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9.4 点差法与定值、定点与最值
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考点一 点差法及应用
【例1-1】（23-24 云南曲靖·期末）已知直线交抛物线
于
两点，且
的中点为
，
则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（23-24 高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆
：
的右焦点为
，过点
的直线交椭圆
于
两点，若
的中点坐标为
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为
，椭圆
与直线
交于
两点，线段
的中点为
，若直线
的斜率为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·广东肇庆·一模）已知直线：
与双曲线
：
交于
，
两点，点
是弦
的中点，则双曲线
的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线
焦点的直线交抛物线于
两点，已知
，线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
（ ）
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A．2
B．4
C．6
D．8
3．（2024·江西宜春·三模）已知抛物线C：
的焦点为F，动直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A，B
两点，以线段OA，OB 为邻边作平行四边形OAPB，若点
（
），则当
取最大值时，
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
考法二 定点
【例2】（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）已知直线
经过椭圆
的右焦点F 且被椭
圆C 截得的弦长为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点
的动直线m 与椭圆C 相交于A，B 两点，且直线l 上的点M 满足
，求证：直线
过
定点，并求该定点的坐标.
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳·二模）已知椭圆
的一个焦点是
.直线
与直线
关于直线
对称，且相交于椭圆
的上顶点.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求
的值；
(3)设直线
分别与椭圆
另交于
两点，证明：直线
过定点.
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2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线
的离心率为
，点
在
上．
(1)求双曲线
的方程；
(2)直线与双曲线
交于不同的两点
，
，若直线
，
的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
3．（2024·云南·模拟预测）抛物线
的图象经过点
，焦点为
，过点
且倾斜角为
的直线与抛物线
交于点
，
，如图．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)当
时，求弦|AB|的长；
(3)已知点
，直线
，
分别与抛物线
交于点
，
．证明：直线
过定点．
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考法三 定值
【例3】（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，
，过点
作两条斜率互为相反数的直线，分别交
于不同的两点
．
(1)求
的标准方程；
(2)证明：直线
的斜率为定值，并求出该值．
【一隅三反】
1．（2024·四川乐山·三模）已知椭圆
的左､右焦点分别为
分别是椭圆
的上
下顶点，
分别是椭圆
的左右顶点，点
在椭圆
上，且
的面积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上的动点（不与
重合），是
在点
处的切线，直线
交
于点
，直线
交于点
，求证：直线
的斜率为定值.
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2．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E 的准线方程为：
，过焦点F 的直线与抛物线E 交于A、B 两点，
分别过A、B 两点作抛物线E 的切线，两条切线分别与y 轴交于C、D 两点，直线CF 与抛物线E 交于M、N 两
点，直线DF 与抛物线E 交于P、Q 两点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：
为定值.
考法四 最值
【例4】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，且
，
过点
作两条直线
，直线与
交于
两点，
的周长为
．
(1)求
的方程；
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(2)若
的面积为
，求的方程；
(3)若
与
交于
两点，且的斜率是
的斜率的2 倍，求
的最大值．
【一隅三反】
1．（2024·广东珠海·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，且
，点
在椭圆
上，直线
．
(1)若直线与椭圆
有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当
时，记直线与
轴，
轴分别交于
两点，
为椭圆
上两动点，求
的最大值．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，离心率为
，且
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经过点
.
(1)求
的方程；
(2)过
且不垂直于坐标轴的直线交
于
两点，点
为
的中点，记
的面积为
的面积
为
，求
的取值范围.
3．（2025·浙江·模拟预测）已知P 为双曲线C：
上一点，O 为坐标原点，线段OP 的垂直平分线与双
曲线C 相切．
(1)若点P 是直线
与圆
的交点，求a；
(2)求
的取值范围．
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一．单选题
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆
，一组斜率
的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆
截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知直线
与椭圆
相交于
两点.若弦
被
直线
平分，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线
，过点
的直线与
相交于A，B 两点，且
为弦
AB 的中点，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．−2
4．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右顶点分别为
，点
是
椭圆
上异于
的点，
为平面内一点，且满足
，过点
作直线
的垂线与直线
交于点
，则
（ ）
A．12
B．16
C．24
D．32
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线
上一点
到准线的距离为
，到直线
的距
12
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离为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6（24-25 高三上·贵州·开学考试）已知直线
与椭圆
相交于
两点，椭圆的
两个焦点是
，
，线段
的中点为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，
为坐标原点，
以
，
为邻边作平行四边形
，点
恰好在
上．若线段
的中点
在直线
上，则直线的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线
，直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，若点
P 在直线l 上，且直线OP 把
分成面积相等的两部分，则下列能作为点P 的坐标的不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（23-24 浙江宁波·阶段练习）已知斜率为
的直线交抛物线
于
、
两点，
下列说法正确的是（ ）
A．
为定值
B．线段
的中点在一条定直线上
C．
为定值
D．
为定值（
为抛物线的焦点）
10．（2023·河北·一模）已知双曲线
的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近
线分别交于点A，B，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（ ）
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A．若
且直线l 的斜率存在，直线l 的方程为
B．若
，直线l 的斜率为1
C．若离心率
，
D．若直线l 的斜率不存在，
11．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过点
斜率为
的直
线与双曲线
的左､右两支分别交于
两点，下列命题正确的有（ ）
A．
B．当点
为线段
的中点时，直线的斜率为
C．若
，则
D．
三．填空题
12．（2024·安徽·一模）椭圆C：
的左右焦点分别为
、
，点M 为其上的动点.当
为钝角
时，点M 的横坐标的取值范围是
13．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS 的边长为
，两个不同的点A，B 都在直线QS 的同侧
（但A，B 与P 在直线QS 的异侧），A，B 关于直线PR 对称，若
，则
面积的取值范围是
．
14．（2024·山西太原·一模）已知椭圆
，
为原点，过第一象限内椭圆外一点
作椭圆的两条
切线，切点分别为
.记直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，则
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的最小值是 .
四．解答题
15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：
的左，右焦点分别为
，
，
过
的直线与椭圆C 交于M，N 两点，且
的周长为8，
的最大面积为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设
，是否存在x 轴上的定点P，使得
的内心在x 轴上，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请
说明理由．
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16．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆
的焦距为2，不经过坐标原点
且斜率为1
的直线与
交于P，Q 两点，
为线段PQ 的中点，直线
的斜率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
，直线PB 与
的另一个交点为
，直线QB 与
的另一个交点为
，其中
，
均不为椭圆
的顶点，证明：直线MN 过定点.
17．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线
的实轴长为2，离心率为2，右焦点为
，
为
上的一个动点，
(1)若点
在双曲线
右支上，在
轴的负半轴上是否存在定点
．使得
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过
作圆
的两条切线
，若切线
分别与
相交于另外的两点
、
，证明：
三点共线．
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18．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线
，点
、
分别为双曲线的左、右焦点，A(x1, y1)、
B(x2, y2)为双曲线上的点.
(1)求右焦点
到双曲线的渐近线的距离；
(2)若
，求直线
的方程；
(3)若
，其中A、B 两点均在x 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形
的面积的
取值范围.
19．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆
：
的离心率为
，右顶点
与
的上，下顶点所
围成的三角形面积为
．
(1)求
的方程．
(2)不过点
的动直线与
交于
，
两点，直线
与
的斜率之积恒为
．
（i）证明：直线过定点；
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（ii）求
面积的最大值．
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