专题17 概率与随机变量及分布列
考点分类
五年考情（2022-2026）
命题规律
考点01 古典概型
2025 上海卷
2024 年新课标Ⅰ卷、2024 年全国
甲卷
2023 年全国甲卷、2023 年全国乙
卷、2023 天津卷、2023 上海卷
2022 年新高考全国Ⅰ卷、2022 年
全国甲卷、2022 年全国乙卷、
2022 上海卷
考查古典概型及其概率计算公式，
往往结合排列组合、实际问题一起
考查。
考点02 条件概
率、全概率公式
2024 天津卷、2024 上海卷
2023 年全国甲卷
2022 年新高考全国Ⅰ卷、2022 年
新高考全国Ⅱ卷、2022 天津卷
考查随机事件的独立性和条件概率
的关系，利用全概率公式计算概
率。
考点03 概率及其
基本性质、相互独
立事件及其推广
2026 全国一卷、2026 上海卷
2025 北京卷、2025 上海卷
2024 年新课标Ⅱ卷、2024 上海卷
2023 年新课标Ⅱ卷、2023 北京
卷、2023 天津卷、2023 上海卷
2022 年全国乙卷
考查两个事件相互独立的含义以及
相互独立事件的概率计算与推广。
考点04 随机变量
的分布列和数学期
望
2026 全国一卷、2026 上海卷
2025 年全国一卷、2025 年全国二
卷、2025 天津卷、2025 上海卷
2024 年新课标Ⅰ卷、2024 北京卷
2023 年新课标Ⅱ卷、2023 上海卷
2022 年全国甲卷、2022 北京卷、
2022 上海卷
考查随机变量及分布列，求离散型
随机变量的均值，二项分布、正态
分布也时有涉及，体现了对离散型
随机变量相关知识的重视，尤其是
均值作为反映随机变量取值平均水
平的重要指标，是考查核心。
考点01 古典概型
1．（2025·上海·高考真题）有一四边形
，对于其四边
，按顺序分别抛掷一枚质
量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A 为起点沿着尚未
擦去的边出发，可以到达C 点的概率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.
【详解】根据题意，对于其四边
，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有
种情况，
要从A 出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留
两条边，则
可保留也可擦去，
共有
种情况；
若保留
两条边，则
可保留也可擦去，
共有
种情况（其中有一种情况与上面重复），
则要从A 出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有
种情况，
所以可以到达C 点的概率为
.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出
场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，出场次序共有24 种，
其中符合题意的出场次序共有8 种，
故所求概率
；
解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有
种排法，丁就种，共
种；
当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共
种；
于是甲最后出场共
种方法，同理乙最后出场共
种方法，于是共种出场顺序符合题意；
基本事件总数显然是
，
根据古典概型的计算公式，所求概率为
.
故选：C
3．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题
准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对6 个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古
典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6 表示6 个主题，甲、乙二人每人抽取1 个主题的所有结果如下表：
乙甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共有36 个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有
，共6 个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30 个，概率
.
故选：A
4．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名．从这4 名学生中随
机选2 名组织校文艺汇演，则这2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4 名学生中随机选2 名组织校文艺汇演，总的基本事件有
件，
其中这2 名学生来自不同年级的基本事件有
，
所以这2 名学生来自不同年级的概率为
.
故选：D.
5．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到
的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4 的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6 张卡片中无放回抽取2 张，共有
15 种情况，其中数
字之积为4 的倍数的有
6 种情况，故概率为
.
[方法二]：有序
从6 张卡片中无放回抽取2 张，共有
,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),
(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30 种情况，
其中数字之积为4 的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12 种情况，故概率
为
.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，共有
种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：
，共7 种，
故所求概率
.
故选：D.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6 个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取
3 次，每次取1 个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值，
为取出的三个球上数字的平均值，则
与
之差的绝对值不大于
的概率为______．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为
，第三个球的号码为，则
，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6 个不同的球中不放回地抽取3 次，共有
种，
设前两个球的号码为
，第三个球的号码为，则
，
故
，故
，
故
，
若
，则
，则
为：
，故有2 种，
若
，则
，则
为：
，
，故有10 种，
当
，则
，则
为：
，
，
故有16 种，
当
，则
，同理有16 种，
当
，则
，同理有10 种，
当
，则
，同理有2 种，
共
与
的差的绝对值不超过
时不同的抽取方法总数为
，
故所求概率为
.
故答案为：
8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别
标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人
各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得
0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分
不小于2 的概率为_________.
【答案】
/0.5
【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为
，四轮的总得分为
.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在
该轮得分的概率
，所以
.
从而
.
记
.
如果甲得0 分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7 分别对应乙出2，4，6，8，所以
；
如果甲得3 分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7 分别对应乙出8，2，4，6，所以
.
而
的所有可能取值是0，1，2，3，故
，
.
所以
，
，两式相减即得
，故
.
所以甲的总得分不小于2 的概率为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从
而避免繁琐的列举.
9．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个
箱子中的球数之比为
．且其中的黑球比例依次为
．若从每个箱子中各随机摸出一球，
则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为
_________．
【答案】
/
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为
，所以总数为
，
所以甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
乙盒中黑球个数为
，白球个数为
；
丙盒中黑球个数为
，白球个数为
；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件
，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件
，
黑球总共有
个，白球共有
个，
所以，
．
故答案为：
；
．
10．（2023·上海·高考真题）已知有4 名男生6 名女生，现从10 人中任选3 人，则恰有1 名男生2 名女生
的概率为_____________．
【答案】
/0.5
【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意所选的3 人中恰有1 名男生2 名女生的概率
，
故答案为：
11．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1 项，球类3 项，田径类4 项共8 项
项目中随机抽取4 项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；
【答案】
【分析】
由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．
【详解】
解：从游泳类1 项，球类3 项，田径类4 项共8 项项目中随机抽取4 项进行检测，则每一类都被抽到的方
法共有
种，
而所有的抽取方法共有
种，
故每一类都被抽到的概率为
＝
＝
，
故答案为：
．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为
________．
【答案】
.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取
个，有
个结果，这
个点在同一个平面的有
个，故所求概率
．
故答案为：
．
13．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选
的概率为____________．
【答案】
/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5 名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5 名同学中随机选3 名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，
1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10 种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3 种，故所求概率
.
故答案为：
.
解法二：从5 名同学中随机选3 名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为
，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
14．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有
3 种题库，
题库有5000 道题，
题库
有4000 道题，
题库有3000 道题．小申已完成所有题，已知小申完成
题库的正确率是0.92，
题库的
正确率是0.86，
题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知，
题库的比例为：
，
各占比分别为
，
则根据全概率公式知所求正确率
．
故答案为：0.85．
考点02 条件概率、全概率公式
1．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有
的同学爱好滑冰，
的同学爱好滑雪，
的
同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰
的概率为（ ）
A．0.8
B．0.6
C．0.5
D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为
，
记“该同学爱好滑雪”为事件
,记“该同学爱好滑冰”为事件
，
则
，
所以
.
故选:
.
2．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄
球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．
【答案】
【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出
至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.
【详解】由题意，
第一空：
箱子里总共有6 个球，其中黄球2 个，非黄球共4 个。
设事件
表示没取到黄球，事件
表示三次都没取到黄球，
有放回抽取，每次取到非黄球的概率为
，
三次都没取到黄球的概率：
.
第二空：
设事件
表示至少取到一次红球，事件
表示三次都取到白球，
，
∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：
，
，
∴
，
∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是
.
3．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有
3 种题库，
题库有5000 道题，
题库有
4000 道题，
题库有3000 道题．小申已完成所有题，已知小申完成
题库的正确率是0.92，
题库的正
确率是0.86，
题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知，
题库的比例为：
，
各占比分别为
，
则根据全概率公式知所求正确率
．
故答案为：0.85．
4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5 个项目，
分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3 个项目.假设每人参加
每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3 个项目中
有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5 个项目分别编号为
,从五个活动中选三个的情况有：
,共10 种情况，
其中甲选到
有6 种可能性：
，
则甲参加“整地做畦”的概率为：
；
乙选
活动有6 种可能性：
，
其中再选择
有3 种可能性：
，
故乙参加的3 个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为
.
解法二：
设甲、乙选到
为事件
，乙选到
为事件
，
则甲选到
的概率为
；
乙选了
活动，他再选择
活动的概率为
故答案为：
；
5．（2022·天津·高考真题）52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为
____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A 的概率为____________
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽
到A 的条件下，第二次抽到A 的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A 的事件为B,第二次抽到A 的事件为C,
则
.
故答案为：
；
.
6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年
龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)
岁；
(2)
；
(3)
．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设
{一人患这种疾病的年龄在区间
}，根据对立事件的概率公式
即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设
“一人患这种疾病的年龄在区间
”，所以
．
（3）设
“任选一人年龄位于区间[40,50)”，
“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，此人患这种疾病的概率为
．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯
（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），
同时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该
疾病”．
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)（i）证明：因为
，
所以
所以
.
(ii)
；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出
的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)
根据（i）结合已知数据求
.
【详解】（1）由已知
，
又
，
，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)略
(ii) 由已知
，
，
又
，
，
所以
考点03 概率及其基本性质、相互独立事件及其推广
1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B 相互独立，事件A 发生的概率为
，事件B 发生的概率
为
，则事件
发生的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】根据独立事件的概率公式可求
.
【详解】因为
相互独立，故
，
故选：B.
2．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面
三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件
：所选盒中有中国结，事件
：所选盒中有记事本，事件
：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件
与事件
互斥
B．事件
与事件
相互独立
C．事件
与事件
互斥
D．事件
与事件
相互独立
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【详解】选项A，事件
和事件
可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件
与事件
不互斥，A 错误；
选项B，
，
，
，
，B 正确；
选项C，事件
与事件
可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C 错误；
选项D，
，
，
，
，
与
不独立，故D 错误．
故选：B．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为
，且
．记该棋手连胜两盘的概率为p，
则（ ）
A．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
【答案】D
【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比
赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，
所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D 选项正确.
解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为
，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为
，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即
，
，
则该棋手在第二盘与丙比赛，
最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.
故选：D
4．（2026·上海·高考真题）事件
和事件
相互独立，“
和
至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.
【详解】根据已知
至少有一个发生，
则对立事件为
都不发生，所以
的对立事件为
.
5．（多选题）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，
收到1 的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概
率为
. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输 是
指每个信号重复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三
次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为
D．当
时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；
求出两种传输方案的概率并作差比较判断D 作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的事件是发送1 接收1、发送0 接收0、发送1
接收1 的3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
，A 正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1 的事件，
是发送1 接收1、发送1 接收0、发送1 接收1 的3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
，B 正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1 的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1 和1，1，1 的事件
和，
它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为
，C 错误；
对于D，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0 的概率
，
单次传输发送0，则译码为0 的概率
，而
，
因此
，即
，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
6．（2026·上海·高考真题）已知事件
，
互斥，
，
，则
__________．
【答案】
/
【详解】因为
互斥，所以
.
7．（2023·上海·高考真题）已知事件A 发生的概率为
，则它的对立事件
发生的概率
______________．
【答案】
/
【分析】根据对立事件的知识求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故答案为：
8．（2026·全国一卷·高考真题）设整数
．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮
次，当且仅当
投中1 次时或
次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为
，各次投中与否相互独
立．记
为停止练习时该同学的投篮次数．
(1)当
，
时，求
的分布列；
(2)设
，
均为自然数．
（i）当
时，求
；
（ii）当
时，证明：
．
【答案】(1)
的分布列如下图所示：
1
2
3
4
(2)（i）
；
（ii）由题意及（2）（i）证明如下：
即
.
【分析】（1）求出
的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.
（2）（i）
等价于前
次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出
.
（ii）利用条件概率公式，结合（i）的结论与事件的包含关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意知，整数
，某同学进行投篮练习，至多投篮
次，当且仅当投中1 次时或
次
均未投中时，停止练习，
∴
的可能取值为1，2，3，4.
当
时，表示第一次就投进球，
，
当
时，表示第2 次投进球，第1 次没有投进，
，
当
时，表示第3 次投进球，前两次没有投进，
，
当
时，此事件等价于前次投篮均未投中，
，
作出
的分布列，如下图所示：
1
2
3
4
（2）（i）由题意及（1）得，整数
，某同学进行投篮练习，至多投篮
次，
当且仅当投中1 次时或
次均未投中时，停止练习，
当
时，
表示前
次均未投中，
∴
.
（ii）略.
9．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150 人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄
剪纸
摄影
画画
人数
8
45
10
55
6
50
(1)现采用分层抽样抽取30 人，其中抽到年龄在
岁的有多少人？
(2)该兴趣班150 人的平均年龄是多少？
(3)现从150 人中任意抽选1 人，记抽到的学员年龄在
为事件
，记抽到学员爱好摄影为事件
.事
件
与
是否独立？请说明理由.
【答案】(1)9；
(2)
；
(3)不相互独立，理由见解析.
【分析】（1）由题意，计算
年龄段占总体比例，据此可得答案.
（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；
（3）验证
，是否等于
可得答案.
【详解】（1）
年龄段占总体比例为：
，则抽取人数为：
；
（2）由题可得
人的平均年龄为：
；
（3）由题可得
，
，
，
注意到
，则事件A 与事件B 不相互独立.
10．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年
级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100 名学
生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答
题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1 名，设X 为这2 名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X 的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知
识点，甲校学生选择正确的概率为
，乙校学生选择正确的概率为
.设甲、乙两校高一年级学生掌
握该知识点的概率估计值分别为
，
，判断
与
的大小（结论不要求证明）.
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【分析】（1）用频率估计概率即可求解；
（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1 人做对的概率及
的分布列，从而可求
其期望；
（3）根据题设可得关于
的方程，求出其解后可得它们的大小关系.
【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
.
（2）设
为“从甲校抽取1 人做对”，则
，
，
设
为“从乙校抽取1 人做对”，则
，
，
设
为“恰有1 人做对”，故
依题可知，
可取
，
，
，
，
故
的分布列如下表：
故
.
（3）设
为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有
的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故
，即
，故
，
同理有，
，故
，
故
.
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规
则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若
至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投
中得0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率
为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出
，
，再作差因式分解即可判断；(ii)首先
得到
和
的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分，则甲第一阶段至少投中1 次，乙第二阶段也至少投中
1 次，
比赛成绩不少于5 分的概率
.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为
，则
，
，
则
，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大
小关系，最后得到结论.
12．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40 天的价格变
化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表
示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段
价格变化
第1 天到第20 天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21 天到第40 天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4 天，试估计该农产品价格在这4 天
中2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41 天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)不变
【分析】（1）计算表格中的
的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第
天的情况.
【详解】（1）根据表格数据可以看出，
天里，有
个
，也就是有
天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这
天里，有
天上涨，
天下跌，
天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是
，
，
，
于是未来任取
天，
天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第
天处于上涨状态，从前
次的
次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有
次，不变的
有次，下跌的有
次，
因此估计第
次不变的概率最大.
考点04 随机变量的分布列和数学期望
1．（2026·全国一卷·高考真题）设
为空间中64 个点构成的集合，
点
，记样本空间
，从
中随机取一个点，定义随机变量
如下：对
中的每个点
，令
，则
的数学期望值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】由题意可知
.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得
，
，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：
，且随机变量
的取值为
，
，
，
，
，
，0，
1，2，3，4，5，6.
解法一：依题意，可得
，
，
，
，
，
，
所以
；
解法二：根据对称性可知：
，
，
，
，
，
又
，
，
所以
；
解法三：因为
，
，
对于任意一点
，均存在
与之对应，可知这两点的坐标和为0，
因为
，样本空间
，
可知样本空间
中存在唯一点
与点
对应，
所以
中所有点的坐标和的总和为
，
故
.
2．（多选题）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举
推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩
收入的样本均值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入
服从正态分布
，假
设推动出口后的亩收入
服从正态分布
，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的
原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，
，所以
，
故
，C 正确，D 错误；
因为
，所以
，
因为
，所以
，
而
，B 正确，A 错误，
故选：BC．
3．（2026·上海·高考真题）已知随机变量
的分布为
，且
，则
__________．
【答案】
/
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量
的分布为
，且
，
所以
，且
，
解得
.
4．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2 次，一次5 圈或6 圈.第一次跑5 圈或6 圈的概率均为
0．5，若第一次跑5 圈，则第二次跑5 圈的概率为0．4，6 圈的概率为0．6；若第一次跑6 圈，则第二次
跑5 圈的概率为0．6，6 圈的概率为0．4．小桐一周跑11 圈的概率为________；若一周至少跑11 圈为运
动量达标，则连续跑4 周，记合格周数为X，则期望
_______
【答案】
【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.
【详解】设小桐一周跑11 圈为事件A，设第一次跑5 圈为事件
，设第二次跑5 圈为事件
，
则
；
设运动量达标为事件
，
，
所以
，
；
故答案为：
；
5．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X 的分布为
，则期望
_________．
【答案】
【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有
.
故答案为：
.
6．（2025·全国一卷·高考真题）有5 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3
次，每次取1 个球.记X 为这5 个球中至少被取出1 次的球的个数，则X 的数学期望
_________.
【答案】
/
【分析】法一：根据题意得到
的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得
的分布列，
从而求得
；法二，根据题意假设随机变量
，利用对立事件与独立事件的概率公式求得
，进
而利用数学期望的性质求得
.
【详解】法一：依题意，
的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为
，
其中
：三次抽取同一球，选择球的编号有5 种方式，
故
，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5 种方式，选取出现一次的球有4 种方式，
其中选取出现一次球的位置有3 种可能，故事件
的可能情况有
种，
故
，
：三种不同球被取出，
由排列数可知事件
的可能情有况
种，
故
，
所以
.
故答案为：
.
法二：依题意，假设随机变量
，其中
：
其中
，则
，
由于球的对称性，易知所有
相等，
则由期望的线性性质，得
，
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为
，
由于抽取独立，三次均未取出球的概率为
，
因此球至少被取出一次的概率为：
，
故
，
所以
.
故答案为：
.
7．（2022·浙江·高考真题）现有7 张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7 张卡片中随机抽
取3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为
，则
__________，
_________．
【答案】
，
/
【分析】利用古典概型概率公式求
，由条件求
分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6 的7 张卡片中任取3 张共有
种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2 的取法有
种，所以
，
由已知可得
的取值有1，2，3，4，
，
，
，
所以
,
故答案为：
，
.
8．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1 分，负者得0 分．设每个球
甲胜的概率为
，乙胜的概率为q，
，且各球的胜负相互独立.对正整数
，记
为
打完k 个球后甲比乙至少多得2 分的概率，
为打完k 个球后乙比甲至少多得2 分的概率．
(1)求
（用p 表示）．
(2)若
，求p．
(3)证明：对任意正整数m，
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解；
（2）由题意
，联立
，
即可求解；
（3）首先
，
，同理有
，
，作差有
，另一方面
，且同理有
，作差
能得到
，由此即可得证.
【详解】（1）
为打完3 个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，
故所求为
，
为打完4 个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，
故所求为
；
（2）由（1）得
，
，同理
，
若
，
，
则
，
由于
，所以
，解得
；
（3）设打完
个球，甲的得分为
，乙的得分为
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
要证明
，
即证明①
，②
，
先证明①
，
，
同理可得
，
所以①
，
故成立；
证明②
：
，
同理可得
，
所以②
，
故成立；
综上，不等式
成立.
9．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保
单中随机抽取1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
假设：一份保单的保费为0.4 万元；前3 次索赔时，保险公司每次赔偿0.8 万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6 万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2 的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记
为一份保单的毛利润，估计
的数学期望
；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少
，有索赔的保单的保费增加
，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中
估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)(i)0.122 万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中
估计值
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2 的概率;
（2）（ⅰ）设
为赔付金额，则
可取
，用频率估计概率后可求
的分布列及数学期望，从
而可求
.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求
，从而即可比较大小得解.
【详解】（1）设
为“随机抽取一单，赔偿不少于2 次”，
由题设中的统计数据可得
.
（2）（ⅰ）设
为赔付金额，则
可取
，
由题设中的统计数据可得
，
，
，
，
故
故
（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为
，
故
（万元），
从而
.
10．（2023·上海·高考真题）21 世纪汽车博览会在上海2023 年6 月7 日在上海举行，下表为某汽车模型公
司共有25 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
米色内饰
8
12
棕色内饰
2
3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到的模型为红色外观，事件B 取到模型有棕色
内饰，求
，并据此判断事件A 和事件B 是否独立；
(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。
为了得到奖品类型，现作出如下假设：
假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和
内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。
假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600 元，二等奖300 元，三等奖150 元。
假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。
请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是
，写出
的分布，并求
的数学期望。
【答案】(1)
，事件
相互独立；
(2)分布列见解析，271 元.
【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出
，再利用相互独立事件的定义判断作答.
（2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3 确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答.
【详解】（1）由给定的数表知，
，
，
，
而
，因此事件
相互独立，
所以
，事件
相互独立.
（2）设事件
：外观和内饰均为同色，事件
：外观内饰都异色，事件
：仅外观或仅内饰同色，
依题意，
；
；
，则
，
因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；
外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，
奖金额
的可能值为：
，
奖金额
的分布列：
600
300
150
奖金额
的期望
（元）.
11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继
续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮
的命中率均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设
，由题意可得
，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件
，“第次投篮的人是乙”为事件
，
所以，
.
（2）设
，依题可知，
，则
，
即
，
构造等比数列
，
设
，解得
，则
，
又
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
．
（3）因为
，
，
所以当
时，
，
故
．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10
分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中
获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
【答案】(1)
；
(2)
的分布列为
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为
，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，
的可能取值为
，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为
，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，
的可能取值为
，所以，
,
，
，
.
即
的分布列为
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
期望
.
13．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含
）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙
以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85 的概率为
，甲获得9.80 的概率为
，
乙获得9.78 的概率为
.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
