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名校2026年数学分析高等代数考研试题+“retraction watch 撤稿论文2000篇清单” 来源参考
福州大学2026年数学分析试卷
一、（20分）
计算极限
二、（20分）
证明闭区间上的连续函数存在最大值和最小值。
三、（20分）
设函数在上一致连续，且收敛，证明：。
四、（20分）
求级数的收敛域与和函数，其中。
五、（20分）
计算由曲线，以及，所围区域在第一象限部分的面积。
六、（25分）
计算单位时间内不可压缩流体（密度为1）以速度流过曲面的流量，其中，，指向外侧。
七、（25分）
讨论函数在的连续性。
福州大学2026年高等代数试卷
一、填空题
1.（5分）设是阶正交矩阵且是反对称矩阵，则______。
2.（5分）设，则在基下的矩阵为______。
3.（5分）设，子空间
则到的距离为______。
4.（5分）设是矩阵，是矩阵，若可逆，则的秩为______。
5.（5分）设，是与的首一最大公因式，则除以的商为______。
二、简答题
6.（5分）计算阶行列式
7.（5分）设阶方阵有个不同的特征值，求的极小多项式。
8.（5分）设阶方阵
求的Jordan标准型。
9.（5分）设是阶正定矩阵，试问：是否必为正定矩阵？若是，请说明理由；若否，请给出反例。
10.（5分）设是阶实方阵，且存在阶复可逆矩阵使得，试问：是否存在阶实可逆矩阵使得？若是，请说明理由；若否，请给出反例。
三、解答题
11.（12分）求多项式和的首一最大公因式，并求多项式，使得。
12.（12分）用正交线性替换化二次型
（注：这里有不同版本，有同学回忆最后两项为或）为标准型，并写出所用的正交线性替换和所得的标准型。
13.（12分）设是阶方阵，满足。证明：若是可逆矩阵，是幂零矩阵（即存在正整数使得），则可逆。
14.（12分）设是非齐次线性方程组的一个特解，是相应齐次线性方程组的一个基础解系。证明： (1) 向量组线性无关。 (2) 是的一个解的充分必要条件是存在使得
其中。
15.（12分）设是阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵使得的充分必要条件是与的特征多项式相同。
16.（12分）设是阶正定矩阵，若的根全是1，证明：。
17.（14分）设是维线性空间，是上的线性变换，证明：存在正整数，使得
且都是的不变子空间。
18.（14分）设是复数域上的维线性空间，是上的线性变换，分别是的特征多项式和极小多项式。证明： (1) 存在使得，其中是集合中次数最小的首一多项式。 (2) 设是上的线性变换，若，则存在，使得。
中国科学院大学2026年数学分析试卷（回忆版）
（注：题目来自考生回忆，部分表述或数据可能有误）
求极限： (1)
(2)
数列满* 足，，证明：收敛，并求其极限值。
求函数在条件下的最小值。
函数在上二阶可导，且，。若在上存在最大值，证明：
求曲面积分
其中为上半椭球面，取上侧。
设存在连续的偏导数，且对任意以为圆心以为半径的上半圆周，，，都有
证明。
求积分。
已知，其中$0
其中，。
证明：。
中国科学院大学2026年高等代数试卷（回忆版）
（注：题目来自考生回忆，部分表述或数据可能有误）
1.（15分）设为实系数多项式，试给出“存在实系数多项式使得”的充要条件，并求出满足条件下的的表达式。
2.（20分）设是阶实对称正定矩阵，其特征值$t_1
试确定的取值，使二次型分别正定，负定，不定，写出解与秩。
3.（15分）设为阶正交矩阵，且，证明：非可逆。
4.（25分）设为维线性空间上的一个幂等线性变换，即满足。证明： (1) 。 (2) 。 (3) 设是上的另一个线性变换，那么都是的不变子空间当且仅当。
5.（20分）设为维向量空间上的线性变换，且满足，证明：存在的一组基，使得在这组基下的矩阵均为下三角矩阵。
6.（20分）设为数域上的维向量空间的任意个维子空间，证明：存在的子空间，使得
7.（15分）设，为的复共轭矩阵。证明：若与相似，则复相似于一个实矩阵。
8.（20分）设是维欧氏空间，和为的两组基，满足
证明：若对所有的，则对所有的。
北京工业大学2026年数学分析试卷
应用柯西准则证明收敛并求极限。
设在上具有连续三阶导数，且，，，证明：在内至少存在一点，使。
叙述致密性定理并证明：设是的两个非空闭集且有界，则存在，使
其中表示中的欧氏距离。
求幂级数的收敛域与和函数。
设求和。
证明在上一致收敛，但在上非一致收敛。
设抛物线满足当时，，已知改抛物线与轴及直线所围图形的面积为，试确定，使该抛物线与直线及轴所围图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。
利用三重积分计算椭球体的体积。
设一致连续的非负函数满足，证明：。
计算，，取外侧。
北京科技大学2026年数学分析试卷
一、解答题
求极限。
设，，求的最小值。
求积分。
设满足，，求极限。
二、
设在上连续可微，（为常数），证明：。
三、
已知，其中，且附近满足，证明：在处可微。
四、
利用有限覆盖定理证明连续函数的根的存在定理。
五、
求级数的收敛域，其中。
六、
对于级数，证明： (1) 该级数在上一致收敛。 (2) 该级数在上不一致收敛。
七、
讨论在和的一致收敛性，其中。
八、
设是可导函数，对任意围绕原点一周的定向闭曲线，曲线积分的值恒为常数，且，求的值与。
九、
讨论的敛散性。
北京工业大学2026年高等代数试卷
计算阶行列式
设4阶方阵的秩是3，是方程组的三个不同的解，且满足
(1) 证明：，即不是零向量。 (2) 求方程组的通解。
设是阶矩阵，满足，是矩阵。 (1) 证明：。 (2) 若可逆，则可逆，并求的逆。
解答如下问题： (1) 设是阶实对称矩阵，且是正定矩阵，证明：存在阶可逆矩阵，使得同时为对角矩阵。 (2) 设二次型，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定。
设是一个数域，记是由向量
生成的的子空间，即，记是由向量
生成的的子空间，即，分别求，的维数和一组基。
记是复数域上的全体阶矩阵构成的线性空间，定义上的线性变换，对任意的，。 (1) 求在基下的矩阵。 (2) 求的值域的维数和一组基以及的核的维数和一组基。
设是实数域上全体阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意，定义，其中表示的迹。 (1) 证明：是欧氏空间。 (2) ，证明：是的子空间，并求的维数。 (3) 求的正交补空间的维数。
北京科技大学2026年高等代数试卷
一、计算题（15分）
计算阶行列式的值，其中
二、证明题（15分）
设是阶非零矩阵，其中，记矩阵的秩为，若，为零矩阵。 (1) 证明：。 (2) 若已知非齐次线性方程组有解，证明：该方程组的线性无关的解向量的最大个数为。
三、计算题（15分）
已知，求。
四、证明题（20分）
设是实数域的维线性空间，是的一组基，令，证明： (1) 对，都构成的基。 (2) 对任意的，在(1)中的组基中，存在一组基使得在此基下的坐标分量均为非负。
五、简单题（20分）
设为阶实方阵全体在矩阵的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间，是上的线性变换，且对任意的，都有。 (1) 求的特征值。 (2) 求的属于每一个特征值的特征子空间的维数和一组基。 (3) 证明：恰为的所有特征子空间的直和。
六、计算题（15分）
设为欧氏空间，是的一组标准正交基，令向量
子空间，为的正交补。求，使得，且。
七、简单题（15分）
设为阶实对称矩阵，且存在阶实矩阵，使得为正定矩阵，判断矩阵是否可逆，并给出理由。
八、证明题（15分）
设为正整数，是个多项式，若
证明：。
九、计算题（20分）
设为6阶实方阵，已知的极小多项式为。 (1) 求矩阵的行列式。 (2) 求矩阵的Jordan标准型。 (3) 求矩阵的初等因子组，其中为的伴随矩阵。
华南理工大学2026年数学分析试卷
一、证明题（共114分）
设，，证明：。
在上是否一致连续？给出证明。
在上二阶连续可微，且。若在内能取到最大值，证明：
已知在上黎曼可积，证明：，其中$A
设在上连续且绝对可积。证明：在上有界且一致连续。
判断的绝对收敛性，条件收敛性，发散性。
解答如下问题： (1) 求在上的傅里叶级数，该级数是否一致收敛？ (2) 若在上黎曼可积，证明：。
记区域，证明：，并说明取等条件。
已知
(1) 若是过原点的任意可微曲线（即时，；时，），证明：可微。 (2) 求证在处不可微。
二、计算题（共36分）
求。
求
其中是与的交线，方向是经由的方向再回到原点。
(可能有误)已知，是一光滑封闭曲面，是单位球体上的一点，是的单位外法向量，计算
其中，。（应该无误，其余等有关叙述可能不太准则）
华南理工大学2026年高等代数试卷
1.（15分）求所有整数，使得在有理数域上可约。
2.（15分）已知阶上三角矩阵
求的所有元素的代数余子式之和。
3.（20分）设是矩阵，证明：。
4.（20分）设。求： (1) 取何值时，不能被线性表示？ (2) 取何值时，可由线性表示？并写出表达式。
5.（20分）设，，，证明：实二次型
的正惯性指数，负惯性指数。
6.（20分）设是维欧氏空间的线性子空间，且，证明：中必有一个非零向量正交于中的所有向量。
7.（20分）设，为数域上阶方阵全体构成的线性空间，为上的一个线性变换，满足，。 (1) 求的特征值和特征向量。 (2) 判断是否可以对角化？并说明理由。
8.（20分）设为上的维线性空间，为的一组基，且上线性变换在下的矩阵表示为
证明： (1) 是仅有的包含的不变子空间。 (2) 的任意不变子空间必包含。（应该指明非零不变子空间） (3) 每个子空间为的不变子空间，且当且仅当，其中为恒等变换。
四川大学2026年数学分析试卷
1.（16分）求极限： (1)
(2)
2.（12分）计算。
3.（12分）要做一个容器为的无盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？
4.（12分）计算
其中是与的交线，从轴的正向往负向看去是逆时针方向。
5.（12分）计算
其中，方向取上侧。
6.（13分）求幂级数的收敛域与和函数。
7.（13分）判断积分的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛和发散）。
8.（12分）证明：方程的实根不超过3个。
9.（12分）设连续，且，证明：存在且为正。
10.（12分）设在上一致连续，且对任意固定的，当自然数时，有。证明：函数列在上一致收敛于0。
11.（14分）设在处可微，且。在处连续。证明：在处可微，且。
12.（10分）设为上非负且严格单调增加的连续函数。证明：对任意的正整数，存在唯一的，使得，且。
四川大学2026年高等代数试卷
一、解答如下问题：
设，其中是大于1的整数。证明：的全部根互不相同。
设，。证明：对于数域上的任意多项式，都存在上的多项式，使得。
是否存在特征多项式为的实对称矩阵？说明理由。
证明：多项式的根不可能都是实根。
二、解答如下问题：
求的值，使得线性方程组
有解，并在有解的情况下求出其在数域上的通解。
设是正整数且，设是数域中的数，且。证明：对任意的，关于的方程组
有唯一解。
设是6阶实对称矩阵，，其中是6阶单位阵。设，且，求齐次线性方程组的基础解系所包含解向量的个数。
三、解答如下问题：
设
其中是数域中的数，且，。设是的伴随矩阵的全部特征值（重根按重数计），求的特征多项式和。
设是上的阶矩阵，可逆，，。证明：，且不是的特征值。
四、解答如下问题：
求实二次型的正惯性指数和负惯性指数。
设是欧氏空间上的正交变换，其特征多项式为，求的极小多项式。
设是欧氏空间，是的子空间，且。证明：存在的满足如下条件的子空间：，，。
五、解答如下问题：
设是某个线性空间的子空间，满足。证明：是子空间。
设是有限维空间上的线性变换，设，，其中分别表示线性变换的核与像。证明：都是的不变子空间，且。
设是线性空间上的线性变换，为的一组基，且
求的全部特征子空间。
六、解答如下问题：
设，证明：型矩阵与相似当且仅当与秩相等。
设上的阶方阵不相似于元为0的方阵，，证明：存在，使得，其中是阶单位阵。
哈尔滨工业大学2026年数学分析试卷
一、判断题（正确给出理由，错误给出反例）
函数在开区间与均一致连续，则在上一致连续。
函数在上可导，且在某点处，则存在邻域使得在该邻域单调递增。
设函数在上可导且，，则。
设正项级数收敛，则收敛。
设函数在处的所有方向极限都存在且相等，则存在。
二、解答如下问题：
(1) 证明：如果函数满足：对任意的，存在与，使得
$$|f(t)|<m_x,\forall t\in(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap[a,b]="" $$="" 则在上有界。(2) 如果(1)中换成，结论是否成立？成立给出证明，不成立给出反例。
(3) 如果函数满足在闭区间上任意一点都存在极限，在上是否有界？肯定给出证明，否定给出反例。
三、
设在的某个邻域上二阶可微，且
求和。
四、
设在上连续可微，设，求极限。
五、
设函数在上可微，对某点，有，且。证明：在上恒为0。
六、
讨论级数的绝对收敛与条件收敛性。
七、
设函数，。 (1) 证明：在上连续。 (2) 证明：在上可微。 (3) 在上是否一致连续？说明理由。
八、
求极限。
九、
设证明：在其定义域上是连续的。
十、
计算曲面积分
其中是球面的外侧。
哈尔滨工业大学2026年高等代数试卷
一、
求7次多项式，使得能被整除，能被整除。
二、
计算行列式
三、
设是实数域上的矩阵，是矩阵，的元素由独立的未知数构成，。证明：
有解的充分必要条件是秩。
四、
求平方为零的全体三阶实方阵。
五、
设数域上的元二次型对应的方阵的顺序主子式均不为0，其中是阶顺序主子式。求的标准形。
六、
设矩阵满足，其中
求的特征值。
七、
判断如下命题是否成立，并说明理由：存在不全为零的有理数，使得
八、
设实数满足，求的取值范围。
九、
设实数域上方阵满足，其中，求的最大值。
十、
判断如下命题是否成立？并说明理由：若实数域上方阵的行向量两两正交，则其列向量也两两正交。
华东师范大学2026年数学分析试卷
一、填空题（每题8分，共56分）
计算______。
计算______。
计算______。
设，计算______。
求和函数______。
计算第二型曲面积分______，其中为抛物面被平面所截部分，取外侧。
设，，则______。
二、解答题（需提供以下各题的详细解答过程）
8.（15分）解答如下问题： (1) 证明：对任意正整数，方程有且仅有一个实数解。 (2) 设，为(1)中方程的实根，证明：数列收敛。
9.（15分）设为定义在上的函数列，对任意，数列有界，且存在使得对任意和，都有。证明：函数列必存在一致收敛的子列。
10.（16分）判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误给出反例说明。 (1) 若是上的凸函数，则在上连续。 (2) 若是上的凸函数，且在上可微，则在上连续。
11.（16分）设在上为正值连续函数，且
证明： (1) 在上至少存在，使得。 (2) 在上至少存在，使得。
12.（16分）设二元函数的偏导数在点处都连续。证明：存在，且。
13.（16分）设是中的有界单连通区域，其边界是一个光滑封闭曲面，是上动点处的单位外法向量，为不在上的一点，，证明：
其中表示向量和的夹角。
华东师范大学2026年高等代数试卷
一、填空题（每题5分，共10题）
如果实系数多项式有重根，那么这个重根是______。
设矩阵
其特征值为，则______。
已知，的特征多项式为，的极小多项式为，则有______个不同的相似等价类。
一个关于未知数的齐次线性方程组的解空间是由和张成的线性子空间，那么在中，主变元是______。
设线性空间和它的三个线性子空间满足，，，。则______。
______。
设是维线性空间，分别是的维和维线性子空间，设是所有满足的的线性变换所构成的线性空间，则______。（用表示）
线性空间上的线性变换定义如下：对，，则的所有特征值为______。（若有重数，需写明重数）
设，是不定元，是这个不定元的次方的和，，用表示下述多项式$\sum_{1\leq i
设是2025维实线性空间，是一个非退化双线性型。已知在的一个线性子空间上，限制在上恒为零。考虑所有可能的和，的最大可能值是______。
二、解答题（每题20分，共5题）
考虑关于的线性方程组
其中为参数。讨论为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有解（唯一解或无穷多解）时，求出它的所有解。
设是区间上所有实值连续函数构成的线性空间，定义
设是由张成的线性子空间。 (1) 利用Gram-Schmidt正交化，由构造出的一组规范正交基。 (2) 设，求在上的正交投影，并用(1)中的规范正交基表示。
设是阶复方阵，且可逆。已知存在正整数，使得对，与均可交换。证明：与可交换。
设是维欧几里得空间，，令，其中是与的内积。 (1) 证明：是半正定矩阵。 (2) 证明：是正定矩阵当且仅当构成的一组基。 (3) 若对任意的，且对任意的。试求，并判断满足什么条件时，是正定矩阵。
设均是阶实对称矩阵，满足，证明：。
题目19： 设位定义域上的函数，当时，定义
(1)已知在区间 上单调严格减，且, 时，有. 证明在区间上是严格单调减函数。
(2)已知, 且对任意,当时，有, 且当时，取得极值，求实数得值.
(3)已知,, 且对任意, 当时，有, 证明.
评注1： 第(2)题诗歌错题。该问题“需要多个知识点，否则答题就是白搭”。
极值点的概念时大学数学《微积分》的概念之一。设函数在点某邻域有定义,且满足
或者
称为的极大点称为的一个极大值（称为的极小点称为的一个极小值）。
极值点的充分条件：对于可导函数，如果存在,满足
则是的一个极大点。但是繁殖不成立的！！！！
极大点的左边一定单调增加吗 右边一定单调减少吗？在直观的理解中，似乎正确，但是其实错误。如
容易看到是函数的极大值点，该函数在左右边均可导，但不满足左边单调增加右边单调减少的性质。
又如
容易看到是函数的极大值点，该函数任意点均可导，但不满足左边单调增加右边单调减少的性质。
第(2)题没有给出的函数可导的条件，因此不能判断在左右边的单调性，这样就不能判断在左右边的单调性。不能判断单调性推不出是的极值点。所以的值怎吗求？？
注记2: 第(3)题，考试如何运用已知条件推出结论，分三种情况, , 推出的值，如果平时没有介绍过类似题，难度还是大。确实是道好题。
评注3： 第(1)小题考试：严格单调减的概念，逻辑推理（如何从已知条件推出需要证明的结论）。因此本小题不失为好题。
(1)根据格林公式
移项得到
(2)根据格林公式
移项得到
【证明完毕】
由于在区域可积，所以对于任意，函数在区域上可积。且
等号成立当且仅当. 上面不等式化为
根据二次函数性质，其判别式
立即化为
【证明完毕】
“2000多篇被撤论文 完整列表”、“retraction watch 撤稿论文2000篇清单”、“国内大量撤稿事件2000多篇论文”
1.关于涉“论文工厂”严重学术造假行为调查处理结果的通报(第三批)
2.关于涉“论文工厂”严重学术造假行为调查处理结果的通报(第一批)
3.频道 - 信息公开
4.国家自然科学基金委员会查处的不端行为 案件处理结果通报(2019年至今 持续更新)
5.案件通报(2026年第2批)
6.案件通报
7.Retraction Watch – Tracking retractions as a window into the scientific process
8.Retraction Watch
9.【中国新闻周刊】2000多篇论文撤稿，浪费数千万经费-中新网福建
10.Retraction Watch – Page 2 – Tracking retractions as a window into the scientific process
11.外文医学综合期刊撤稿论文分析
12.外文医学综合期刊撤稿论文分析
13.撤稿论文，浪费数千万经费-中新网
14.2000多篇论文、千万项目经费，撤稿代价敲响科研诚信警钟_南方+客户端
15.撤稿撕开科研圈惊天乱象 2248篇国自然资助论文因学术不端被撤！仅版面费就烧掉4780万，够近百项正规科研。买卖数据、拼接图片，国家级基金沦为晋升工具？踏实研究者吃亏，造假者名利双收，谁为造假买单？（编辑：安安 潘雯）#媒体原创 #媒体精选计划
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