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温州十校高二数学期中考试卷+答案(电子版)

发布时间：2026-11-08 13:37:59 最近访问：2026-11-08 13:38:00

试卷信息

适用年级
高二｜学科：数学
考试类型
2026—2027 学年第一学期期中考试
卷面
120 分钟，满分 150 分，共 4 页 19 题
题型
单选 8 题（40 分）、多选 3 题（18 分）、填空 3 题（15 分）、解答 5 题（77 分）

下面是原卷全部 4 页。建议先按 120 分钟独立做一遍，再往下看考点分析和复盘方法。

试卷图版

这份卷子该怎么看

高二上学期期中是把「选择性必修一」和「选择性必修二前几章」合并起来考的一次大检测。这份温州十校的卷子难度不算刁钻，但覆盖面很宽：圆锥曲线、空间向量与立体几何、导数与三角这几块同时出现，属于典型的「知识还没串起来，所以综合题一做就乱」。

所以拿到卷子不要急着对答案，先做三件事：

限时
按 120 分钟完整做一次，中途不翻书、不看答案。分段建议 40 分钟选择+填空，80 分钟解答。
标注卡点
做不出来的题不要空着，用笔在旁边写清楚「卡在哪一步」——是概念没想清、运算算错了，还是读完题没抓住条件。这三种失分后面的补救方式完全不同。
重做而不是看答案
对答案只是核对，真正要花时间的是把错的题盖住答案重做一遍，能独立写对才算真的会。

分值分布：先看清这场考试的重心

题型	题号	题量	分值	占比
单选题	1—8	8 题	40 分	26.7%
多选题	9—11	3 题	18 分	12.0%
填空题	12—14	3 题	15 分	10.0%
解答题	15—19	5 题	77 分	51.3%

解答题占了 77 分，超过一半。 这个结构决定了复习策略：多选和填空加起来 33 分，性价比高，是必须拿稳的部分；而解答题要靠「写清楚过程」拿步骤分，哪怕最终结果没算对，前面的推理写到位也能拿到相当一部分分数。

多选题的评分规则值得单独说一句：全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分。这意味着多选题存在一个最优策略——除非你能确认两个以上选项绝对正确，否则不要乱选。

五个模块，19 题的考点分布

1. 直线与圆（第 1、4、7、13 题）

这部分是圆锥曲线的地基，也是最容易「会做但算错」的地方。

第 4 题
考直线与坐标轴平行的参数条件：(a²−2a)x + ay + 2 = 0 平行于 x 轴，核心是令 y 的系数为 0 且 x 的系数不为 0。别忘了先判断 a=0 的情况，这是常见的「陷阱选项」来源。
第 7 题
是圆上到定点距离的问题：「圆上到直线距离为 1/2 的点至多 2 个」等价于「圆与直线两侧的平行线相切或相离」，画图比代数快。
第 13 题
是直线与圆相交求三角形面积，注意是「面积为 √3 的 m 的一个值」——问的是「一个值」而不是「所有值」，填空题里这个措辞通常意味着结果不唯一，填一个满足条件的即可，不用纠结两个解。

2. 双曲线与椭圆（第 5、10、11、14、18、19 题）

这是本卷分值最集中的模块，6 道题覆盖了两种曲线。

第 2 题
椭圆过 P(2,1)、Q(0,√2) 求标准方程，把两点代入 x²/a² + y²/b² = 1 解出 a²、b² 即可；注意要先由 a > b > 0 判断焦点在哪个轴上，这一步漏掉会选错选项。
第 5 题
双曲线离心率 2√3/3 求渐近线。核心公式记牢：双曲线 x²/a² − y²/b² = 1 的离心率 e = c/a，由 e² = 1 + b²/a² 反推 b²/a² 就能定出渐近线 y = ±(b/a)x。
第 10 题
是拉梅曲线 |x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1，就是小米 LOGO 那个超椭圆。这个题是全卷最有「情境感」的一道：选项 A 问 n=2 时是不是椭圆（是），B 问 n=1 时圆面积是不是 2ab（n=1 才是圆，n=2 是椭圆，所以 B 错），C 问曲线不可能关于 y 轴对称（绝对值使得它必然对称，C 错）。多选题的四个选项要逐个判断，不要凭整体印象。
第 14 题
椭圆定值问题：x²/4 + y²/b² = 1，左顶点与上顶点出发的两条弦互相垂直，求 b 和 |HB| 的最小值。这题的通法是设直线斜率存在，用 k 和 −1/k 表示两条弦的斜率，联立韦达定理。
第 18 题
是双曲线与直线只有一个公共点的综合题。结论要记牢：直线与双曲线只有一个公共点，当且仅当直线平行于一条渐近线，所以 k = ±b/a。题目还要求证明 M 是 AB 的中点，这是双曲线「渐近线夹角」性质的标准应用。
第 19 题
是椭圆综合，压轴题。已知 MN = 2、tan M = √21/10、tan N = −√21/2，以 MN 中点 O 为原点建系、以 M、N 为焦点的椭圆 C 过点 P，求 P 的坐标和椭圆方程；第二问用 AM/BM = 2 求过 M 的直线方程，并求四边形 MNRB 面积的最大值。建议先在草稿纸上把焦点位置标清楚：MN = 2 是焦点间距，即 2c = 2，所以 c = 1。另外注意 tan N = −√21/2 是负值——N 是钝角，动手算内角和之前先确认这一点。

3. 空间向量与立体几何（第 6、8、15、17 题）

这 4 题考的是同一套工具：建系 → 写坐标 → 算向量 → 算夹角。

第 6 题
正方体中 O 到直线 AE 的距离，考的是空间向量法求线线距离：d = |AC⃗ × AE⃗| / |AE⃗|。
第 8 题
正三棱柱中动点 P 的面积最大值，用建系后设点坐标 + 二次函数求最值。
第 15 题
平行六面体，是空间向量基本运算的经典题：用基底 (a, b, c) 表示 AM，然后把具体坐标代入求异面直线夹角。注意题目给的是 A(−2,1,1), B(2,2,1), C(3,4,1), M(1,1,2)，要先用中点公式把 D₁ 求出来（D₁ = (0,0,3)）。
第 17 题
四棱锥，第 (1) 问是证明垂直，务实用空间向量法：取 AD 中点 O，连接 PO、OE，由 PA = PD 得 PO ⊥ AD，再由面 PAD ⊥ 面 ABCD 得 PO ⊥ 面 ABCD，从而 PO ⊥ BD；又由 E 为 DC 中点得 OE ∥ AC，而 AC ⊥ BD，所以 OE ⊥ BD。两个方向都垂直于 BD，BD ⊥ 面 POE，而 PE 在面 POE 内，得 BD ⊥ PE。

第 17 题第 (2) 问给的条件是「若 AP 与面 PBC 所成角的正弦值为 2/3」，结论是面 CPB 与面 PBA 夹角的余弦值 √2/3。这类「面面角」的通法是：先求出相关面的法向量，再用法向量夹角公式求余弦值；第 (1) 问的证明过程里已经求出了面 PBA 的一个法向量 (√2, 0, 1)，第 (2) 问可以直接复用，不要重新建系重算。

空间几何的通病是「一看有图就想手算」。 建议统一训练建系：先想清楚原点放哪、坐标轴怎么摆，再动笔。选坐标轴时优先利用题目已经给出的平行关系和垂直关系。

4. 三角与解三角形（第 1、16 题）

第 1 题
已知 A(0,1)、B(√3,2)，求直线 AB 的倾斜角，直接用 k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = 1/√3，再由倾斜角范围定出唯一角。
第 16 题
是圆内一点引弦的问题。第 (1) 问 α = 150°，弦的斜率 k = tan150° = −√3/3，直线 AB 方程 y = −(√3/3)x + 2，原点到该直线的距离 d = 2/√(1+1/3) = √3，于是弦长 |AB| = 2√(9−3) = 2√6。注意：本题第 (2) 问问的是「是否存在弦 AB 被 P₀ 平分」，答案是存在的——若被平分，则 OP₀ ⊥ AB，OP₀ 斜率为 √3/3，直线 AB 斜率为 −√3。这类「是否存在」的问法要先假设存在再推导，别因为看起来罕见就答否。

5. 向量与数量积（第 3、9、12 题）

第 3 题
a = (−1,3,2)，b = (1,−1,x²) 垂直求 x，直接点积为零；注意 b 的第三分量是 x² 不是 x，题目里容易看错。
第 9 题
是多选题「下面四个结论正确的是」，四个选项横跨空间向量的数量积（a ⊥ b 与 a·b = 0 的关系）、平面向量的数量积运算、用基底表示向量三块。这类题要逐项验证，不能整体感觉——特别提醒：空间向量垂直的判定就是数量积为零，而选项 B 的 (a·b)c = a(b·c) 是数量积的分配律在向量运算中的体现，方向要分清。
第 12 题
方向向量问题：若 (−1,1,x) 与 (1,y,3) 均为直线 l 的方向向量，则两者共线，用对应分量成比例列方程求 x − y。注意别用点积，方向向量之间是平行关系不是垂直关系。