数分习题5

1.76 设  在  上连续, 且函数  是有界函数;  在  上连续可微, , 且广义积分  绝对收敛. 证明: 广义积分  收敛.

证明:

且 .

由于  绝对收敛, 故原积分收敛. 

1.77 设广义积分  绝对收敛,  绝对收敛, 证明: 广义积分  绝对收敛.

证明:

故绝对收敛. 

1.78 设广义积分  条件收敛,  收敛, 证明: 广义积分  条件收敛.

证明:

 收敛.

而

故不能绝对收敛, 即条件收敛. 

1.79 设  在  上连续, 积分  收敛. 证明: , 即存在点列 , , 使得 .

证明:

反证, 若 .

, , 使得 , .

由连续性, 不妨设 .

则 , 矛盾. 

1.80 设  在  上一致连续, 且无穷积分  收敛. 证明: .

证明:

反证, 若 .

, , 使得 .

给定 , 由一致连续性, , 使得 , 有 .

由连续性,  在该区间内不变号, 则

与反常积分的 Cauchy 准则矛盾.

注: 反常积分的 Cauchy 准则的否定形式为:

, , , 使得 . 

1.81 设  在  上递减趋于 , 证明: 积分  和  同敛散.

证明:

由 Dirichlet 判别法,  收敛.

由加法法则, 两积分同敛散. 

1.82 设  在  上连续, 积分  收敛. 设  为实数, , 证明: .

证明:

证明更一般的情形.

设  互不相同, .

证明:

不妨设 .

 在  上均由  递增到 .

故 ,  有  个根, 记为 .

其中  项的系数为 .

由 Vieta 定理,

,

因此 .

下面来看这个积分.

令 , .

取  即得原式. 

1.83 设  在  上的任意有界闭区间上是可积的, 且 . 再设严格递增趋于正无穷的数列  满足 , 其中  为常数, . 记 , . 证明: 级数  收敛的充分必要条件是广义积分  收敛.

证明:

 若  收敛.

则 .

由 , 级数收敛.

 若  收敛, 即  收敛.

, , 使得 .

因此 .

只需证明 .

由 , 对充分大的 , 有 , .

因此

故原广义积分收敛. 

1.84 设  在  上非负递减, 广义积分  收敛. 证明: .

证明:

有 .

取 , .

有 .

故 . 

1.85 设  在  上非负递减, 广义积分  收敛. 证明: .

证明:

由  非负递减, 对 , 有 .

因此 .

故 . 

1.86 设  在  上递减, 广义积分  收敛. 证明: .

证明:

case 1:  最终 .

当 , 有

其中 .

.

case 2:  最终 .

当 , 有 .

于是

其中 .

同理可得 .

综上, . 

1.87 设  在  上非负递减, 广义积分  收敛. 证明: .

证明:

由单调性,

故结论成立. 

1.88 设 , 若存在  上的单调递减的连续函数 , 使得  收敛, 且  成立. 证明: .

证明:

而

取 , 其中  固定.

前一项由  在有界闭区间上的一致连续性, 当  时趋于 .

而由  单调递减且 ,

由  收敛, 令 , 后一项趋于 . 

1.89 设  在  上连续可微, 且广义积分  和  均绝对收敛. 证明: .

证明:先证明一个引理

(Riemann 引理) 设 ,  以  为周期且在  上可积, 证明: .

证明:

不妨 , 不然用  替代.

只需证明 .

先对阶梯函数  证明. 有 .

设 .

其中积分有界.

则

首先

当 .

故  在  处有极限, 又因为  收敛, 所以 .

其次利用分部积分.

由 Riemann 引理, .

故原积分趋于 . 

1.90 设  是  上的有界连续函数, 记 , . 证明: .

证明:

首先注意 .

考虑

则

后项 . 

1.91 设  是  上的连续函数, . 记 , . 证明: .

证明:

一样的.

其中 . 

1.92 设  在  上连续, 广义积分  绝对收敛. 证明: .

证明:

类似的. 这里 kernel 是:

后两项 . 

1.93 设  在  上连续,  成立, 且广义积分  收敛. 证明: .

证明:

.

而 .

, .

令 .