高中数学必修一｜第13讲：幂函数

幂函数是研究“自变量的幂次变化”的基础模型。掌握它的定义域、单调性和图象，是比较大小、解不等式、处理参数问题的重要基础📚

一、什么是幂函数？

形如 y＝xᵃ 的函数叫幂函数，其中：

• x 是自变量；
• a 是常数，可以是实数；
• 系数必须是 1；
• 解析式只能有一项。

因此，2x²、x²＋x、2ˣ 都不是幂函数。判断时，先化成“自变量的常数次幂”，再检查系数、项数和定义域。

特别注意：当 a＝0 时，幂函数应写作 x⁰，但定义域是 x≠0，不能直接把它等同于整个定义域上的常数函数。

二、定义域、奇偶性与单调性

幂函数的定义域取决于指数，不能只看“幂函数”三个字。

• 正整数指数：定义域为全体实数；指数为奇数时是奇函数，为偶数时是偶函数。
• 负整数指数：定义域排除 0；奇数指数对应奇函数，偶数指数对应偶函数。
• 分数指数：必须结合分母的奇偶性和定义域判断。

判断奇偶性前，定义域必须关于原点对称。例如，平方根函数的定义域是非负数，不具备对称性，所以既不是奇函数，也不是偶函数。

在正数范围内：

• 指数大于 0，函数递增；
• 指数小于 0，函数递减。

三、五个常见幂函数

一次函数、平方函数、立方函数、平方根函数、倒数函数，是最常用的五类模型。

它们共同的重要特征是：都经过点 （1，1）。指数大于 0 时图象经过原点；指数小于 0 时，0 不在定义域内，图象不经过原点。

四、比较大小的关键

比较同底数的幂时：

• 底数大于 1，指数越大，结果越大；
• 底数在 0 和 1 之间，指数越大，结果越小。

比较同指数的幂时，要看该幂函数的单调性。指数为正时，底数越大，结果越大；指数为负时，底数越大，结果越小。

底数和指数都不同时，可尝试化同底、化同指数、构造幂函数或寻找中间值。

五、求解析式与解题提醒

已知幂函数经过一个横坐标为正的点，可先设为 y＝xᵃ，代入该点求出指数，再检查定义域、单调性和奇偶性。

解幂函数不等式时，顺序很重要：

先确定定义域，再判断单调性，最后转化不等式并检查端点。

⚠️ 易错提醒：

1. 不要把“含有幂”误认为幂函数。
2. 不要遗漏根式、负指数带来的定义域限制。
3. 分区间递减，不等于在整个不连续定义域上递减。
4. 参数求出后，必须逐一代回检验。

记忆主线：先认形式，再看定义域；结合单调性、奇偶性和图象解决问题。✨

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