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专题04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
三、定直线问题...................................................................................2
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定点问题..........................................................................2
题型二：定值问题..........................................................................5
题型三：定直线问题......................................................................8
三、专项训练.....................................................................................11
一、必备秘籍
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量
，
视作
常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参
数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
，
的方程组，这个方程组的解所确定
的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究
变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情
况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜
率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始
终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能
否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
1
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（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进
而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运
算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为
求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
二、典型题型
题型一：定点问题
1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，四边形ABCD 是椭圆
的内接四边形，直
线AB 经过左焦点
，直线AC，BD 交于右焦点
，直线AB 与直线CD 的斜率分别为
．
(1)求证：
为定值；
(2)求证：直线CD 过定点，并求出该定点的坐标．
2
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2．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点，
的周长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，点A，
分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M，
N（M，N 都在x 轴上方）．且
．证明直线m 过定点，并求出该定点的坐
标．
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线
的焦距为
，点
在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)直线
与C 的右支交于
两点，点
与点
关于
轴对称，
点在
轴上的
投影为
.
①求
的取值范围；
②求证：直线
过点
．
3
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4．（2024·青海海南·二模）已知双曲线
的虚轴长为
，点
在
上.设直线与
交于A，B 两点（异于点P），直线AP 与BP 的斜率之积为
.
(1)求
的方程；
(2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点.
5．（23-24 高二下·河南焦作·期末）已知抛物线
的焦点为
，
为原
点，第一象限内的点
在
上，
，且
的面积为
.
(1)求
的方程；
(2)若
，
是
上与
不重合的两动点，且
，求证：直线
过定点.
4
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6．（23-24 高二下·安徽亳州·期末）已知
为坐标原点，
是抛物线
上
与点
不重合的任意一点．
(1)设抛物线
的焦点为
，若以
为圆心，
为半径的圆
交
的准线于
两
点，且
的面积为
，求圆
的方程；
(2)若
是拋物线
上的另外一点，非零向量
满足
，证明：直线
必经过一个定点．
题型二：定值问题
1．（2024 高三·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆系方程
：
（
，
），
、
是椭圆
的焦点，
是椭圆
上一点，且
．
(1)求
的离心率，求出
的方程．
5
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(2)P 为椭圆
上任意一点，过P 且与椭圆
相切的直线l 与椭圆
交于M、N 两点，点P
关于原点的对称点为Q，求证：
的面积为定值．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，过
轴上
一点
作一直线
，与椭圆交于
两点（异于
），直线
和
的交点为
，记直线
和
的斜率分别为
，求
的值．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知
是双曲线
的左右焦点，
，点
在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线相切与于点
，与双曲线的两条渐近线分别相交于
两点，当点
在双曲线上运动时，
的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.
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4．（23-24 高二下·上海·期末）已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线
的方程．
(2)若
，试问：是否存在直线l，使得点M 在以AB 为直径的圆上？若存在出直线l
的方程；若不存在，说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求
证：
为定值．
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知抛物线
经过点
，直线与抛
物线
有两个不同的交点
，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
(1)若直线过点
，求直线的斜率
的取值范围；
(2)若直线过抛物线
的焦点
，交
轴于点
，求
的值；
(3)若直线过点
，设
，求
的值．
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6．（23-24 高一下·安徽·阶段练习）已知抛物线
经过点
中的两个点，
为坐标原点，
为焦点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过
且倾斜角为
的直线交
于
两点，
在第一象限，求
的值；
(3)过点
的直线与抛物线
交于
两点，直线
分别交直线
于
两
点，记直线
的斜率分别为
，证明：
为定值.
题型三：定直线问题
1．（23-24 高三下·上海·开学考试）已知椭圆
的离心率为
，左右
焦点分别为
，
是椭圆上一点，
，
．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点
的直线与椭圆交于
两点，
为线段
中点．
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（i）求证：
点轨迹方程为
；
（ii）
为坐标原点，射线
与椭圆交于点，点
为直线
上一动点，且
，求证：点
在定直线上．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的上、下顶点，
为坐标原点，直线
与
交于不同的两点
，
．
(1)设点
为线段
的中点，证明：直线
与直线
的斜率之积为定值；
(2)若
，证明：直线
与直线
的交点
在定直线上．
3．（23-24 高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B 分别是双曲线
的
左、右顶点，P 是C 上异于A，B 的一点，直线PA，PB 的斜率分别为
，且
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知过点
的直线
，交C 的左，右两支于D，E 两点（异于A，B）.
（i）求m 的取值范围；
（ii）设直线AD 与直线BE 交于点Q，求证：点Q 在定直线上.
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4．（2024 高三下·河南·专题练习）动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是2，记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)过
的直线与
交于
两点，且
，若点
满足
，
证明：点
在一条定直线上.
5．（23-24 高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线
的焦点
关于直线
的对称点为
．
(1)求
的方程；
(2)若
为坐标原点，过焦点
且斜率为1 的直线交
于
两点，求
；
(3)过点
的动直线交
于不同的
两点，
为线段
上一点，且满足
，证明：点
在某定直线上，并求出该定直线的方程．
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6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点
，
，
和动点
满足
是
，
的等差中项．
(1)求
点的轨迹方程；
(2)设
点的轨迹为曲线
按向量
平移后得到曲线
，曲线
上不同的两点
M，N 的连线交
轴于点
，如果
（
为坐标原点）为锐角，求实数
的取值
范围；
(3)在（2）的条件下，如果
时，曲线
在点
和
处的切线的交点为
，求证：
在一条定直线上．
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三、专项训练
1．（2024 高三·全国·专题练习）椭圆
经过点
，且离心率
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设
是直线
上任意一点，
是经过椭圆右焦点
的一条弦（不经过点
）．记直
线
，
，
的斜率依次为
，
，
，问是否存在常数
，使得
？若存
在，求
的值；若不存在，说明理由．
2．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C：
，F 是椭圆的右焦点且椭圆C 与圆M：
外切，又与圆
N：
外切．
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(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知A，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，连接AF，BF 并分别延长
交椭圆C 于D，E 两点，证明：直线DE 过定点．
3．（23-24 高二下·山西运城·期中）已知A，B 分别是双曲线
的左、
右顶点，
是
上异于A，B 的一点，直线PA，PB 的斜率分别为
，且
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)已知过点
的直线交
于
两点（异于A，B），直线
与直线
交于点
.求
证:点
在定直线上.
4．（23-24 高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线
的焦点为
，点
，过点
且斜率存在的直线交
于不同的
两点，当直线
垂直于
轴时，
.
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(1)求
的方程；
(2)设直线
与
的另一个交点分别为
，设直线
的斜率分别为
，证
明：
（ⅰ）
为定值；
（ⅱ）直线
恒过定点.
5．（23-24 高二上·山东潍坊·阶段练习）已知点
，圆
，点
是
圆
上的任意一点.动圆
过点
，且与
相切，点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)若与
轴不垂直的直线与曲线
交于
、
两点，点
为与
轴的交点，且
，若在
轴上存在异于点
的一点
，使得
为定值，求点
的坐
标；
(3)过点
的直线与曲线
交于
、
两点，且曲线
在
、
两点处的切线交于点，
证明：在定直线上.
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