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初中数学学霸秘籍14:平方差为定值确定动点轨迹

发布时间：2026-11-10 21:39:22 最近访问：2026-11-10 21:39:22

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【MJ14-261105】等边三角形＋切线＋等距条件：求 PA 的最小值

【题目】在等边 △ABC 中，AB = 6，⊙B 的半径为 3，PD 切 ⊙B 于点 D，PD = PC，则 PA 的最小值为______。

P 动、D 跟着动，但"切线＋等距"两个条件合力，会把它按在一条定直线上

先说答案：PA 的最小值为 3/4。这题没有隐圆、没有相似，主菜是一条平方差恒等式：切线勾股送出 PB²−PD² = 定值，PD = PC 把 D 换成 C，再用两次勾股把"平方差"翻译成"到两定点的距离差"——动点的轨迹应声落地成一条定直线。

1第一步：切线勾股，凑出平方差定值

PD 切 ⊙B 于 D，半径 BD = 3，连接 PB、BD。切线垂直于过切点的半径，Rt△PBD 中用勾股：

PB² = PD²＋BD² = PD²＋9 ⟹ PB²−PD² = 9

题目又给 PD = PC，把 PD 换成 PC：PB²−PC² = 9。P 到 B、C 两点的距离的平方差是定值——这句话就是全题的钥匙。

2第二步：两次勾股，平方差翻译成线段差

平方差怎么"几何化"？作 PF⊥BC 于 F，两个直角三角形共用同一条高 PF：

PB² = PF²＋BF²，PC² = PF²＋FC² ⟹ PB²−PC² = BF²−FC²

右边用平方差公式（因式分解那套在这里照样好使）：

BF²−FC² = (BF＋FC)(BF−FC) = BC·(BF−FC) = 6(BF−FC) = 9 ⟹ BF−FC = 3/2

BF＋FC = BC = 6，BF−FC = 3/2，联立解得 BF = 15/4，FC = 9/4。F 不随 P 移动——P 始终在过 F 且垂直于 BC 的定直线上运动，轨迹到手。

图 2 切线勾股＋两次共高勾股：PB²−PC² 一路翻译成 BF−FC，F 成为定点

3第三步：垂线段最短，一步收口

P 在定直线上跑，A 是定点——定点到定直线的距离，就是 PA 的最小值（垂线段最短）。过 A 作 AG⊥FP 于 G。这条垂线是水平的，而 BC 也是水平的，所以 AG∥BC。设 BC 交 ⊙B 于 H（BH = 3 = HC，H 恰是 BC 中点），则：

AG = HF = BF − BH = 15/4 − 3 = 3/4

所以 PA 的最小值为 3/4。

图 3 P 沿定直线上下跑，A 在旁边 3/4 处"隔岸相望"，最短距离就是那条水平垂线

4检验：坐标反演＋取等点合法化

建系 B(0,0)、C(6,0)、A(3, 3√3)。PB²−PC² = x²−(x−6)² = 12x−36，令其等于 9 得 x = 15/4——与几何推理完全一致 ✓。取等点 P(15/4, 3√3)：PB ≈ 6.41 > 3，切线作得出；PD² = PB²−9 = (9/4)²＋(3√3)² = PC²，即 PD = PC 精确成立 ✓。

反过来验轨迹上任意一点，比如 P(15/4, −2)：PB²−PC² 仍为 9，条件照常满足——轨迹确是整条直线，最小值点只是其中普通一员 ✓。参考解析末行即 AG = HF = 15/4 − 3 = 3/4，殊途同归。

一句话记住这题的骨架：切线勾股送 PB²−PD² 定值，等距条件换元成 PB²−PC²，共高勾股＋平方差公式钉死定点 F，垂线段最短收口。

三句话带走

·切线勾股出定值 —— PB² = PD²＋r²，配 PD = PC 得 PB²−PC² = 9：距离平方差固定，这是"轨迹为直线"的信号。

·共高勾股化平方差 —— 作 PF⊥BC，PB²−PC² = BF²−FC² = BC·(BF−FC)，解出 BF = 15/4，动点被钉上定直线。

·垂线段最短 —— AG = HF = 15/4 − 3 = 3/4，即 PA 的最小值。

— END —

答案：3/4。哪一步卡住了，留言说一声

学习加总结可成学霸。

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