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5道2026希望杯真题:第2题,请先别急着答
我建议你看第 2 题时，先在心里选一个答案，再往下读。
它不考高深技巧，只问 4 句话有几句是对的：互为相反数的绝对值相等；绝对值等于本身的数一定是正数；点在数轴上移动后对应什么数；两个数相加，和一定大于其中一个加数？每一条读起来都很熟悉——但熟悉不等于正确。
今天选的是 5 道出自 2026 年第 26 届希望杯全国数学邀请赛初一第 1 试 的题目。它们用初一知识就够，却常常被"我以为就是这样"绊住。第 2 题尤其适合当热身：不要急着看选项，也不要急着翻解析，先用 15 秒写下你的判断。
接下来，我会按由易到难讲清这 5 道题。真正要练的不是多认一种题型，而是养成"先找反例，再下结论"的习惯。
第 1 题・买文具（生活题，初一第 1 试）
小明带 a 元钱去超市买文具：
请问最后小明还剩多少钱？
先别看答案，自己列个式子。
解析
这种题最坑的地方是 "每次都在花 ' 剩下的 ' 钱"。一步一步算：
所以答案是 a/4（选 C）。
一句话点评：把 "剩下的" 当成新的 "单位 1"，小学六年级就能做，但很多大人会当成 "每次花总钱数的几分之几"，直接算错。
第 2 题・数列里藏着 5 的倍数吗？（反直觉题，初一第 1 试）
有一个数列：
1，3，4，7，11，18，29，47，76，…
规则很简单：从第三项起，每一项都等于前两项之和（1+3=4，3+4=7，4+7=11……）。
问：这个数列的前 100 项里，有多少项是 5 的倍数？
选项：A. 10 B. 7 C. 2 D. 0
直觉上，1 到 100 项里有这么多数，怎么也该有几个 5 的倍数吧？—— 还真一个都没有。
解析
这种 "能不能被 5 整除" 的问题，只需要看每一项除以 5 的余数。
写出前几项的余数（模 5）：
1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…
≡ 1，3，4，2，1，3，4，2，1，3，…
发现规律了：余数按 1，3，4，2 四个一循环（1+3=4，3+4=7≡2，4+2=6≡1，2+1=3…… 余数也满足 "前两项相加取模"）。
循环节是 1，3，4，2，里面从来没有 0。100 = 4 × 25，正好是整循环，所以前 100 项一个 5 的倍数都没有。
答案：D（0 个）。
一句话点评：不需要列 100 个数，看余数周期就够了。这就是 "同余" 思想的雏形 —— 高中数学竞赛的很多题，底层都是这一招。
第 3 题・摸球概率（概率题，初一）
一个箱子里有 20 个白球、8 个黑球。
第一步：先从箱子里取出若干个黑球（只取黑球）；
第二步：再随机从箱子里摸出 1 个球。
如果要求第二步摸出白球的概率大于 85%，那么第一步至少得取出多少个黑球？
解析
设第一步取出了 x 个黑球（x 是正整数）。此时箱子里剩 20 个白球、8−x 个黑球，共 28−x 个球。
摸出白球的概率 = 20 / (28−x)。
要求它大于 85%，即：
20 / (28−x) > 0.85
变形：20 > 0.85 × (28−x) = 23.8 − 0.85x，即 0.85x > 3.8，x > 4.47。
x 是整数，所以 x ≥ 5。
检验：取出 5 个黑球后，箱子里剩 23 个球（20 白 + 3 黑），白球概率 = 20/23 ≈ 87%，达标；只取 4 个的话，20/24 ≈ 83%，不达标。
答案：至少取出 5 个黑球。
**
一句话点评：列不等式解出来是 4.47 这种 "小数"，要记得往大取整 —— 很多同学栽在 "四舍五入" 上。
第 4 题・巧克力礼盒（整除计数题，IHC 冬令营七年级卷）
学校为运动会买了 200 块巧克力 当奖品，要全部装进两种礼盒：
要求两种礼盒至少各装 1 盒，问一共有多少种不同的包装方案？
解析
设小礼盒 x 盒、大礼盒 y 盒（x、y 都是正整数）。则：
8x + 12y = 200
两边除以 4：2x + 3y = 50，即 3y = 50 − 2x。
右边要被 3 整除：50 − 2x ≡ 0 (mod 3)。因为 50 ≡ 2 (mod 3)，所以 2x ≡ 2 (mod 3)，即 x ≡ 1 (mod 3)。
于是 x 可以取：1，4，7，10，13，16，19，22，一共 8 个，每个都对应唯一的 y。
答案：8 种方案。
一句话点评：二元一次方程 + 整除条件，数出 "模 3 余 1" 的 x 即可。这也是 "丢番图方程" 的最简单形态。
第 5 题・两条高线夹的角（几何题，初一第 1 试）
锐角三角形 ABC 中，∠A = 55°。从 B 向 AC 作高 BE，从 C 向 AB 作高 CD，两条高线交于点 F。
问：∠BFC 等于多少度？
选项：A. 110° B. 125° C. 135° D. 145°
**
解析
方法一（四边形的角度关系）：
看四边形 AEFD。E、D 分别是垂足，所以 ∠AEB = 90°、∠ADC = 90°，即 ∠AEF = 90°、∠ADF = 90°。
四边形 AEFD 的内角和是 360°，所以：
∠EFD = 360° − 55° − 90° − 90° = 125°
而 ∠BFC 和 ∠EFD 是对顶角，所以 ∠BFC = 125°。
方法二（记住结论）：两条高的交点叫垂心，垂心和顶角所成的角满足 ∠BFC = 180° − ∠A。代入即得 125°。
答案：B（125°）。
一句话点评：一个 "对顶角 + 四边形内角和" 就解决了，但不少人会答成 110°（误以为和∠A 有某种 2 倍关系）。
写在最后
好题不靠难度吃饭。这 5 道题来自一项办了 26 届的赛事，不超纲、不背公式，坑却全在"我以为就是这样"里。钱花掉了，还剩几分之几？球摸走了，概率怎么变？盒子装满了，有几种装法？熟悉，才是陷阱的伪装。
你第一反应选对了吗？ 尤其是第 2 题——不用算出第 100 项，只看"除以 5 的余数"就能知道答案。欢迎在评论区写下你当时为什么这样想，而不是只写对错。想让孩子也练一次"暂停第一反应"的，转发给他。
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