剑桥STEP 统计 | PDF与CDF 1(2023 STEP2 Q12)

🧩 原题呈现

2023 STEP 2 Question 12

Each of the independent random variables  has the probability density function  for  (and zero otherwise). Let  be the random variable whose value is the maximum of the values of .

(i) Explain why  and hence, or otherwise, find the probability density function of .

Let  be the median of  and  be the mean of .

(ii) Find an expression for  in terms of . How does  change as  increases?

(iii) Show that

(a) Show that  increases with .

(b) Show that .

📚 分析与解答

(i) 解释  并求  的概率密度函数 (PDF)

已知 。要使得最大值  小于等于 ，当且仅当所有的  都小于等于 。 因此：

因为随机变量  是独立且同分布的，所以事件可以拆开并转化为连乘：

求  的概率密度函数：

首先求  的累积分布函数 (CDF)。对于 ：

因此， 的累积分布函数为：

对  关于  求导即可得到  的概率密度函数 ：

所以  的概率密度函数为：

(ii) 求中位数  的表达式，并说明其随  增加的变化

中位数  满足 。代入 (i) 中的 CDF：

两边开  次方：

因为 ，所以：

变化趋势：

随着  的增加， 增大。当  时，  趋近于.（直观上也很好理解，在更多样本中取最大值，该最大值的分布会更偏向右侧的大值区）。

(iii) 证明  的积分表达式

根据期望的定义：

利用分部积分法（Integration by parts）。令：

代入分部积分公式 ：

计算边界值：

当  时，

，此时第一部分为 。

当  时，第一部分为 。

所以：

即：

证明完毕。

(iii)(a) 证明  随  增加而增大

考虑积分内部的函数 。 在区间  上，，所以 。

因为底数 ，所以当指数  增加时， 严格单调递减。即对于所有 ：

因此，它们在  上的定积分也满足：

由于 

，减去的积分部分随  的增大而变小，因此  随  增加而严格增大。

(iii)(b) 证明 

首先计算 ：

代入 (ii) 中的公式：

接着计算 ：

代入 (iii) 的公式：

展开积分项：

对其进行积分：

因此：

比较  和 ：

我们需要证明 。

因为  在  上是严格单调递减的，这等价于证明：

我们利用半角公式求 。已知 

并且

因为 ，余弦值为负：

所以我们要证：

等式两边均为负数。我们可以同时取绝对值，并将不等号反向，即需证：

两边均为正数，平方不改变不等号方向：

两边继续平方：

显然成立。

通过上述等价推导，我们得出  成立。 由于反余弦函数的递减性质，这说明 。即： 成立。