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创新考法9 创新结论开放题（小题狂练）
一．填空题.
随机变量
【2024 北京西城期末】
1．设随机变量
的分布列如下，其中
，
，
成等差数列，且
．
0
1
2
P
则
；符合条件的
的一个值为 ．
分段函数
【2024 北京通州期末】
2．已知命题
： 函数
为
上的增函数．能说明
为假命题的一组
，
的值为
，
．
指数函数的图象
【2024 新疆模拟预测】
3．若函数
同时满足以下3 个条件：①
的定义域为
，值域为
；②对于任
意实数
，都有
；③对于定义域内任意两个不相等的实数
，
总有
，则
的解析式可以为 ．（答案不唯一，只
给出满足条件的一个函数即可）
二项式定理
【2024 河南三模】
4．若
的展开式中存在常数项，则
的值可以是 （写出一个值即
可）
函数的极值
【2025 年河北承德开学考试】
5．写出函数
的一个极值点 .
集合的运算
【2025 黑龙江阶段练习】
6．已知集合
，
，且
的非空子集
的个数为3，则整数b 的一个可能取值为 ．
函数的零点
【2025 北京丰台阶段练习】
7．设函数
①给出一个
的值，使得
的图像向右平移
后得到的函数
的图像关于原点对称，
；
②若
在区间
上有且仅有两个零点，则
的取值范围是 ．
正弦定理
【2024 广东佛山期中】
8．记
的内角
的对边分别为
，若
，试写出一个
值，使该
三角形有两解，则满足题意的
的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值）
基本不等式
【2025 山东临沂期中】
9．已知
，若
恒成立，写出符合条件的正整数
.（写出一个即
可）
复数的运算
【2024 浙江杭州一模】
10．已知复数
的实部和虚部都不为0，满足①
；②
.则
，
.（写出满足条件的一组
和
）
双曲线的几何性质
【2025 辽宁期末】
11．反比例函数
的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ．
平面向量基本定理
【2025 北京东城期末】
12．已知
均为空间向量，其中
，
，
，若从
这4 个向量中任取3 个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量
的坐标可以为
．
函数的单调性与导数
【2024 山东模拟预测】
13．使得不等式
和
均成立的一组
，
的值分别为 .
圆的内接三角形
【2024 北京西城三模】
14．若直线
与
交于
，
两点，则
面积的最大值为
，写出满足“
面积最大”的
的一个值 .
曲线的切线
【2025 广东广州开学考试】
15．若直线l 既和曲线
相切，又和曲线
相切，则称l 为曲线
和
的公切线．已知曲
线
和曲线
，请写出曲线
和
的一条公切线方程： ．
直线和椭圆的位置关系
【2024 山东潍坊测试】
16．直线与圆
和椭圆
同时相切，请写出一条符合条
件的的方程
数列新定义
【2024 江苏镇江三模】
17．若对项数为
的数列
中的任意一项
，
也是该数列中的一项，则称这样的数列
为“
可倒数数列”.已知正项等比数列
是“
可倒数数列”，其公比为
，所有
项和为
，写出一个符合题意的
的值 .
基本不等式
【2024 河北邢台期末】
18．若正数a，b，c 满足
，则
的最小值为 ，此时，
的一组值可以为 ．
导数的几何意义
【2024 湖南岳阳一中检测】
19．已知函数
，写出一个同时满足下列两个条件的
： .①
在
上单调递减；②曲线
存在斜率为
的切线.
直线和圆的位置关系
20．已知直线
与圆
交于
两点，则
面
积最大时
的一个值为 ．
数列的性质
【2025 云南昆明期中】
21．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以
，反
复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
，这就是数学史上
著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），如取正整数
，根据上述运算法则得出
，共需经过个步骤变成（简称为步“刨程”）.
设第一个正整数为
，按“冰雹猜想”的运算方法，第
步得到的数记为
，若
，
则
可以是 .（只需满足条件的一个值即可）
圆的方程
【2025 山西阶段练习】
22．对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定
理的不同的证法，如后汉时期的赵爽三国时期的刘徽清代的梅文鼎华蘅芳等
､
､
､
.如图是华
蘅芳证明勾股定理时构造的图形，其中
为直角三角形，分别以
为边长作
3 个正方形，通过出入相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以
证明勾股定理.若
，以
中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点只有
2 个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为 .
函数的性质
23．定义在
上的非常数函数
满足①
；②
为
奇函数．请写出符合上述条件的一个函数解析式：
．
圆锥曲线
【2024 山东潍坊一中模拟】
24．如图，平面
与圆柱相交，而且平面
与圆柱的轴不垂直，点
为平面
与圆柱表面
交线上的任意一点，则点
的轨迹
为 .在圆柱内部放置两个半径与圆柱底面半
径相同的球，平面
分别与两球切于
两点，过点
作圆柱的母线，分别与两球切于
两点，记线段
长度为
，线段
长度为
，且
.在平面
内
的任意两条互
相垂直的切线的交点为
，建立适当的坐标系，则动点
的轨迹方程为 .
组合体的结构特征
25．已知①棱长为16 的正方体；②底面边长为24，高为
的正三棱锥；③上底面边长
为20，下底面边长为24，高为6 的正四棱台；④底面半径为20，高为
的圆锥；⑤上底
面半径为20，下底面半径为24，高为
的圆台；⑥半径为
的球．从上面的六个几何体
中选取两个几何体，使得两个几何体的体积之差小于600，则这两个几何体的序号为 ．
1.试题特点分析：开放探索型试题(简称开放题)多以填空题或问答题形式呈现，
具有答案不一定(不唯一)的特点，考查学生能综合运用已知知识，分析问题并
最终解决问题、开放性试题.开放探索型试题往往分条件开放性题目、策略开放
性题目、结论开放性题目几种类型.
2.解题方法阐述：解决开放性问题的一般思路：由已知的结论反思题目应具备
怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，
是一种分析型思维方式，它要求解题者善于从问题的结论出发，逆行追索，由
果寻因.
3.解题经验分享：（1）注重独立思考，促进开放性题型的解答；（2）注重求
异思维的培样；（3）注重思维灵活性的培养；（4）注意利用数学图形进行问
题的解答.
