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9.4 点差法与定值、定点与最值
1
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2
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3
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4
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考点一 点差法及应用
【例1-1】（23-24 云南曲靖·期末）已知直线交抛物线
于
两点，且
的中点为
，
则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为
，
则
两式相减得
，整理得
，
因为
的中点为
，则
，
所以
，即直线的斜率为
.
故选：D.
【例1-2】（23-24 高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆
：
的右焦点为
，过点
的直线交椭圆
于
两点，若
的中点坐标为
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设A(x1, y1),B(x2, y2)，所以
，
两式相减可得
，整理可得
，
5
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根据题意可知直线
的斜率为
，
由
的中点坐标为
可得
；
因此
，可得
，
又焦点为
可得
，解得
；
所以椭圆
的方程为
.
故选：A
【例1-3】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为
，椭圆
与直线
交于
两点，线段
的中点为
，若直线
的斜率为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
则
，两式相减可得
，
，即
，
即
，
，故
.
故选：B
【一隅三反】
1．（2024·广东肇庆·一模）已知直线：
与双曲线
：
交于
，
两点，点
6
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是弦
的中点，则双曲线
的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，可得
，
，
两式相减可得
，
点
是弦
的中点，且直线：
，
可得
，
，
，
即有
，即
，
双曲线的渐近线方程为
．经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：B．
2．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线
焦点的直线交抛物线于
两点，已知
，线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】抛物线
的焦点
的坐标为
，
由题意可知：直线的斜率不为
，但可以不存在，且直线与抛物线必相交，
可设直线的方程为
，A(x1, y1),B(x2, y2)，
7
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联立方程
，消去x 可得
，
则
，
可得
，即
，
设
的中点为P(x0, y0)，则
，
，
可知线段
的垂直平分线方程为
，
因为
在线段
的垂直平分线上，
则
，可得
，
联立方程
，解得
，
故选：B.
3．（2024·江西宜春·三模）已知抛物线C：
的焦点为F，动直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A，B
两点，以线段OA，OB 为邻边作平行四边形OAPB，若点
（
），则当
取最大值时，
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】
8
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由题可知焦点F (1,0)，准线
，设线段AB 的中点为
，即为OP 中点，
则
，
．分别过A、B、M 向准线作垂线，垂足分别为
，
，
，
如图所示．
则
，当直线AB 过焦点F (1,0)时取等号，此时
．
设
、
，直线AB 的斜率为k，
由
，两式相减，得
，所以
，
即
，得
，所以
，又
，所以
．
故选：B．
考法二 定点
【例2】（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）已知直线
经过椭圆
的右焦点F 且被椭
圆C 截得的弦长为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点
的动直线m 与椭圆C 相交于A，B 两点，且直线l 上的点M 满足
，求证：直线
过
定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【解析】（1）由题意得
，
将
代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为
，
所以
，因此
，
解得
或
（舍去），
，
9
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即椭圆方程为
.
（2）当直线m 的斜率为0 时，直线
的方程为
，此时
；
当直线m 的斜率不为0 时，可设直线m 的方程为
，
代入椭圆方程，得到
，
由
，得到
或
，因此A，B 点不在直线l 上，
设点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则
，
，
则
，
因为
，所以
，
所以直线
的方程为
，
令
，得到
，
所以
，
综上，直线
过定点
.
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳·二模）已知椭圆
的一个焦点是
.直线
与直线
关于直线
10
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对称，且相交于椭圆
的上顶点.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求
的值；
(3)设直线
分别与椭圆
另交于
两点，证明：直线
过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）因为
相交且关于直线
对称，故
的交点在直线
上，
又直线
与
轴相交于点
，则椭圆
的上顶点为(0,1)，
设椭圆
的标准方程为
，则
，
又半焦距
，得
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）由（1）可得
.
设点B (x , y)是上任意异于
的一点，
点
是
关于直线
的对称点，
所以由
得
，
由
得
，
联立①、②，解得
，
11
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代入直线得
．
又由点
，在直线
上可得
，故
，
所以
，由
得
，
故
的值为1；
（3）设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．
联立直线与椭圆
：
，得
，
所以
，
同理，
，
又由（2）：
，所以
也可表示为
，
所以直线
的方程为
，
化简得
，
所以对任意的
，总会过点
．
故直线
过定点
．
12
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2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线
的离心率为
，点
在
上．
(1)求双曲线
的方程；
(2)直线与双曲线
交于不同的两点
，
，若直线
，
的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得
，
，所以
，
又点
在
上，故
，
解得
，
，
所以双曲线
的方程为：
．
（2）当斜率不存在时，显然不满足条件．
当斜率存在时，设其方程为
，与方程联立
联立，消去
得
，
由已知得
，且
，
设
，
，则
，
，
直线
，
的斜率分别为
，
，
由已知
，故
，
即
，
13
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所以
，
化简得
，又已知不过点
，故
，
所以
，即
，
故直线的方程为
，所以直线过定点
．
3．（2024·云南·模拟预测）抛物线
的图象经过点
，焦点为
，过点
且倾斜角为
的直线与抛物线
交于点
，
，如图．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)当
时，求弦|AB|的长；
(3)已知点
，直线
，
分别与抛物线
交于点
，
．证明：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）曲线
图象经过点
，所以
，所以
，
所以抛物线
的标准方程为
．
（2）由（1）知
，当
时，
,所以的方程为
，
联立
，得
，则
，
由
，所以弦
．
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（3）由（1）知
，直线
的斜率不为0，设直线
的方程为
，
，
，
，
，
联立
得
，
，
因此
，
．
设直线
的方程为
，联立
得
，
则
，因此
，
，得
，
同理可得
，
所以
．
因此直线
的方程为
，
由对称性知，定点在
轴上，
令
得，
，
所以，直线
过定点
．
考法三 定值
【例3】（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，
，过点
作两条斜率互为相反数的直线，分别交
于不同的两点
．
(1)求
的标准方程；
(2)证明：直线
的斜率为定值，并求出该值．
15
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【答案】(1)
(2)证明见解析，
【解析】（1）设
，且
，
因为
，又
，
所以
，解得
，
又点
在
上，所以
①，又
②，联立①②，解得
，
所以
的标准方程为
.
（2）设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
由
，消
得到
，
所以
，得到
，所以
，
同理可得
，
，
所以
为定值，
即直线
的斜率为定值，定值为
.
【一隅三反】
16
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1．（2024·四川乐山·三模）已知椭圆
的左､右焦点分别为
分别是椭圆
的上
下顶点，
分别是椭圆
的左右顶点，点
在椭圆
上，且
的面积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上的动点（不与
重合），是
在点
处的切线，直线
交
于点
，直线
交于点
，求证：直线
的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
．
点
在椭圆
上，
，解得
或
（舍）
．
椭圆
的方程为
．
（2）如图：
易知直线
斜率不为0，设直线
方程为
直线方程为：
，
联立
，得
．
17
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由
，得
，
．
直线
的斜率为：
．
直线
方程为：
．
令
，得
．
．
所以直线
的斜率为定值.
2．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E 的准线方程为：
，过焦点F 的直线与抛物线E 交于A、B 两点，
分别过A、B 两点作抛物线E 的切线，两条切线分别与y 轴交于C、D 两点，直线CF 与抛物线E 交于M、N 两
点，直线DF 与抛物线E 交于P、Q 两点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
18
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【解析】（1）因为抛物线的准线为：
，设
，则
，所以
，
故抛物线E 的标准方程为
.
（2）易知抛物线E 的焦点
，
设直线AB 的方程为
，A(x1, y1)、B(x2, y2)，
联立
可得
，
由韦达定理可得
，
，
接下来证明抛物线E 在点A 处的切线方程为
，
联立
可得
，即
，即
，
所以，直线
与抛物线E 只有唯一的公共点，
所以，AC 的方程为
，
同理可知，直线BD 的方程为
，
在直线AC 的方程中，令
，可得
，即点
，
同理可得点
，所以，直线
的方程为
，即
，
设点
、
，联立
，可得
，
由韦达定理可得
，
，
所以
，
19
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同理可得
，
所以
，
故
为定值
.
考法四 最值
【例4】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，且
，
过点
作两条直线
，直线与
交于
两点，
的周长为
．
(1)求
的方程；
(2)若
的面积为
，求的方程；
(3)若
与
交于
两点，且的斜率是
的斜率的2 倍，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
或
．
(3)
．
20
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【解析】（1）设椭圆的半焦距为
，由题意知
，所以
，
的周长为
，所以
，
所以
，
故
的方程为
．
（2）易知的斜率不为0，设
，
联立
，得
，
所以
．
所以
，
由
，
解得
，
所以的方程为
或
．
（3）由（2）可知
，
因为的斜率是
的斜率的2 倍，所以
，
得
．
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
．
21
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【一隅三反】
1．（2024·广东珠海·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，且
，点
在椭圆
上，直线
．
(1)若直线与椭圆
有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当
时，记直线与
轴，
轴分别交于
两点，
为椭圆
上两动点，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则
，故
，
而
在椭圆上，故
，
故
，故椭圆方程为：
，
由
可得
，
故
即
即
.
（2）当
时，直线
，故
，
22
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由题设可得
为位于直线
的两侧，不妨设
在直线
上方，
在直线
的下方，
当过
的直线与直线
平行且与椭圆相切时，
到直线
的距离最大及
的面积最大，
当过
的直线与直线
平行且与椭圆相切时，
到直线
的距离最大及
的面积最大，
由（1）可得相切时
即
，
当
时，切点的横坐标为
，切点坐标为
，在直线
上方，
此时
到
的距离为
，
当
时，切点的横坐标为
，切点坐标为
，在直线
下方；
此时
到
的距离为
，
又
故
.
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，离心率为
，且
经过点
.
(1)求
的方程；
(2)过
且不垂直于坐标轴的直线交
于
两点，点
为
的中点，记
的面积为
的面积
23
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为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
因为点
在椭圆上，所以
.
即
，解得
，所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）
解法一：
由（1）得
，依题意设
，
由
消去
，得
，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
，
设
，则
，
24
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，
由
得，
，
即
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
且
，
则
，解得
，且
，
所以
，所以
的取值范围为(0,2).
解法二：
由（1）得
，依题意设
，
由
消去
，得
，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
，
所以
，
设
，则
，
25
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，
令
且
，
则
代入
可得，
消去
得：
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，且
，
所以
，所以
的取值范围为(0,2).
3．（2025·浙江·模拟预测）已知P 为双曲线C：
上一点，O 为坐标原点，线段OP 的垂直平分线与双
曲线C 相切．
(1)若点P 是直线
与圆
的交点，求a；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）联立方程：
，解得
或
，
即点
为
或
，
26
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将点
代入双曲线C：
可得
，解得
，
所以
.
（2）先证：在双曲线
上一点
处的切线方程为
.
因为点
在双曲线
上，则
，
显然直线
过点
，
即
，
，
联立方程
，消去y 可得
，
即
，则
，解得
，
所以在双曲线
上一点
处的切线方程为
.
设
，
，则
，
可得线段OP 的垂直平分线为
，即
，
设直线与双曲线C 切于点(x1, y1)，则直线
，
27
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则
，即
，
且
，即
，整理可得
，
又因为
在双曲线C 上，则
，即
，
可得
，解得
（舍负），
则
，
令
，则
，可得
，
令
，则关于x 的方程
有正根，
即关于t 的方程
在
内有根，
设
，
若
，即
，则
，不合题意；
若
，即
，则
，解得
，不合题意；
若
，即
，则
，解得
；
综上所述：
，
则
，即
.
一．单选题
28
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1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆
，一组斜率
的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆
截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设斜率
的平行直线与椭圆相交于
，且中点为
，
可得
.
由
，两式相减得
，
整理得
，可得
，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为
.
故选：C.
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知直线
与椭圆
相交于
两点.若弦
被
直线
平分，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，因为弦
被直线
平分，设中点坐标
，
所以
，①
因为点
在直线
上，代入可得
，两式相减可得
，②
29
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又点
在椭圆上，代入可得
，两式相减可得
，
代入①②可得
，又椭圆中
，
所以离心率
，
故选：C
3．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线
，过点
的直线与
相交于A，B 两点，且
为弦
AB 的中点，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．−2
【答案】D
【解析】设
，
因为直线与
相交于A，B 两点，所以
，
由题意得
，
故选：D
4．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右顶点分别为
，点
是
椭圆
上异于
的点，
为平面内一点，且满足
，过点
作直线
的垂线与直线
交于点
，则
（ ）
A．12
B．16
C．24
D．32
【答案】C
【解析】设
坐标为
，则
，
30
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根据题意知
，
，所以
坐标为
，
直线
斜率为
，所以直线
方程为
，
直线
斜率为
，因为直线
与直线
垂直，
所以直线
的斜率为
，
所以直线
方程为
，
联立直线
方程
与
方程
，
求得
点坐标为
，则
，
，
所以
.
故选：C
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线
上一点
到准线的距离为
，到直线
的距
离为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由抛物线
知，焦点
，准线方程为
，根据题意作图如下；
31
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点
到直线
的距离为
，到准线
的距离为
，
由抛物线的定义知：
，
所以点
到直线
和准线
的距离之和为
，
且点
到直线
的距离为
，
所以
的最小值为
.
故选：D
6（24-25 高三上·贵州·开学考试）已知直线
与椭圆
相交于
两点，椭圆的
两个焦点是
，
，线段
的中点为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设A(x1, y1),B(x2, y2)，由题可知
，
，
则
，所以
，即
，解得
，
所以
，则
，
所以
，
故选：B．
7．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，
为坐标原点，
以
，
为邻边作平行四边形
，点
恰好在
上．若线段
的中点
在直线
上，则直线的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
32
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【解析】设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
，
则
，两式相减，得
，
故
，即
①．
又四边形
为平行四边形，
为线段
的中点，所以
为线段
的中点，
所以
，又P 在椭圆
上，
所以
，即
②．
由①②，得
，故直线的方程为
，
即
．
故选：B．
8．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线
，直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，若点
P 在直线l 上，且直线OP 把
分成面积相等的两部分，则下列能作为点P 的坐标的不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由A，B，P 三点共线且直线OP 把
分成面积相等的两部分可得点P 为线段AB 的中点，
33
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选项A：数形结合可知，直线l 的方程为
时，点
为AB 的中点，故
可以作为点P 的坐标，A 正确．
已知双曲线
(
)直线
与双曲线交于
，
两点，AB 的中点坐标为
，则
，
，两式相减可得
，
，得
选项B：由二级结论可得直线l 的斜率
，
故直线l 的方程为
，联立得
得
，
，
不能
作为点P 的坐标，B 错误．
选项C：可得直线l 的斜率
，故直线l 的方程为
，联立得
，得
，
，
可以作为点P 的坐标，C 正确．
选项D：可得直线l 的斜率
，故直线l 的方程为
，联立得
得
，
，
可以作为点P 的坐标，D 正确．
故选：B
二．多选题
9．（23-24 浙江宁波·阶段练习）已知斜率为
的直线交抛物线
于
、
两点，
下列说法正确的是（ ）
A．
为定值
B．线段
的中点在一条定直线上
34
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C．
为定值
D．
为定值（
为抛物线的焦点）
【答案】BC
【解析】若
，则直线
与抛物线y
2=2 px ( p>0)只有一个交点，
不合乎题意，则
，设直线
的方程为
，
联立
可得
，
，
对于A 选项，
不一定是定值，A 错；
对于B 选项，设线段
的中点为P(x0, y0)，则
，
为定值，故线段
的中点在定直线
上，B 对；
对于C 选项，
为定值，C 对；
对于D 选项，
不一定为定值，D 错.
故选：BC.
10．（2023·河北·一模）已知双曲线
的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近
线分别交于点A，B，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（ ）
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A．若
且直线l 的斜率存在，直线l 的方程为
B．若
，直线l 的斜率为1
C．若离心率
，
D．若直线l 的斜率不存在，
【答案】BCD
【解析】由题意
，双曲线
.
对于A，若
，则
，即
.
设
，
，则
，
，
利用点差法可得
，
所以直线l 的方程为
，即
，
所以
，即
，故A 错误；
对于B，若
，可得
,则
，由前面解答过程可知直线l 的斜率为
，即B 正确；
对于C，若离心率
，可得
.则双曲线
，其渐近线方程为
，
设
，
，
直线
，令
，
则
，由A 知
方程为
，
36
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联立方程
可得
，同理可得
，
所以
，故C 正确；
对于D，若直线l 的斜率不存在，则直线l 过双曲线的顶点，所以
，
双曲线的渐近线方程为
，当
时，代入渐近线方程易得A，B 两点的纵坐标为
，
所以
，故D 正确；
故选：BCD.
11．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过点
斜率为
的直
线与双曲线
的左､右两支分别交于
两点，下列命题正确的有（ ）
A．
B．当点
为线段
的中点时，直线的斜率为
C．若
，则
D．
【答案】BC
【解析】如图，
37
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由
可知，双曲线的渐近线方程为
，
由图可知，当过
点直线的斜率满足
时，直线与双曲线左右两支各交于一点，故A 错误；
设
，
，分别代入双曲线方程
，两式相减可得：
，点
为线段
的中点，
所以
，化简得
，故B 正确；
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，故C 正确；
由题意
，其中
，代入双曲线方程可得
，
，
，
，
，
38
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，故D 错误.
故选：BC
三．填空题
12．（2024·安徽·一模）椭圆C：
的左右焦点分别为
、
，点M 为其上的动点.当
为钝角
时，点M 的横坐标的取值范围是
【答案】
【解析】设
，焦点
，
.
因为
为钝角，所以
，
即
.
整理得：
.
因为点M (x , y)在椭圆
上，
代入得
解得
又因为
，所以点
纵坐标
的取值范围
.
故答案为：
.
13．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS 的边长为
，两个不同的点A，B 都在直线QS 的同侧
（但A，B 与P 在直线QS 的异侧），A，B 关于直线PR 对称，若
，则
面积的取值范围是
．
【答案】
39
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【解析】以PR 为x 轴，QS 为y 轴建系，则
，
，
设
，
，且
，
，所以
，
，
因为
，所以
，
即A 位于双曲线
的右支上，渐近线方程为
或
，
设点A 到直线PS 的距离为h，又直线
与直线PS 的距离为
，点
到直线PS 的距离为
，
则
，又
，
所以
面积的取值范围是
．
故答案为：
14．（2024·山西太原·一模）已知椭圆
，
为原点，过第一象限内椭圆外一点
作椭圆的两条
切线，切点分别为
.记直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，则
的最小值是 .
【答案】5
【解析】因为
，故
不关于
轴对称且
的横纵坐标不为0，
所以直线
方程斜率一定存在，
设直线
的方程为
，
联立方程
，消去y 可得
，
40
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则
，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则
，
，
可得y1 y2=(k x1+t)(k x2+t)=k
2 x1 x2+kt (x1+ x2)+t
2
，
且
，
，由
，可得
，
即
，解得
，
下面证明椭圆
在
处的切线方程为
，
理由如下：
当
时，故切线的斜率存在，设切线方程为
，
代入椭圆方程得：
，
由
，化简得：
，
所以
，
把
代入
，得：
，
于是
，
则椭圆的切线斜率为
，切线方程为
，
整理得到
，
其中
，故
，即
，
当
时，此时
或
，
41
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当
时，切线方程为
，满足
，
当
时，切线方程为
，满足
，
综上：椭圆
在
处的切线方程为
；
可知：椭圆在点A(x1, y1)的切线方程为
，
椭圆在点B(x2, y2)的切线方程为
，
由于点P(x0, y0)为
与
的交点，
故
，
，
所以直线
为
，
因为直线
的方程为
，对照系数可得
，
，
又
，故
，整理得
，
又P(x0, y0)在第一象限，
故点P(x0, y0)的轨迹为双曲线
位于第一象限的部分，
，同理可得
，
则
，
又由于
，
，
，故
，
设
，则
，
则两式联立得
，
由
得，
，
42
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检验，当
时，
，又
，
解得
，满足要求.
故
的最小值为4
故
的最小值是5
故答案为：5.
四．解答题
15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：
的左，右焦点分别为
，
，
过
的直线与椭圆C 交于M，N 两点，且
的周长为8，
的最大面积为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设
，是否存在x 轴上的定点P，使得
的内心在x 轴上，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
或
(2)存在，
【解析】（1）∵
的周长为8，
的最大面积为
，
∴
，解得
，
或
，
．
43
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∴椭圆C 的方程为
或等
．
（2）
由（1）及
易知F2(1,0)，
不妨设直线MN 的方程为：
，
，M (x1, y1)，N (x2, y2)，
联立
，得
．
则
，
，
若
的内心在x 轴上，则
，
∴
，即
，即
，
可得
．
则
，得
，即
．
当直线MN 垂直于x 轴，即
时，显然点
也是符合题意的点．
故在x 轴上存在定点
，使得
的内心在x 轴上.
16．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆
的焦距为2，不经过坐标原点
且斜率为1
的直线与
交于P，Q 两点，
为线段PQ 的中点，直线
的斜率为
.
(1)求椭圆
的方程；
44
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(2)设
，直线PB 与
的另一个交点为
，直线QB 与
的另一个交点为
，其中
，
均不为椭圆
的顶点，证明：直线MN 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由椭圆
的焦距为
得，
，则
.
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，A(x0, y0)，则
，
，
两式作差得，
，
所以
，即
，
所以
，所以
，
所以
，则
，解得
，
.
故椭圆
的方程为
.
（2）由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
，
，
则
，直线
的方程为
，
将其代入
得，
，显然
，
45
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则
，所以
，
将
代入直线
的方程，解得
，
所以
，同理得
，
所以
，得
，
即
，
整理得
，所以
，
因此直线
的方程为
，令
，即
，则
，
所以直线
过定点
.
17．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线
的实轴长为2，离心率为2，右焦点为
，
为
上的一个动点，
(1)若点
在双曲线
右支上，在
轴的负半轴上是否存在定点
．使得
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过
作圆
的两条切线
，若切线
分别与
相交于另外的两点
、
，证明：
三点共线．
【答案】(1)
46
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存在，
.
(2)证明见解析.
【解析】（1）根据题意，有
，
所以双曲线的方程为
.
设
，且
，
①当直线
的斜率存在时，即
时，
因为
，所以
，
，
从而
，化简整理得，
，
，所以在x 轴负半轴上存在点
使得
；
②当直线
的斜率不存在时，即
时，
若
，则
，此时P 点的坐标为(2,3)，
所以
，则
，又
，所以
，此时
，
综上，满足条件的M 点存在，其坐标为
.
47
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（2）设P(x0, y0)，由题意得，双曲线和圆相交，所以联立两曲线方程，得
，即为两曲线四个交点的坐标，
①当
时，即
时，直线PG 的斜率不存在，直线PE 的斜率为0，
此时易得
，此时点E、G 关于点O 对称，故E、O、G 三点共线.
②当
，且
或
，且
时，
此时直线PE、PG 的斜率存在且不为零，分别设为
，
设经过P(x0, y0)的直线方程为
，由于直线与圆相切，
所以
，即
由韦达定理得
，又
，所以
，
由直线PE 与圆的位置关系可知，
，
同理直线PG 的方程为
，有
，
48
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联立
，消去y 并整理得，
，
即
，
即
，
令
，根据韦达定理得
，所以
设
，又
，所以
，
所以
，又
，
两式相减得，
，
由图可知，
，所以
，即
.
所以点E、G 关于点O 对称，此时E、O、G 三点共线，
综上得，E、O、G 三点共线.
18．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线
，点
、
分别为双曲线的左、右焦点，A(x1, y1)、
B(x2, y2)为双曲线上的点.
(1)求右焦点
到双曲线的渐近线的距离；
(2)若
，求直线
的方程；
(3)若
，其中A、B 两点均在x 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形
的面积的
取值范围.
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【答案】(1)
(2)
(3)
.
【解析】（1）由题，右焦点
，渐近线方程为
，
因此焦点
到渐近线的距离为
.
（2）显然，直线
不与x 轴重合，设直线
方程为
，
由
，得
，
由
，得
，
其中，
恒成立，
，
，
代入
，消元得
，
，
即
，解得
，
所以，直线
的方程为
.
（3）延长
交双曲线于点P，延长
交双曲线于点Q.则由对称性得，
四边形
为平行四边形，且面积为四边形
面积的2 倍.
由题，设
，直线
程为
，直线
方程
，
由第（2）问，易得
，
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因为
，得
，因而
，
平行线
与
之间的距离为
，
因此，
.
令
，则
，
得
在
上是严格增函数，
故
（等号当且仅当
时成立），
所以，四边形
面积的取值范围为
.
19．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆
：
的离心率为
，右顶点
与
的上，下顶点所
围成的三角形面积为
．
(1)求
的方程．
(2)不过点
的动直线与
交于
，
两点，直线
与
的斜率之积恒为
．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求
面积的最大值．
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【答案】(1)
；
(2)（i）证明见解析；（ii）
.
【解析】（1）令椭圆
的半焦距为c，由离心率为
，得
，解得
，
由三角形面积为
，得
，则
，
，
所以
的方程是
.
（2）（i）由（1）知，点
，设直线的方程为
，设
，
由
消去x 得：
，
则
，
直线
与
的斜率分别为
，
，
于是
，整理得
，解得
或
，
当
时，直线
过点
，不符合题意，因此
，
直线：
恒过定点
.
（ii）由（i）知，
，
52
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则
，
因此
的面积
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
面积的最大值为
.
53
