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高中物理每日一题 Day20丨推力只有一个,为什么要取两个上限?

发布时间：2026-11-14 22:44:34 最近访问：2026-11-14 22:44:34

今天的题目卡来了，是 2023 湖南卷第 10 题，多选。建议先卡着时间自己做一遍，再回来看解析，主页有视频讲解。

先把前提一条条摆出来，后面每一步都靠它们，别当成「显然」跳过去：

杆与车厢始终保持相对静止 ⇒ 小车、A、B 三者加速度相同，这是题目给的，不是我们假设的。
地面光滑 ⇒ 把三者当整体时，水平方向外力只有 F。
左壁光滑 ⇒ 左壁只给 A 水平方向的支持力，不给摩擦；所以 A 的竖直方向只有重力和杆力两个力。
最大静摩擦力等于滑动摩擦力 ⇒ 静摩擦上限可以直接取 μN。
A 始终贴着左壁 ⇒ 左壁支持力不能为负，这是判 B、C 时最容易漏掉的那一条约束。

先别急着看正确解法。四个选项对应四种典型错法，病根其实就两个：数漏了质量，和把「约束」只列了一半。

错法一：只算小车，漏掉两个球，撞向 A 和 B

这一节 1 分钟，先把系统里有谁数清楚

算成什么：题目第一句就是「质量为 2m 的小车」，顺手写下 F = 2ma。摩擦力为零时 a = g tanθ，代进去 F = 2mg tanθ，A 看着挺对，B 也顺眼得很。

为什么这么想：2m 是题干第一个蹦出来的数字，眼睛先被它占住了。两个球缩在「车厢内」这半句话里，看着像配角，容易当成只提供内力的道具。

错在哪：用整体法，头一句就该问「系统里到底有谁在加速」。小车 2m，A、B 各 m，一共 4m，a = F/(4m)。f = 0 时 a = g tanθ，代回去 F = 4mg tanθ，正好是 A 那个数的两倍。A 和 B 一起错，都是这一个漏字连累的。

错法二：把 B 对底面的压力当成 mg

这一节 1 分钟，看杆到底往哪个方向顶

算成什么：B 的质量是 m，底面支持力自然按 mg 算，最大静摩擦 μmg。题目里所有出现 2μ 的地方都看着别扭，D 怎么凑都凑不出来。

为什么这么想：平时练得最多的是「一个物块搁在面上，N = mg」，肌肉记忆太深。这根斜杆看着只是把两个球连在一块儿，谁会想到它也在传力。

错在哪：A 竖直方向只有重力和杆力两个力，所以杆给 A 的竖直分量恰好是 mg；杆与竖直方向夹 θ，水平分量就是 mg tanθ。轻杆受压，落到 B 身上就是向右 mg tanθ、向下 mg。B 压底面的力 = 自身 mg + 杆压的 mg = 2mg，静摩擦上限是 2μmg。这一步一错，后面每个系数都跟着错。

错法三：只盯 B 不打滑，忘了 A 会离开左壁

这一节 2 分钟，把两条约束列全再取较小

算成什么：推力往左，只列 f ≤ 2μmg 这一条，解完就对着 B、C 比，越看越觉得 B 的 2mg tanθ 像答案；也有人两个上限都算出来了，却不知道该用哪一个。

为什么这么想：题干从头到尾都在说 B 和底面的动摩擦因数，注意力被底面吸得干干净净。左壁是光滑的，「不产生摩擦」就等于在脑子里不存在了。

错在哪：向左推时 a 取负，A 要贴住左壁，全靠左壁给它的向右支持力 N_A = m(a + g tanθ)，这个力不能为负，于是多出一条上限 F ≤ 4mg tanθ。B 不打滑给的是另一条 F ≤ 4mg(2μ−tanθ)。两条挑小的用：tanθ ≤ μ 时左壁那条更紧，最大值 4mg tanθ，B 错；μ < tanθ ≤ 2μ 时摩擦那条更紧，最大值 4mg(2μ−tanθ)，C 对。tanθ > 2μ 时摩擦上限直接变成负的，向左推根本无解，这正好就是 D 的前提。

错法四：把静摩擦当成一个数，看不懂 D 为什么是范围

这一节 1 分钟，明白 tanθ > 2μ 在保什么

算成什么：把 f 直接写成 ±μN，以为每个状态只有一个确定的摩擦力，于是只算得出一个「最大值」，看到 D 给的是一段区间，就认定它多写了一半；还有人觉得 tanθ > 2μ 是出题人随手加的凑数条件。

为什么这么想：滑动摩擦是个定值，静摩擦不是，它能在零到最大值之间随便取，方向还能左右换。这个区别平时考得少，一到临界题就露馅。

错在哪：f = m(a − g tanθ)，静摩擦只负责在 f ≤ 2μmg 这段范围里被动配合，于是 g(tanθ−2μ) ≤ a ≤ g(tanθ+2μ)，乘上总质量 4m，就是 D 的那段区间，下界上界缺一不可。至于 tanθ > 2μ，它保的是左端点为正，跟「推力向右」自洽；这时候 a 为正，A 一直压着左壁，不用再添约束。少了这个前提，下端点会跑到负半轴上去，D 那句「推力向右」就站不住了。

正确解法：四步走，每步只干一件事

第一步 · 整体定 a，隔离 A 求杆力：系统总质量 2m + m + m = 4m，所以 a = F/(4m)。A 竖直方向只有重力和杆力，于是杆对 A 是向上 mg、向左 mg tanθ，杆本身受压；那么杆对 B 就是向右 mg tanθ、向下 mg，N = 2mg，最大静摩擦 2μmg。

第二步 · 摩擦力为零，判 A：对 B 列水平牛二（向右为正），f + mg tanθ = ma。令 f = 0 得 a = g tanθ，F = 4m·g tanθ = 4mg tanθ，不是 2mg tanθ，A 错误。

第三步 · F 向左，两个上限挑小的，判 B、C：A 不脱壁给出 F ≥ −4mg tanθ，B 不打滑给出 f ≤ 2μmg ⇒ F ≥ −4mg(2μ−tanθ)。于是 F 向左时 F 最大 = min(4mg tanθ, 4mg(2μ−tanθ))：tanθ ≤ μ 取 4mg tanθ（B 错）；μ < tanθ ≤ 2μ 取 4mg(2μ−tanθ)（C 对）。第四步 · F 向右给出范围，判 D： f ≤ 2μmg ⇒ g(tanθ−2μ) ≤ a ≤ g(tanθ+2μ) ⇒ 4mg(tanθ−2μ) ≤ F ≤ 4mg(tanθ+2μ)，D 正确。tanθ > 2μ 保证左端点为正；这时候 a 为正，A 始终压着左壁。

选项卡在哪结论 A 只算小车 2m，漏掉两球各 m，正确值应是 4mg tanθ 错 B 同上，且 tanθ ≤ μ 时该取左壁那条上限 4mg tanθ 错 C 两个上限取较小，此时摩擦那条更紧正确 D 静摩擦给的是区间，N = 2mg 才有 2μ 正确

最后带走三个方法点：① 连接体先数总质量——整体法的第一句话永远是「系统里有谁在加速」，题干里第一个蹦出来的 2m 未必就是总质量；② 隔离 A 的时候留意杆是压着的——A 竖直方向只有两个力，把杆力的竖直分量钉死成 mg，反作用到 B 上就多出一份向下的 mg，N 从 mg 变成 2mg；③ 临界题先把约束列全，再取交集——左壁不脱、底面不滑各划一条线，两条上限挑小的用，静摩擦给的是一段区间不是一个值，别只顾着算「最大值」。