每日一题第2884题(2026年全国高中数学联赛湖南预赛解答11)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联湖南预赛的解答题的第11题，难度较大。

题干倒是很简单，给出了两个椭圆，从方程可以看出两个椭圆是共焦点的，然后在大椭圆上一点作小椭圆的两条切线，要求∠F1PF2和∠MPN的余弦差的取值范围，那么就看两个角度的余弦怎么来表示。

首先看cos∠F1PF2，其实就是大椭圆的焦点三角形的顶角，而焦点三角形的三边都是可以由P点坐标表示出来的，其中PF1和PF2就是焦半径，所以直接用余弦定理，就可以把这个角度余弦表示为P点横坐标x0的式子。

然后再看cos∠MPN，没法直接算，但是过椭圆外一点作椭圆的两条切线，这是个常见模型，直接联立求解后，可以得到两切线斜率是一个关于k的二次方程的两根(前提是斜率存在)。有了k1+k2和k1k2之后，要表示这个角度，最直接的想法肯定还是到角(夹角)公式，有了正切，要表示余弦就简单了。所以先把余弦转化为正切，再把夹角公式代入进去，但是还需要判断这个角度是锐角还是钝角，才好把平方去掉，那么显然先考虑直角的特殊情况，也就是P点在蒙日圆上的时候，显然P点是在蒙日圆外的，所以肯定是锐角。

在整个余弦值化简过程中，肯定是要把所有的(y0)^2全部转化为x0的，全部表示为x0之后，要求的式子就是一个关于x0的函数了，然后求最值即可。最后再验证一下某条切线斜率不存在时也在这个范围即可。