023 年新课标Ⅰ卷、2023 年新课
标Ⅱ卷、2023 年全国甲卷、2023
年全国乙卷、2023 北京卷、2023
上海卷
2022 年新高考全国Ⅰ卷、2022 年
新高考全国Ⅱ卷、2022 年全国甲
卷、2022 年全国乙卷、2022 北京
卷、2022 天津卷、2022 上海卷、
2022 浙江卷
二面角是几乎每年必考，覆盖全国
卷、地方卷多个地区，其次是直线
与平面所成角，异面直线所成角偶
有涉及。题目通常需要结合空间向
量法（建系、求法向量）或几何法
（作辅助线、找角）求解，既考查
空间想象能力，也注重运算准确
性，是区分度的重要体现。
空间中的距离问题
2026 全国一卷
2025 天津卷
2024 年全国甲卷、2024 天津卷
2023 天津卷、2023 上海卷
空间距离重点考查点到面的距离，
常与体积计算、空间角综合命题，
需要借助等体积法或空间向量的投
影公式求解
考点01 空间几何体及其表面积、体积
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为
的菱形，上、下底面的边长
分别为2，3，该棱台的高为
，则其体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，
则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
4．（2024·天津·高考真题）在如图五面体
中，棱
互相平行，且两两之间距离均为
1．若
．则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，
，若
的面积等于
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·天津·高考真题）在三棱锥
中，点M,N 分别在棱PC,PB 上，且
，
，
则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022·天津·高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部
即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一
个公共侧面ABCD.在底面BCE 中，若
,
,则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．27
D．
10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积
分别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O 的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S 是
及其内部的点构成的集
合．设集合
，则T 表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体
积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分
水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为
；水位为海拔
时，相应
水面的面积为
，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上升
到
时，增加的水量约为（
）（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方
体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
17．（多选题）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
18．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026·全国二卷·高考真题）已知球
的体积为
，A，B，C，D 四点均在球O 的球面上，
为等边三角形，
，则
的面积为__________．
20．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，
其中ABCDEF 是一个平面多边形，平面
平面ABC，平面
平面ABC，
，
.若
，
则该多面体的体积为________．
21．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱
中，
，则该正四棱柱的
体积为_________．
22．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不
计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________
．
23．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其
中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，底面
直径依次为
，且斛量器的高为
，则斗量器的高为______
，升量器的高为
________
．
24．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为
,下底面半径均为
，圆台的母线长
分别为
,
，则圆台甲与乙的体积之比为______．
25．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点
均在半径为2 的球面上，
是边长为3 的等边三角
形，
平面
，则
________．
26．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体
中，
为
的中点，若该正方体的棱
与球
的球面有公共点，则球
的半径的取值范围是________．
27．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，以EF 为
直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
28．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台
中，
，则该棱台
的体积为________．
29．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面
边长为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
30．（2022·上海·高考真题）已知某圆锥的高为4，底面积为
，则该圆锥的侧面积为___.
考点02 点、平面、直线间的位置关系判断
1．（2025·天津·高考真题）若m 为直线，
为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
2．（2025·上海·高考真题）如图，
是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是
（ ）．
A．
和
；
B．
和
；
C．
和
；
D．
和
．
3．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面
，
和两条不同的直线
，
，则下列说法中正确
的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
4．（2024·全国甲卷·高考真题）设
为两个平面，
为两条直线，且
.下述四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
或
③若
且
，则
④若
与
,
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
5．（2024·天津·高考真题）已知
是两条直线，
是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
6．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体
中，点
为线段
上的动点，则下列
直线中，始终与直线
异面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·上海·高考真题）如图，正方体
中，P、Q、R、S 分别为棱AB、BC、
、CD
的中点，连接
、
，空间任意两点M、N，若线段MN 上不存在点在线段
、
上，则称M、N
两点可视，下列选项中与点
可视的为（ ）．
A．点Q
B．点P
C．点B
D．点R
8．（2022·上海·高考真题）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则
相邻两个时钟的时针从0 时转到12 时（含0 时不含12 时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
A．
B．
C．
D．
考点03 线面平行、垂直的证明
1．（2026·天津·高考真题）正方体
中，错误的是（ ）
A．
B．
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
2．（2022·全国甲卷·高考真题）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成
的角均为
，则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
3．（2022·全国乙卷·高考真题）在正方体
中，E，F 分别为
的中点，则（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
4．（多选题）（2026·全国一卷·高考真题）在空间中，
、
为两个定点，动点
到直线
的距离为
2，动点
到直线
的距离为1．若二面角
为
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
平面
D．当
平面
时，
5．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱
中，D 为BC 的中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
6．（多选题）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
7．（2025·上海·高考真题）如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且
．
(1)若直线PA 与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为
，
．设点M 在线段OC
上，证明：直线
平面PBD．
8．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面
是边长为8（单位：
）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面
垂直．
(1)证明：
平面
；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
9．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体
中，
，E 为AC 的
中点．
(1)证明：平面
平面ACD；
(2)设
，点F 在BD 上，当
的面积最小时，求三棱锥
的体积．
10．（2022·上海·高考真题）如图，在圆柱
中，底面半径为，
为圆柱
的母线.
(1)若
，
为
的中点，求直线
与底面的夹角大小；
(2)若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
考点04 求异面直线所成角、线面角、二面角
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与
平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三角形，若二面
角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱
，E，F 分别是棱
上的点．
记
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成
的角均为
，则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
5．（多选题）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
6．（2025·上海·高考真题）已知P 是一个圆锥的顶点，
是母线，
，该圆锥的底面半径是1．B、
C 分别在圆锥的底面上，则异面直线
与
所成角的最小值为__________．
7．（2024·上海·高考真题）在棱柱
中，底面
为平行四边形，
，
，
，设异面直线
与
的夹角为
，则
________．
8．（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥
中，点
在
上，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，
．求直线
与平面
所成角的正弦值．
9．（2026·北京·高考真题）已知直三棱柱
，
，
，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)点
在平面
内，且
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
得
唯一确定，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
①
；
②
；
③
平面
．
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．
10．（2026·上海·高考真题）已知四棱锥
，底面
为矩形，
底面
，垂足
在
边上，且
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若四棱锥
的体积为
，求二面角
的大小．
11．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台
，其中
，
.
(1)当
时，求
和平面
所成角；
(2)证明：
平面
；若棱台高为3，求三棱锥
的体积.
12．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
(1)若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
(2)若
平面ABCD，
，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
13．（2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
14．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点
E 在AB 上，
，
.将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二面角为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
15．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥
中，
底面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，且点
，
，
，
均在球
的球面上．
（i）证明：点
在平面
内；
（ⅱ）求直线
与
所成角的余弦值．
16．（2025·上海·高考真题）在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，
(1)若O 是棱
的中点，证明：
平面
，并求三棱锥
的体积；
(2)求二面角
的大小．
17．（2024·上海·高考真题）如图，
、
、
为圆锥三条母线，
.
(1)证明:
；
(2)若圆锥侧面积为
为底面直径，
，求二面角
的大小
18．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥
为底面
的中心．
(1)若
，求
绕
旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的大小．
19．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
20．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四
边形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
22．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
23．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱
中，
，
，
，
，
(1)求证：
平面
；
(2)若四棱柱
体积为36，求二面角
大小.
24．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
(2)求二面角
的大小．
25．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱
中，
底面ABC，
，
到平面
的距离为1．
(1)证明：
；
(2)已知
与
的距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
26．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
27．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
28．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
29．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O 为AC 边中点，且
底面ABC，
(1)求三棱锥P-ABC 的体积；
(2)若M 为BC 中点，求PM 与平面PAC 所成角大小（结果用反三角数值表示）.
30．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱
中，
，点D、E、F 分别为
的中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值．
31．（2022·浙江·高考真题）如图，已知
和
都是直角梯形，
，
，
，
，
，
，二面角
的平面角为
．设M，N 分别为
的
中点．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
32．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
33．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥
中，
底面
．
(1)证明：
；
(2)求PD 与平面
所成的角的正弦值．
34．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体
中，
，E 为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正
弦值．
35．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，M，N 分别为
，AC 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
36．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．
(1)求A 到平面
的距离；
(2)设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
考点05 空间中的距离问题
1．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分
别为
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)设
，直线
与平面
所成的角为
，求直线
到平面
的距离．
2．（2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，
，
，
，
,
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到
的距离.
4．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
5．（2023·上海·高考真题）已知三棱锥
中，
平面
为
中
点，过点
分别作平行于平面
的直线交
于点
.
(1)求直线
与平面
所成的角的正切值；
(2)证明：平面
平面
，并求直线
到平面
的距离.
6．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台
中，
平面
，
为
中点.，N 为AB 的中点，
(1)求证：
//平面
；
(2)求平面
与平面
所成夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
