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北京高考物理|万有引力与航天复习要点与真题精析
万有引力这一章的特点是『公式少、情境新』。核心公式只有万有引力定律一条，但北京卷几乎每年都拿最新的航天成就做情境——嫦娥六号、夸父一号、天问一号、空间站。情境是新的，考的还是那几个老问题：谁大谁小、变轨时能量怎么变、能不能求出中心天体质量。这篇文章按北京卷的真实考法，把这一章的模型、结论和真题放在一起梳理。
一、先看清这一章在卷子里的位置
北京卷对万有引力的考查，近五年以选择题为主，偶尔在计算题中作为第一问出现。命题取材高度集中在当年的航天热点，但设问方式相当固定：比较不同轨道上卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度大小；判断变轨过程中速度、加速度与机械能的变化；判断由已知条件能否求出中心天体的质量。这些设问背后，只有两三个核心模型。
二、一个核心方程与一组结论
万有引力这一章的全部计算，几乎都始于同一条方程：万有引力提供向心力。设中心天体质量为 M，环绕天体质量为 m，轨道半径为 r。由 GMm/r² = mv²/r = mω²r = m·4π²r/T² = ma，可以解出四个参量。
这四句话要背到条件反射：轨道半径越大，速度越小、角速度越小、周期越大、加速度越小，简称『高轨低速大周期』。绝大多数比较类选择题，用这一句话直接出答案，不需要任何计算。
三、黄金代换与天体质量
在中心天体表面，忽略自转时，物体的重力等于万有引力：mg = GMm/R²，由此得到 GM = gR²，这就是黄金代换。用它可以在不知道引力常量 G 的情况下处理问题。
求中心天体质量，有两种途径：一是已知某颗卫星的轨道半径 r 与周期 T，由 GMm/r² = m·4π²r/T² 得 M = 4π²r³/(GT²)；二是已知天体表面的重力加速度 g 与半径 R，由黄金代换得 M = gR²/G。前一种方法必须同时知道 r 和 T 两个量，缺一不可——这是北京卷反复设错的考点。
天体密度则是 ρ = M/(4πR³/3) = 3g/(4πGR)，若卫星贴近天体表面运行（r ≈ R），还有 ρ = 3π/(GT²)。
四、宇宙速度：三个都要分清
▪︎ 第一宇宙速度 7.9 km/s：既是最小发射速度，也是最大环绕速度，是近地圆轨道的运行速度
▪︎ 第二宇宙速度 11.2 km/s：脱离地球引力束缚、成为绕太阳运动的人造行星的最小发射速度
▪︎ 第三宇宙速度 16.7 km/s：脱离太阳引力、飞出太阳系的最小发射速度
注意第一宇宙速度的两重身份容易记混：发射卫星时它是『下限』，低于它上不了天；卫星在轨运行时它是『上限』，轨道越高速度越小，所有圆轨道卫星的运行速度都不超过 7.9 km/s。北京卷常在这里设陷阱——问某颗在轨卫星的速度是否可能大于 7.9 km/s，答案是否定的。
五、变轨：加速还是减速
变轨是这一章最容易出错的地方，因为直觉和结论常常相反。
▪︎ 低轨到高轨（离心）：需要在低轨上加速，使所需向心力大于提供的万有引力，天体做离心运动；到达高轨后再次加速才能稳定在高轨上。整个过程机械能增加
▪︎ 高轨到低轨（向心）：需要在高轨上减速，天体做向心运动；到达低轨后还需再次减速。整个过程机械能减少
▪︎ 变轨瞬间的位置不变，但速度与加速度的大小关系会突变；稳定后仍满足 v = √(GM/r)，即高轨速度小
这里有个必须想通的矛盾：从低轨到高轨要加速，但高轨稳定运行的速度反而更小。原因是加速带来的那部分动能，在爬升过程中转化为了引力势能。所以『变轨要加速』与『高轨速度小』并不矛盾，前者说的是瞬间操作，后者说的是稳定后的状态。
六、真题精析
【2025年北京卷】2024 年 6 月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。探测器在圆形轨道 1 上绕月球飞行，在 A 点变轨后进入椭圆轨道 2，B 为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是：A. 在轨道 2 上从 A 向 B 运动过程中动能逐渐减小；B. 在轨道 2 上从 A 向 B 运动过程中加速度逐渐变大；C. 在轨道 2 上机械能与在轨道 1 上相等；D. 利用引力常量和轨道 1 的周期，可求出月球的质量。
解析：选 A。从 A 向 B 运动时探测器远离月球，月球引力做负功，由动能定理知动能逐渐减小，A 正确。由 GMm/r² = ma 得 a = GM/r²，从 A 到 B 过程中 r 增大，加速度逐渐变小，B 错误。探测器在 A 点从轨道 1 变轨进入轨道 2 需要加速，机械能增加，所以轨道 2 上的机械能大于轨道 1 上的机械能，C 错误。在轨道 1 上做圆周运动，由 GMm/r² = m·4π²r/T² 得 M = 4π²r³/(GT²)，除引力常量 G 与周期 T 外，还必须知道轨道 1 的半径 r 才能求出月球质量，D 错误。这道题把四个核心考点一次考齐：变轨中的动能变化、加速度随距离的变化、变轨与机械能、求天体质量的条件。D 项正是前面反复强调的『r 与 T 缺一不可』。
【2021年北京卷】2021 年 5 月，天问一号探测器成功在火星软着陆。天问一号在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面 2.8×10² km、远火点距离火星表面 5.9×10⁵ km，则天问一号：A. 在近火点的加速度比远火点的小；B. 在近火点的运行速度比远火点的小；C. 在近火点的机械能比远火点的小；D. 在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动。
解析：选 D。由 GMm/r² = ma 得 a = GM/r²，近火点 r 小，加速度大，A 错误。由开普勒第二定律，同一椭圆轨道上近火点速度大于远火点速度，B 错误。在同一轨道上运行时只有引力做功，机械能守恒，近火点与远火点机械能相等，C 错误。天问一号在近火点做的是离心运动（速度大于同高度圆轨道所需），若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，D 正确。这道题的 C 项是高频失分点：同一轨道上机械能守恒，与位置无关；只有变轨才会改变机械能。
【2023年北京卷】2022 年 10 月 9 日，我国综合性太阳探测卫星夸父一号成功发射。夸父一号绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为 720 km，运行一圈所用时间约为 100 分钟。
解析要点：由高度 720 km 可知轨道半径大于地球半径，因此其运行速度小于第一宇宙速度 7.9 km/s，向心加速度小于地球表面的重力加速度。这两条用 v = √(GM/r) 与 a = GM/r² 直接判断即可，是北京卷在这一情境上的标准设问方式。由周期约 100 分钟还可估算轨道半径，再结合地球半径求出距地高度，属于开普勒第三定律的应用。说明：本小题依据公开真题情境给出解析要点，具体选项以官方发布为准。
七、同步卫星与双星
同步卫星的五个『定』：定周期（24 h）、定轨道平面（赤道平面）、定高度（约 36000 km）、定速率、定转向。它必须在赤道正上方，这是北京卷常考的判断点。
双星系统的处理要点：两星绕共同质心做圆周运动，角速度相同，彼此间的万有引力各自提供向心力，且轨道半径之和等于两星间距。列式时注意两星质量不同则轨道半径不同，但周期一定相同。
八、易错清单
▪︎ 把轨道半径当成距地高度，正确关系是 r = R + h
▪︎ 认为高轨卫星速度更大，实际上高轨低速大周期
▪︎ 认为变轨时机械能守恒，实际上变轨必然伴随机械能改变
▪︎ 求天体质量时只给周期不给半径，或只给半径不给周期，条件不足无法求解
▪︎ 把第一宇宙速度当成所有卫星的运行速度，它只是近地轨道的速度，也是所有圆轨道的上限
▪︎ 混淆加速度与速度的变化方向，变轨瞬间速度突变而加速度由位置决定
给高三同学的复习建议
这一章的复习性价比极高，建议抓三件事：第一，把『高轨低速大周期』和四个参量表达式背熟，比较类选择题做到秒判；第二，把变轨过程画成一张图，标清每一步是加速还是减速、机械能增还是减，把 2025 年嫦娥六号那道题对着图逐项验证一遍；第三，把求天体质量的两种途径和各自需要的条件整理成一句话——要么同时知道 r 和 T，要么知道 g 和 R。这三件事做完，这一章的选择题基本不会失分。
