八上习题15.3:等线段怎样证?土地怎样三等分?

教材原题｜习题15.3 拓广探索

14. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论。你还能发现其他结论吗？

15. 如图，要把一块三角形的土地均分给甲、乙、丙三家农户。已知∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，应该怎样分，并在图上画出来。

同学们，第14题要比较等腰三角形中成对出现的特殊线段，第15题要把一块土地分成三块能够完全重合的图形。两题都可以用全等来说明，但前者是找对应，后者还需要先设计合适的分割线。

先猜一猜

等腰三角形左右两边能够翻折重合，对应的角平分线、中线和高会怎样？把一条边三等分，再连向对面的顶点，虽然能得到三个等面积三角形，它们的形状也一定相同吗？带着这两个问题开始探索。

01 · 同类线段成对比较，不能把不同类型混在一起

第14题分析：先把三种线段说清楚

分析：设△ABC中AB＝AC，A为顶角顶点，B、C为底角顶点。两底角的平分线分别从B、C出发，交对面的腰于一点。两腰上的中线，分别连接B与AC的中点、C与AB的中点。两腰上的高，则分别从B、C向另一条腰所在直线作垂线。

这三组线段分别相等。但要注意，说的是每一组内部的两条线段相等，并不是说一条角平分线、一条中线和一条高彼此都相等。下面选择底角平分线给出规范证明。

第14题证明｜两底角的平分线相等

作∠ABC的平分线BE，交AC于E；作∠ACB的平分线CF，交AB于F。求证BE＝CF。

证明：∵ AB＝AC， ∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）。 ∵ BE、CF分别平分∠ABC、∠ACB， ∴ ∠ABE＝½∠ABC，∠ACF＝½∠ACB， ∴ ∠ABE＝∠ACF。

在△ABE和△ACF中， 　∠BAE＝∠CAF， 　AB＝AC， 　∠ABE＝∠ACF， ∴ △ABE≌△ACF（ASA）。 ∴ BE＝CF（全等三角形的对应边相等）。

第一组等角都是顶角A；等边AB、AC分别夹在列出的两角之间，所以这里用角边角。证明中两个三角形的顶点顺序也要对应：A对A，B对C，E对F。

中线和高为什么也分别相等？

对于两腰上的中线，设M、N分别是AC、AB的中点，则AM＝AN。结合AB＝AC以及顶角A相同，可用SAS证明△ABM与△ACN全等，从而BM＝CN。

对于两腰上的高，分别以AB、AC为底计算同一个三角形的面积。由于两条底边相等，同一面积除以相等的底，就得到两条高相等。垂足即使落在腰的延长线上，底乘高的一半仍然适用。

还能发现：两腰的中点关于等腰三角形的对称轴对称；顶角的平分线、底边上的中线和高相互重合。这是顶角与底边的“三线合一”，不要误搬到两底角上。

02 · 先平分六十度角，再平分得到的等腰三角形

第15题分析：大小、形状相同，就是要全等

分析：∠C＝90°、∠B＝30°，所以∠A＝60°。如果先把这个六十度角平分，得到的两个三十度角，就可能帮助我们凑出相同的三角形。

作∠A的平分线AD，交BC于D。这样∠DAB＝∠B＝30°，△ADB成为等腰三角形。再取AB的中点E，连接DE，把这部分等腰三角形一分为二。分割线就是AD和DE。

第15题作图与证明｜三块土地是三个全等三角形

解：作∠CAB的平分线AD，交BC于D；取AB的中点E，连接DE。三块土地分别为△ACD、△AED、△BED。

证明：∵ ∠C＝90°，∠B＝30°， ∴ ∠CAB＝60°。 ∵ AD平分∠CAB， ∴ ∠CAD＝∠DAB＝30°。 ∴ ∠DAB＝∠DBA， ∴ DA＝DB。

∵ E是等腰△ADB底边AB的中点， ∴ DE⊥AB（三线合一），且AE＝BE。 在△ACD和△AED中， 　∠ACD＝∠AED＝90°， 　∠CAD＝∠EAD＝30°， 　AD＝AD， ∴ △ACD≌△AED（AAS）。

在△AED和△BED中， 　AE＝BE， 　ED＝ED， 　AD＝BD， ∴ △AED≌△BED（SSS）。 ∴ △ACD、△AED、△BED三角形全等。

这三个三角形没有重叠地拼成原三角形，因此面积各占原面积的三分之一，而且形状相同，可以分别分给三家农户。这里证明了全等，才同时满足“大小、形状都相同”的要求。

为什么只证明等面积还不够？

三角形可以底不同、高不同，却有同样的面积。因此面积相等不能保证形状相同。题目要求两项都满足，用全等来检验最直接。不要看到“均分”两个字，就遗漏后面的形状要求。

再检查：D为什么不是底边的中点？

三块已经证明全等，所以△ACD的面积占一份，△ADB的面积占两份。这两个三角形的底分别是CD、DB，它们到同一直线BC的高相同，因此CD与DB的比也是一比二。这个比例是证明之后得到的，不能一开始就把D当成中点。

这里也能看出两种“平分”的区别：AD平分的是顶角，却没有平分原三角形的面积；DE平分的是后来形成的等腰三角形。每次使用平分性质，都要说清楚正在研究哪一个角、哪一个三角形。

书写时，判定名称要与条件对应

第十五题第一次全等使用两个角和斜边，所列的边不是两个已知角之间的夹边，因此写角角边。第二次全等列出了三组对应边，所以写边边边。不能只凭看起来对称，就省去条件直接写全等。

名师方法｜从角度入手，让新图形变得熟悉

比较长度时，找包含目标线段的对应三角形；设计分割时，先读出特殊角，再尝试平分角或连接中点。本题先把六十度变成两个三十度，创造等腰三角形，再借三线合一和全等完成验证。

作图之后，要说明三块图形覆盖了原区域且内部互不重叠。全等负责保证每块的大小和形状一致，覆盖关系负责保证土地既没有漏分，也没有重复分配。

当堂检测

1. 第14题的三类线段，是所有线段都相等吗？ 2. 第15题为什么有DA＝DB？ 3. 能直接把D当作BC的中点吗？

想好再看：不是，每一类中的一对分别相等；因为△ADB有两个相等的三十度角；不能，D由角平分线确定，实际满足CD∶DB＝1∶2。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十五章《轴对称》第86页，习题15.3“拓广探索”第14、15题。