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专题16 排列组合与二项式定理
考点分类
五年考情（2022-2026）
命题规律
考点01 排列组合
2026 全国二卷、2026 上海卷
2025 上海卷
2024 年新课标Ⅱ卷、2024 上海卷
2023 年新课标Ⅰ卷、2023 年新课
标Ⅱ卷、2023 年全国甲卷、2023
年全国乙卷、2023 上海卷
2022 年新高考全国Ⅱ卷、2022 上
海卷
考查有限制条件的排列，题目常通
过 相邻、不相邻、特殊元素优
先、位置限制等经典模型设置，侧
重逻辑推理和分类讨论思想的应
用。组合问题则多与实际场景结
合，如分配问题、选组问题，强调
对无序性本质的理解。
考点02 二项式定
理
2026 北京卷、2026 天津卷、2026
上海卷
2025 北京卷、2025 天津卷、2025
上海卷
2024 年全国甲卷、2024 北京卷、
2024 天津卷、2024 上海卷
2023 北京卷、2023 天津卷、2023
上海卷
2022 年新高考全国Ⅰ卷、2022 北
京卷、2022 天津卷、2022 上海
卷、2022 浙江卷
考查二项式定理特定项与系数计
算，核心是利用通项公式求解，需
注意符号、系数与二项式系数的区
别。还有系数和问题，利用赋值法
求各项系数和、奇数项、偶数项系
数和。
考点01 排列组合
1．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8 位员工分为A、B 两个技术公关组，要求每组4 人，
其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（ ）
A．10 种
B．12 种
C．16 种
D．24 种
【答案】C
【分析】对甲、乙两人都在A 小组和B 小组进行分类，结合计数原理求解即可.
【详解】情况1：甲、乙两人都在A 小组，
安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A 组，另一个在 B 组.
若丙在A 组，丁在B 组：此时A 组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1 人；
B 组已有{丁}，还差3 人，
则从剩余4 人中选1 人进A 组，方案数为
.
若丁在A 组，丙在 B 组：同理，方案数为
.
所以当甲、乙在A 组时，方案数为
种.
情况2：甲、乙两人都在 B 小组，
甲、乙在B 组的情况与在A 组的情况完全一致，
安排丙、丁：同样是丙在A 组或丁在A 组两种情况，方案数各为
，
所以当甲、乙在B 组时，方案数为
种.
故所有分配方案共有
种.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，
每天从这5 人中安排2 人参加公益活动，则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120
B．60
C．30
D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为
，
假设
连续参加了两天公益活动，再从剩余的4 人抽取2 人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理：
连续参加了两天公益活动，也各有
种方法，
所以恰有1 人连续参加了两天公益活动的选择种数有
种.
故选：B.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物
中恰有1 种相同的选法共有（ ）
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
【答案】C
【分析】相同读物有6 种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有
种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5 种读物里，选出两种进行排列，共有
种，
根据分步乘法公式则共有
种，
故选：C.
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方
法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200
名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取
人，高中部共抽取
，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有
种.
故选：D.
5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站
在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有
种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2 种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2 种排列方式，故安排这5 名同学共有：
种不同的排列方式，
故选：B
6．（2026·上海·高考真题）在5 个人中选3 个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.
【答案】6
【分析】结合组合知识求解即可.
【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4 人中任选2 人即可，
则一共有
种选法.
故答案为：6.
7．（2025·上海·高考真题）4 个家长和2 个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均
是家长，则不同的排列个数有_________种．
【答案】288
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有
种排法；再排对中的四人有
种排法，
故有
种排法.
故答案为：288
8．（2024·上海·高考真题）设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为
偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．
【答案】329
【分析】确定奇数最多1 个，再分个位数为0 和不为0，结合排列、组合求解即可.
【详解】由题意可知，集合
中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2 个以上奇数，则不
满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数.
先研究集合中无重复数字的三位偶数；
（1）若个位为0，这样的偶数有
个；
（2）若个位不为0，这样的偶数有
个；
所以集合元素个数最大值为
个．
故答案为：329
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4 的方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格
被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是
________．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1 个方格可选；利用列举法写出所有的可能结
果，即可求解.
【详解】由题意知，选4 个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4 个方格可选，第二列有3 个方格可选，
第三列有2 个方格可选，第四列有1 个方格可选，
所以共有
种选法；
每种选法可标记为
，
分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，
的4 个数之和最大，为
.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1 个方格可选，利用
列举法写出所有的可能结果.
10．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足
，在空间内取不同两点
（不计顺序），使得这两点与A、B、C 可以组成正四棱锥，求方案数为______．
【答案】9
【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论
为正四棱锥的侧面
或对角面两种情况，再结合
三边的轮换对称性即可得解.
【详解】因为空间中有三个点
，且
，
不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑
三边的轮换对称性，可先
分为两种大情况，即以下两种：
第一种：
为正四棱锥的侧面，如图1，
此时
分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;
不妨以
为例，此时符合要求的另两个点如图1 所示，显然有两种情况，
考虑到
三边的轮换对称性，故而总情况有6 种；
第二种：
为正四棱锥的对角面，如图2，
此时
分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;
不好以
为例，此时符合要求的另两个点图2 所示，显然只有一种情况，
考虑到
三边的轮换对称性，故而总情况有3 种；
综上所述：总共有9 种情况.
故答案为：9.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到
为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三
角形的情况，结合
三边的轮换对称性即可得解.
11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门
课中选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有________种（用数字作
答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2 门或3 门课，对选修3 门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8 门课中选修2 门，则不同的选课方案共有
种；
（2）当从8 门课中选修3 门，
①若体育类选修课1 门，则不同的选课方案共有
种；
②若体育类选修课2 门，则不同的选课方案共有
种；
综上所述：不同的选课方案共有
种.
故答案为：64.
12．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4 四个数字组成无重复数字，则比2134 大的四位数的个数
为________
【答案】17
【分析】先分类再分步，按千位为3,4,2 分为三类，再逐次安排百位和十位，即可计算出满足条件的四位
数个数.
【详解】千位为和
时，组成的四位数都比2134 大，有
个，
千位为2 时，百位为3 或4 的四位数都比2134 大，有
个，
千位为2 时，百位为1，只有2143 比2134 大，有1 个，
则组成的四位数比2134 大的一共有17 个.
故答案为：17.
考点02 二项式定理
1．（2026·北京·高考真题）已知
的展开式中的
的系数是280，则
（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
【答案】A
【详解】二项式
的展开式的通项为
，其中
.
令
，解得
，则
项的系数为
.
∵
，
，且已知
的系数为
，
∴
，即
，解得
.
2．（2024·北京·高考真题）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令
，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】
的二项展开式为
，
令
，解得
，
故所求即为
.
故选：A.
3．（2023·北京·高考真题）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】对于
，由二项展开式的通项得
，
令
解得
，
则所求系数为
，
故选：D
4．（2022·北京·高考真题）若
，则
（ ）
A．40
B．41
C．
D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求
的值.
【详解】令
，则
，
令
，则
，
故
，
故选：B.
5．（2026·上海·高考真题）已知
，则展开式中
的系数为__________．
【答案】
【分析】写出二项式的通项，令
的次数为
，即可求出展开式中
的系数.
【详解】由题意，
在
中，通项
，
当
即
时，
，
∴展开式中
的系数为
.
6．（2026·天津·高考真题）
展开式中
的系数为__________．
【答案】
【分析】根据二项式定理得到
展开式的通项公式即可求解.
【详解】根据二项式定理，
展开式的通项公式为
，
当
时，
，因此
的系数为
.
7．（2026·上海·高考真题）
的二项展开式中，
的系数为____________.
【答案】
【分析】写出二项展开式的通项公式
，令
，解出
，代入即可得到答案.
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，
令
，解得
，
所以
的系数为
.
故答案为：
.
8．（2025·北京·高考真题）已知
，则
________；
________．
【答案】
【分析】利用赋值法可求
，利用换元法结合赋值法可求
的值.
【详解】令
，则
，
又
，
故
，
令
，则
，
令
，则
，故
故答案为：
.
9．（2025·天津·高考真题）在
的展开式中，
项的系数为________．
【答案】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】
展开式的通项公式为
，
当
时，
，
即
展开式中
的系数为
.
故答案为：
10．（2025·上海·高考真题）在二项式
的展开式中，
的系数为_________．
【答案】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式
，
令
，得
，
可得
项的系数为
.
故答案为：
.
11．（2025·上海·高考真题）已知
的展开式中常数项为20，则实数m 的值为______．
【答案】1
【分析】根据二项式展开式的通项特征可得
，进而可求解.
【详解】展开式的通项为
，令
解得
，∴
．
∴
．
故答案为：1
12．（2024·上海·高考真题）在
的二项展开式中，若各项系数和为32，则
项的系数为_________．
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出幂指数
，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式
的展开式各项系数和为32，得
，解得
，
所以
的展开式
项的系数为
.
故答案为：10
13．（2024·上海·高考真题）
展开式中
的系数为______.
【答案】15
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.
【详解】
展开式中令
的项为
，
所以
展开式中
的系数为15.
故答案为：15
14．（2024·全国甲卷·高考真题）
的展开式中，各项系数中的最大值为______．
【答案】5
【分析】先设展开式中第
项系数最大，则根据通项公式有
，进而求出即可
求解.
【详解】由题展开式通项公式为
，
且
，
设展开式中第
项系数最大，则
，
，即
，又
，故
，
所以展开式中系数最大的项是第9 项，且该项系数为
.
故答案为：5.
15．（2024·天津·高考真题）在
的展开式中，常数项为______．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为
的展开式的通项为
，
令
，可得
，
所以常数项为
.
故答案为：20.
16．（2023·上海·高考真题）已知
，其中
，若存在
，使得
成立，则
的最大值是_____________．
【答案】49
【分析】根据二项式展开式的通项特征可得
，即可根据
为奇数求解.
【详解】由题设，左边的通项公式为
，
；
所以，由题设得
，
因为
，要使得
成立，则
为奇数，
即
为奇数，且
恒成立，
则等价为
，又
是正奇数，故
的最大值为49，
故答案为：49
17．（2023·天津·高考真题）在
的展开式中，
的系数为_________．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式
，令
确定
的
值，然后计算
项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式
，
令
可得，
，
则
项的系数为
.
故答案为：60.
18．（2023·上海·高考真题）设
，则
________________．
【答案】17
【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和
的系数即可.
【详解】二项式
展开式的通项为
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
所以
，
故答案为：17
19．（2022·天津·高考真题）在
的展开式中，常数项是______.
【答案】15
【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解.
【详解】由题意
的展开式的通项为
，
令
即
，则
，所以
的展开式中的常数项为
.
故答案为：
.
20．（2022·上海·高考真题）二项式
的展开式中，
项的系数是常数项的5 倍，则
___________；
【答案】10
【分析】先写出二项展开式的通项公式，令
得
的系数，令
得常数项，再由已知列出等式，解
出
即可.
【详解】由题知
，当
时，
的系数为
；当
时，常数项为
；
又
的系数是常数项的5 倍，所以
，解得
.
故答案为：10
21．（2022·浙江·高考真题）已知多项式
，则
__________，
___________．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令
求出
，再令
即可得出答
案．
【详解】含
的项为：
，故
；
令
，即
，
令
，即
，
∴
，
故答案为：；
．
22．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）
的展开式中
的系数为________________（用数
字作答）．
【答案】-28
【分析】
可化为
，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为
，
所以
的展开式中含
的项为
，
的展开式中
的系数为-28
故答案为：-28
23．（2022·上海·高考真题）在
的展开式中，含
项的系数为________
【答案】
【分析】写出展开式的通项，令
的指数为
，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】
展开式的通项为
，
令
，可得
，因此，展开式中含
项的系数为
.
故答案为：
.
