初中数学:动点问题(二)

    动点问题：是指在图形中有一个或多个点按照某种规律运动，需要研究这些点在运动过程中产生的数量关系、位置变化或最值问题。

    处理动点问题的核心方法是在“动”中找“静”，虽然点在运动也存在某些不变量(如图中的线段长度、角度、面积等)，有时需要建立函数关系求解。

常见类型

1.单动点:一个点沿线段、射线或折线运动，求时间、路程或面积的函数关系。

2.双动点:两个点同时运动，可能速度不同，需要分析相遇、距离或构成特殊图形(如等腰三角形、直角三角形)等。

3.动点与最值:利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”或“路径最短”求最小值。

    动点与分类讨论:当动点使图形的形状改变时，需要分类讨论。例如：点在线段上或者延长线上，或者在三角形、四边形的不同边上。

解题基本步骤：

1.设未知数

2.找等量关系:根据几何定理(勾股、相似、面积公式等)列方程。

3.确定取值范围:根据点的运动路径确定t的有效范围。

4.分类讨论:若图形形状不唯一，需分类讨论，

5.检验排除不符合范围或实际意义的情况。

解:由题意得AP=1×t=t，所以PB=6-t(0≤t≤6)

BQ=2t(o≤t≤4)

∵ AB⊥BC，

∴S=1/2PB.BQ=1/2(6-t)(2t)=t(6-t)=-t²+6t

(o≤t≤4)

例2在△ABC 中，∠B=90°AB=6，BC=8。点P从A出发沿AB向B以每秒 1 个单位运动，同时点Q从B出发沿BC向C以每秒2个单位运动。设运动时间为t秒求:当t为何值时，△PBQ与△ABC相似?

指出：△PBQ与△ABC相似需要对两种情况讨论：

情况1，△PBQ∽△ABC；情况2.△PBQ∽△CBA。