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排列与组合
考点1
专题09 排列组合、二项式定理、基本不等式
3 大考点概览
题型01 排列与组合
题型02 二项式定理
题型03 基本不等式
一、单选题
1．（2026·广东茂名·二模）某学校从周一至周五中选择
天开展社会实践活动，周一和周二不能同
时被选中，则不同的选择方案有（ ）
A．
种
B．种
C．种
D．
种
2．（2026·辽宁抚顺·二模）现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既
不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有（ ）
A．60 种
B．72 种
C．96 种
D．120 种
3．（2026·河北沧州·二模）某游客计划3 天内游览完A，B，C，D，E 这5 个景点，每天至多游览
2 个景点，且A，B 两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（ ）
A．36
B．72
C．90
D．144
4．（2026·重庆·二模）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一
棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ）
A．8 种
B．
种
C．
种
D．
种
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所
示的图形的6 个顶点A，B，C，
，
，
上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不
同，则不同的安装方法共有（ ）
A．3 种
B．6 种
C．12 种
D．48 种
6．（2026·山西·二模）若6 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织
高一年级一班至六班前往731 部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观．现要求每个
场馆分配3 个班级，同时派2 名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有（ ）
种不同的安排方法？
A．20
B．40
C．80
D．120
8．（2026·山东济南·二模）如图，
三边
的中点分别为
，将
六
个数字全部标注在
六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比
其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ）
A．36 种
B．48 种
C．60 种
D．72 种
9．（2026·浙江·二模）从数字0，1，2，3，4 中任取3 个构成的无重复数字的3 位数，其中能被3
整除的偶数共有（ ）
A．13 个
B．15 个
C．16 个
D．18 个
10．（2026·江西南昌·二模）某校高三年级准备在接下来的14 周内，安排三次心理健康讲座，分别
记为第
周、第
周、第
周．为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二
次讲座之间至少间隔2 周
；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2 周
；
③在第一次讲座之前至少预留1 周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1 周总结时间，则符合要
求的不同安排方案有（ ）
A．120 种
B．84 种
C．70 种
D．56 种
11．（2026·山西临汾·二模）将5 名实习生分配到A，B，C 三个班开展实习工作.要求每个班都要有
实习生，当实习生甲不去A 班时，B 班恰有3 名实习生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依
次摆放个、
个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的
个花盆为“相邻花盆”，现有
多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花
盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
二、多选题
13．（2026·湖北襄阳·二模）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
的值为或
．
B．从6 名男生和2 名女生中选出3 名，其中至少有1 名女生的选法共有
种.
C．
的展开式中
的系数为
．
D．从5 本不同的书中选出3 本分配给3 位同学，每人一本，则分配方案总数为60．
14．（23-24 高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道
路网，其中
是道路网中的5 个指定交汇处，今在道路网M，N 处的甲、乙两人分别
要到N，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，
M 处为止，则下列说法正确的是（ ）
A．甲从M 到达N 处的方法有15 种
B．甲从M 必须经过
到达N 处的方法有6 种
C．甲、乙两人在
处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中5 个指定交汇处相遇的概率为
二项式定理
考点2
三、填空题
15．（2026·河南·二模）平面内有两组相交平行线，一组有10 条，一组有5 条，且每组中相邻两平
行直线间距离均为1，则从这两组直线构成的平行四边形中任取一个，取到的平行四边形恰为菱形
的概率为_________．
16．（2026·贵州黔西南·二模）某非遗工坊有剪纸、木雕、陶艺、刺绣、编织五项技艺展示，需安
排阿珍、阿明、阿华、阿杰、阿丽五位传承人各负责一项.若阿明不负责陶艺且阿丽只能负责剪纸
或刺绣，则不同的安排方法有__________种.
17．（2026·广西桂林·二模）一个不透明的盒子里装有2 个红球、3 个白球、4 个黑球，这些球除颜
色外完全相同.每次从中随机摸出1 个球，记录颜色后不放回，连续摸3 次.设事件A 为“三次摸球
中，恰好有两次颜色相同”，则
______.
18．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电
芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5 名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至
少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两
人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答）
19．（2026·广东茂名·二模）已知1～10 这10 个正整数的随机排列为
，
，…，
．记
，
，2，…，9，事件
为“
，
，…，
满
足
”，则事件
的概率为______，事件
的概率为______．
20．（2026·河南信阳·二模）已知
，其中i 为虚数单位，从
组合数
中取出一个数记作
，从展开式中项的系数
中取出一个数记作
，若
，则
的概率为______________.
一、单选题
1．（2026·北京石景山·二模）若
，则n 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2026·河北邯郸·二模）已知
，则
被10 除的余数为
（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9
3．（2026·江西赣州·二模）已知
，若
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·贵州贵阳·二模）在
的展开式中，
项的系数与常数项之比为4，则实数a 的
值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
5．（2026·福建南平·二模）已知二项式
的展开式中所有项的系数和为32，若
，
且
，则
（ ）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
6．（2026·河北邢台·二模）已知
的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开
式中的常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·青海西宁·二模）用1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数
，其中满足
的五位数有
个，则在
的展开式中，
的系
数为（ ）
A．15
B．20
C．35
D．45
8．（2026·湖北武汉·二模）在
的展开式中，含
项的系数为（ ）
A．240
B．
C．80
D．
二、多选题
9．（2026·四川德阳·二模）设函数
，且记
，则
（ ）
A．数列
的首项为1
B．数列
的前10 项和为512
C．数列
的前10 项和为
D．数列
的前10 项和为0
10．（2026·浙江台州·二模）设
，
为常数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·山东济宁·二模）
的展开式中，第项与第
项的二项式系数相等，则（ ）
A．展开式共项
B．展开式中常数项为
C．展开式中所有项的二项式系数之和为
D．展开式中所有项的系数之和为
12．（2026·山西临汾·二模）若
，则下列结论正确
的是（ ）
A．展开式中第1014 项的二项式系数最大B．
C．
D．
被16 除的余数是15
三、填空题
13．（2026·云南保山·二模）已知
的展开式中，
项的系数为-10，则
基本不等式
考点3
________.
14．（2026·北京海淀·二模）在
的展开式中，各项系数的最大值为___________．
15．（2026·陕西榆林·模拟预测）
的展开式中
的系数为________．
16．（2026·天津红桥·二模）已知二项式
的展开式中的常数项为
，则实数
______．
17．（2026·河南·二模）
的展开式中
的系数为________．
18．（2026·山东青岛·二模）若
展开式的二项式系数之和为
，则展开式的常数项为
___________.（用数字作答）
19．（2026·河北保定·二模）已知
的展开式中仅有第6 项的二项式系数最大，则其展开
式中x² 的系数为________.(用数字作答)
一、单选题
1．（2026·河北沧州·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·浙江·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．5
D．9
3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数
，
满足
.若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东江门·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
5．（2026·江苏·二模）已知
，则
关于
的展开式中各项系数之和的最小值为
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
6．（2026·河北衡水·二模）已知平面向量
，
，
，若
，
在上的投影
向量相等，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
7．（2026·天津南开·二模）已知
时，
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知半径为2 的圆O，如图所示，AB 为圆的一条直径，C 为线段
AB 上异于端点A、B 的任意一点，过C 作与线段AB 垂直的弦交圆于D、E 两点，连接AD 和BD，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技
产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价
，第二次提价
；方案乙：第一次提价
，第二次提价
；
方案丙：第一次和第二次均提价
；
方案丁：第一次提价
，第二次降价
；
其中
，则四个方案中提价最多的方案为（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
10．（2026·山西运城·二模）设正数
，
分别是复数
的实部、虚部，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
二、多选题
11．（2026·河北沧州·二模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·福建漳州·二模）已知正数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为27
C．
的最大值为6
D．若
，则
的最小值为6
三、填空题
13．（2026·上海杨浦·二模）设正实数
满足
，则
的最小值为______.
14．（2026·天津·二模）在平行四边形
中，
，
，点
在线段
上．若
，则
___________；
的最小值为___________．
15．（2026·广西南宁·二模）设
，
，若不等式
恒成立，则实数
的最大值为______．
16．（2026·内蒙古包头·二模）在
中，内角
的对边分别为
，若
成等差
数列，则
的最小值为__________.
17．（2026·山东济宁·二模）
是
的重心，过点
且不过
顶点的直线分别交边
，
于点
，
，记
和
的面积分别为
，
，则
的最小值是________.
18．（2026·辽宁抚顺·二模）已知平面内有5 个互不相等的单位向量
，
，
，
，
.若这5
个向量中恰有1 对向量互相平行，恰有3 对向量互相垂直，则
的最大值为____________.
