文档文本内容
专题12 直线与圆
考点分类
五年考情（2022-2026）
命题规律
考点01 直线的方
程
2026 上海卷
2025 上海卷
2024 北京卷、2024 上海卷
2022 年新高考全国Ⅱ卷、2022 上
海卷
直线方程的相关考点考查较少但基
础不减，其与圆的综合应用，如直
线与圆的位置关系中涉及的距离问
题是隐含的考查点，体现了对基础
概念的间接重视。
考点02 圆的方程
2026 全国一卷、2026 全国二卷、
2026 北京卷
2025 年全国一卷、2025 天津卷
2024 年全国甲卷、2024 北京卷、
2024 上海卷
2023 年新课标Ⅰ卷、2023 年新课
标Ⅱ卷、2023 年全国甲卷、2023
年全国乙卷、2023 北京卷、2023
天津卷、2023 上海卷
2022 年新高考全国Ⅰ卷、2022 年
新高考全国Ⅱ卷、2022 年全国甲
卷、
2022 年全国乙卷、2022 北京卷、
2022 天津卷、2022 上海卷
考查求圆的方程、圆心半径确定、
直线与圆的位置关系、弦长、切
线、对称及最值问题，几乎涵盖圆
的全部核心知识点。其中，圆的弦
长问题和圆的最值问题出现频率较
高，体现了对直线与圆位置关系、
几何性质应用的重点考查，且在天
津、北京等地区的考题中尤为突出
考点01 直线的方程
1．（2025·上海·高考真题）已知
，C 在
上，则
的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值
B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值
D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为
，得出
，将三角形的高转化成关于
的函数,分析其单调性，从
而求解.
【详解】设曲线上一点为
，则
，则
，
，
方程为：
，即
，
根据点到直线的距离公式，
到
的距离为：
，
设
，
由于
，显然
关于
单调递减，
，无最小值，
即
中，
边上的高有最大值，无最小值，
又
一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
2．（2024·北京·高考真题）已知
是平面直角坐标系中的点集.
设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域
，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定
，则
，且
，
可知
，即
，
再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域
，
如图阴影部分所示，其中
，
可知任意两点间距离最大值
，
阴影部分面积
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻
桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是
举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等差数列，且直线
的斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
【答案】D
【分析】设
，则可得关于
的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设
，则
，
依题意，有
，且
，
所以
，故
，
故选：D
4．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点
到直线
的距离为____________.
【答案】
/0.6
【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】根据点到直线的距离公式可得
.
故答案为：
.
5．（2024·上海·高考真题）直线
的倾斜角______．
【答案】
（或
）
【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最
终角度.
【详解】因为
，
所以
所以直线的斜率
设直线的倾斜角为
（
），则
所以
（即
弧度）.
答案为：
（或
）.
6．（2022·上海·高考真题）已知方程组
有无穷解，则
的值为________
【答案】4
【分析】依题意可得直线
与直线
重合，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为方程组
有无穷解，所以直线
与直线
重合，所以
且
，解得
；
故答案为：
考点02 圆的方程
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅
有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点
，从而可得当
时，
的最小，结合勾股定
理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线
，即
，令
，
则
，所以直线过定点
，设
，
将圆
化为标准式为
，
所以圆心
，半径
，
当
时，
的最小，
此时
.
故选：C
3．（2024·北京·高考真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得
，即
，
则其圆心坐标为
，则圆心到直线
的距离为
.
故选：D.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为
成等差数列，所以
，
，代入直线方程
得
，即
，令
得
，
故直线恒过
，设
，圆化为标准方程得：
，
设圆心为
，画出直线与圆的图形，由图可知，当
时，
最小，
，此时
.
故选：C
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
【答案】C
【分析】法一：令
，利用判别式法即可；法二：通过整理得
，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设
，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令
，则
，
代入原式化简得
，
因为存在实数
，则
，即
，
化简得
，解得
，
故
的最大值是
，
法二：
，整理得
，
令
，
，其中
，
则
，
，所以
，则
，即
时，
取得最大值
，
法三：由
可得
，
设
，则圆心到直线
的距离
，
解得
故选：C.
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与
圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由
，则
，
解得
，
所以双曲线的渐近线为
，
当渐近线为
时，圆心
到该渐近线的距离
，不合题意；
当渐近线为
时，则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
.
故选：D
7．（2023·全国乙卷·高考真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域
内随机取一
点，记该点为A，则直线OA 的倾斜角不大于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域
表示以
圆心，外圆半径
，内圆半径
的圆环，
则直线
的倾斜角不大于
的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角
，
结合对称性可得所求概率
.
故选：C.
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
9．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集
的两个结论：
①存在直线l，使得集合
中不存在点在直线l 上，而存在点在l 的两侧；
②存在直线l，使得集合
中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限
的思想考虑.
【详解】对于①，取直线
,
则对于任意的
，有
，
故圆
均在直线
的下方，
而对任意的
，有
，
故圆
均在直线
的上方，
而当
时，
表示原点，它在直线
的下方，
故此时集合
中所有的点均不在直线
上，且存在点在直线
的两侧.
所以①成立.
对于②，设直线的方程为
，则圆心
到直线的距离为
当
时
所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.
故选：B
10．（2022·北京·高考真题）若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为
，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得
．
故选：A．
11．（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知
：
，
：
，则
（ ）
A．点
的坐标为
B．当
时，
与
轴相切
C．当
时，
与
相切
D．当
与
相交时，两个交点所在直线的方程为
【答案】BC
【分析】对于A，求出
的圆心坐标即可判断；
对于B，利用圆心
到
的距离即可判断；
对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；
对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解.
【详解】由
：
，化简可得
，
所以
，
的圆心
，半径
，故A 错误；
对于B，由
，得
的半径
，所以圆心
到
轴的距离
，即
与
轴相
切，故B 正确；
对于C，由
，得
的半径
，由于
的圆心为
，半径
，所以
，则
与
内切，故C 正确；
对于D，由
，化简得：
，
所以
与
两个交点所在直线的方程为
，故D 错误.
12．（多选题）（2026·全国一卷·高考真题）已知圆
，圆
，圆
，直线
与
，
，
均有两个交点．记被
，
，
截得的弦长分别
为
、
、
，则（ ）
A．
可以取任意实数
B．满足
的直线共有条
C．满足
的直线多于条
D．当
时，
的最大值为
【答案】BCD
【分析】已知三个圆均为半径
的等圆，圆心分别为
、
、
，利用弦长公式
（
为对应圆心到直线的距离，且
以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可.
【详解】记
到直线
的距离分别为
，则
，
，
.
∵ 直线与三个圆均有两个交点，
∴
，
，
，对应弦长为
.
A：∵ 解
，得
，
解
，得
，
不妨取
，
∵
，
∴
，记
，
解
，得
，记
，
当
，即
时，
，
此时不存在这样的直线与三个圆都相交.
∴
不能取任意实数，A 错误.
B：∵
，
∴
.
由
得
，平方得
，即
或
.
①当
时，直线为
，由
得
，解得
，
此时
，符合条件，对应直线条.
②当
时，直线为
，由
得
，解得
，
此时
，符合条件，对应直线
条.
综上，共条直线满足条件，B 正确.
C：令
，
∴
，
，
令
，则
，
∴
.
令
，即
，
平方整理可得
，解得
或
，即
或
，
经验证，此时
均小于，满足题目要求，此时已有
条直线，多于条，C 正确.
D：当
时，
，
，
∴
，
，
令
，则
，
∴
.
设
，求导得
，
令
得
，此时
取最大值
，
∴
的最大值为
，D 正确.
【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的
距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误.
13．（2026·北京·高考真题）已知直线
与圆
相切，则
________．
【答案】
【详解】圆
的圆心为
，半径
.
由直线
与圆相切，则得
，
解得
.
14．（2025·天津·高考真题）
，与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与
交于C、D 两点，
，则
_________．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出
，再计算出圆心到直线的距离
，根据弦长公式
列等式求解即可.
【详解】因为直线
与
轴交于
，与
轴交于
，所以
，
所以
，
圆
的半径为，圆心
到直线
的距离为
，
故
，解得
；
故答案为：2.
15．（2024·上海·高考真题）正方形草地
边长
到
距离为
到
距离为
，有
个圆形通道经过
，且经过
上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到
）
【答案】
【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.
【详解】如图，以
为原点建系，易知
，连接
，
不妨设
中点为
，直线
中垂线所在直线方程为
，
化简得
，所以圆心为
，半径为
，且经过
点
即
，化简得
，
解得
，
结合题意可得
，故圆的周长为
.
故答案为：
16．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为
，其面积为
，则
______.
【答案】
【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果.
【详解】由
得
，圆的半径为
，
由圆的面积为
得，
，解得
.
故答案为：
.
17．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【分析】先分析
的图像，再逐一分析各结论；对于①，取
，结合图像即可判断；对于②，分段
讨论
的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知
的范围；对于④，取
，结合图像
可知此时
存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，
，
当
时，
，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图像是，圆心为
，半径为
的圆在
轴上方的图像（即半
圆）；
当
时，
，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取
，则
的图像如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
当
时，
；
当
时，
显然取得最大值
；
当
时，
，
综上：
取得最大值
，故②正确；
对于③，易知当
时，在
，
且接近于
处，
的距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，
此时，
，
当
时，
且接近于
处，
的距离最小，
此时
；故③正确；
对于④，取
，则
的图像如下，
因为
，
结合图像可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，
同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径
，
此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
显然
在
上，满足
取得最小值，
即
也满足
存在最小值，故
的取值范围不仅仅是
，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得
的图像，特别是当
时，
的图
像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
18．（2023·天津·高考真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆
相切，且l 与抛物线
交于点
两点，若
，则
_________．
【答案】
【分析】根据圆
和曲线
均关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，即可
根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆
和曲线
均关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，
所以
，解得：
，由
解得：
或
，
所以
，解得：
．
当
时，同理可得．
故答案为：
．
19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出
满足“
面积为
”的m 的一个值______．
【答案】
（
中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长
，以及点
到直线
的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
20．（2023·上海·高考真题）已知圆C 的一般方程为
，则圆C 的半径为____________
【答案】
【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.
【详解】圆
即
，
所以圆的半径为.
故答案为：
21．（2022·天津·高考真题）若直线
被圆
截得的弦长为
，则
的
值为_____．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于
的等式，即可解得
的值.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为
，
圆心到直线
的距离为
，
由勾股定理可得
，因为
，解得
.
故答案为：
.
22．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点
关于
对称点
的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
故答案为：
23．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M 在直线
上，点
和
均在
上，则
的方
程为______________．
【答案】
【分析】设出点M 的坐标，利用
和
均在
上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M 在直线
上，
∴设点M 为
，又因为点
和
均在
上，
∴点M 到两点的距离相等且为半径R，
∴
，
，解得
，
∴
，
，
的方程为
.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线
的交点(1,-1).
,
的方程为
.
故答案为：
24．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】
或
或
或
．
【分析】方法一：设圆的方程为
，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为
，
（1）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（2）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（3）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（4）若过
，
，
，则
，解得
，所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过
三点，圆心在直线
，设圆心坐标为
，
则
，所以圆的方程为
；
（2）若圆过
三点， 设圆心坐标为
，则
，所以圆
的方程为
；
（3）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
，线段
的中垂线方程 为
，
联立得
，所以圆的方程为
；
（4）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
， 线段
中垂线方程为
，联立
得
，所以圆的方程为
．
故答案为：
或
或
或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
