ARTICLE · 1201727
高中物理速度矢量分析典型例题
某小组在研究抛体运动实验中，将小球抛出后对其进行频闪照相。如图所示，是截取的一部分照相底片。经数据分析，小球经过 P、Q 两位置时的速度可取为 、
，方向分别与 PQ 连线成 60° 和 30° 夹角。重力加速度大小为 g。不计空气阻力。则
A. 重力方向与 PQ 连线成 90° 夹角
B. 小球运动的最小速度为 v
C. 小球从 P 到 Q 的运动时间为
D. 小球从 P 到 Q 下落的高度为
图1还原原卷：频闪照相底片，PQ 画成水平，v_P 与 PQ 成 60°、v_Q 与 PQ 成 30°（图中带角度弧）。
图2两速度分居 PQ 两侧：v_P 与 PQ 成 60°、v_Q 与 PQ 成 30°，二者夹角 60° + 30° = 90°，
一眼可见的几何事实： 与 PQ 成 60°、 与 PQ 成 30°，二者分居 PQ 两侧，夹角为 60° + 30° = 90°——两速度互相垂直。
更关键的是抛体运动只受重力，水平分速度守恒，因此 与 的水平分量必须相等：
仅凭卷面图（PQ 水平）直接读角，会得到水平分量 v/2 与 3v/2 不相等的矛盾——说明卷面只是示意，不能按图直读。联立"与 PQ 成 60°、30°"与水平分量守恒，解得真实方向：
（斜向上）、
（斜向下），PQ 方向 −30°。
图3由水平分量守恒反推真实速度方向：v_P 与水平成 30°、v_Q 与水平成 60°，水平分量相等，均为 √3v/2。
1. 取水平为 x、竖直向上为 y，分解两速度：
（水平，守恒）； 
（向上）； 
（向下）
2. 竖直方向只受重力，速度变化率等于 g：
→ 
（C 对）
3. 竖直位移用平均竖直速度：
（D 对）
4. 最小速率出现在竖直分量为零处（轨迹最高点），只剩水平分量：
（B 错）
5. 重力竖直向下，PQ 方向 −30°，二者夹角 60° 而非 90° （A 错）。
结论：选 CD。
- ▪把卷面图当真实方向：直接按 PQ 水平读角度，会得到水平分量不等的矛盾结果。必须用"水平分量守恒"反推真实倾角。
- ▪最小速度误算成 v：最小速率是竖直分量为零时的水平分量 ，不是竖直初分量的一半。
- ▪忽略"平均速度方向 = 弦 PQ 方向"这一匀变速运动的重要性质。
- ▪平抛/斜抛运动的矢量分解： 恒定、 竖直向下且等于 gΔt
- ▪匀变速运动中平均速度方向即位移（弦）方向
- ▪由两速度与弦的夹角反推速度方向，属矢量几何运算
- ▪最小速率 = 水平分速度（轨迹最高点）
【原题】空间中存在一方向未知的匀强电场。一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的小球，从竖直平面内 a 点以速度 v₀ 沿水平方向抛出后，先、后经过同一竖直平面内的 b、c 两点，其中 a、c 两点在同一条竖直线上。小球运动至 b 点时的速度方向竖直向下，其大小为 v₀。已知重力加速度 g，不计空气阻力，下列说法正确的是
A. 小球从 a 点运动至 b 点的时间小于其从 b 点运动至 c 点的时间
B. 电场强度的最小值为
C. 小球运动至 c 点时的速度大小为
D. 小球从 a 点运动至 c 点的整个过程中，其动能的最小值为 
图4 按题干条件重绘：a 水平抛出 → b 速度竖直向下 → c 与 a 共竖直线。
b 点速度竖直向下，且大小恰为 v₀，说明水平分速度从 v₀ 匀减速到零、竖直分速度从零匀加速到 v₀。两方向速率变化量相等、时间相同，故：
，合加速度沿左下方 45°。
又由 a、c 共竖直线（x_c = 0）可推出 b 恰为水平运动的"折返点"，a→b 与 b→c 时间相等——这是本模型的对称性核心。
图5 速度矢量空间图：v_a、v_b、v_c 同画于原点，两段橙色 Δv 相等（均为左下45°），直接证明 t_ab = t_bc。
1. 由 b 点速度（竖直向下、大小 v₀）：
→ 
； 
→ 
故 ，合加速度沿左下 45°。
2. A 项：c 与 a 同竖直线，：
，即 a→b 与 b→c 时间相等，A 错。
3. C 项：
时：
；
； 速率 
C 错。
4. B 项：电场力 F_e 与重力合成。由 
：
（竖直方向 
）
对 k 取极小：，
→ 
，B 错。
5. D 项：动能 
，令导数为零得 
（a→b 中点）：
→ 
，D 对。
结论：选 D。
- ▪把"速度竖直向下"当成轨迹最低点：最低点应是竖直速度最大的 c 点附近；b 点只是水平速度为零的"折返点"。
- ▪忽略题干"b 点速度大小为 v₀"这一条件——正是它给出 |a_x| = |a_y|，缺了它合加速度方向定不下来。
- ▪"电场强度最小值"与"动能最小值"是两个独立极值：前者对加速度取向（含 √2），后者对时刻取（速度与 a 垂直）。
- ▪动能最小不在 b 点：b 点速率仍是 v₀，与 a 点相同；真正最小在 a→b 的中点。
- ▪匀强电场 + 重力 = 恒定合加速度，二维匀变速运动
- ▪运动分解：由特殊点速度方向反推加速度分量关系
- ▪利用位置共线条件求时间对称性
- ▪动能极值：速率最小时速度与合加速度垂直
【原题】将质量为 m 的小球（视为质点）从竖直平面内 a 点以速度 v₀ 沿水平方向抛出，小球在空中运动时受到在该竖直面内某一方向的恒定风力，忽略小球受到的除风力之外的其他空气阻力。抛出后先、后经过与 a 在同一竖直平面内的 b、c 两点，其中 a、c 两点在同一条竖直线上。小球运动至 b 点时的速度方向竖直向下，其大小为 v₀。已知重力加速度 g，下列说法正确的是（ ）
A. 小球从 a 点运动至 b 点的时间小于其从 b 点运动至 c 点的时间
B. 小球受到的恒定风力大小的最小值为
C. 小球运动至 c 点时的速度大小为
D. 小球从 a 点运动至 c 点的整个过程中，其动能的最小值为 
本题与海淀第9题完全同构：把"匀强电场对负电荷的电场力"换成"恒定风力"，其余条件、几何关系、选项设置一字不差。物理内核都是"恒定外力 + 重力 = 恒定合加速度"，因此图示与推导完全沿用题2：
见图4 a→b→c 情境图
见图5 速度矢量空间图
设风力 F = (F_x, F_y)，合加速度 a = (F_x/m, (F_y − mg)/m)。由 b 点速度条件同样得 |a_x| = |a_y| = k。
A 项：a→b 与 b→c 时间相等（同题2），A 错。
C 项：
（同题2），C 错。
B 项：
， 时最小：
，B 错。
D 项：
（同题2），D 对。
结论：选 D。
- ▪与海淀9完全相同的四个陷阱，特别是把 B 项"风力最小值 = mg"当正确——真实极小值含 √2。
- ▪命题规律：同一模型换情境包装（电场→风力）后再次命题，答案不变。识别同构题能秒杀。
- ▪恒力（风力）+ 重力的二维匀变速运动，与电场版完全同构
- ▪区分"力的最小值"与"动能最小值"两类极值问题
- ▪同构题识别：几何条件与选项结构一致时，结论可直接迁移
- ▪几何条件（a 水平抛出、b 点速度竖直向下且大小 v₀、a 与 c 共竖直线）与选项结构完全一致。
- ▪唯一差别是恒力的来源：海淀用"方向未知的匀强电场 + 负电荷"，人大用"某一方向的恒定风力"。
- ▪两题答案同为 D；B 项"最小恒力/场强 = mg（或 mg/q）"是共同陷阱——真实极小值含 √2 因子：
。
- ▪朝阳13 是纯重力抛体（无额外恒力），条件以"两点速度大小与方向"给出，突破口是水平分量守恒。
- ▪海淀/人大题的突破口是"b 点速度竖直向下且大小 v₀"推出的
对称性。 - ▪两者都依赖同一核心工具：速度矢量分解 + 恒定加速度下的分量关系。
- ▪运动分解（化曲为直）是三题共同的基础方法。
- ▪极值问题分清对象："动能最小"（速度与 a 垂直）与"恒力最小"（对加速度方向取极值）是两回事。
- ▪两个值得记忆的结论：抛体最小速率 = 水平分速度；匀变速运动平均速度方向 = 弦方向。
