夜雨聆风
1 一、选择题
本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
第 1 题
当 时， 是 的
- A. 低阶无穷小
- B. 等价无穷小
- C. 高阶无穷小
- D. 同阶但非等价无穷小
知识点：
- 无穷小的比较与阶的判定；
- 等价无穷小 ；
- 变上限积分的渐近估计。
解析：
当 时，
因此
于是
故该积分是 的低阶无穷小。
答案： A
第 2 题
函数
在 处
- A. 连续且取极大值
- B. 连续且取极小值
- C. 可导且导数为
- D. 可导且导数不为
知识点：
- 函数在一点连续的判定；
- 导数定义；
- 指数函数的泰勒展开或重要极限。
解析：
由
知 在 处连续。
再由导数定义，
故 在 处可导，且导数不为 。
答案： D
第 3 题
有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 、。当底面半径为 ，高为 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为
- A.，
- B.，
- C.，
- D.，
知识点：
- 相关变化率；
- 多元函数的全微分与链式法则；
- 圆柱体体积、表面积公式。
解析：
设圆柱体的底面半径和高分别为 、。则
已知
因此
在 时，
又
故
答案： C
第 4 题
设函数 ，其中 。若 有两个零点，则 的取值范围是
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点：
- 函数零点个数的判定；
- 导数与单调性、极值；
- 含对数函数的参数讨论。
解析：
函数的定义域为 ，且
若 ，则 ，函数在 上单调递增，至多有一个零点。因此，要有两个零点，必须先有 。
当 时，令 ，得唯一驻点
又
故 为极小点。函数有两个零点当且仅当极小值小于 ，即
由于 ，故
答案： A
第 5 题
设函数 在 处的 2 次泰勒多项式为 ，则
- A.，
- B.，
- C.，
- D.，
知识点：
- 泰勒公式与泰勒多项式；
- 三角函数的导数；
- 二阶泰勒多项式系数的确定。
解析：
在 处，
又
因此， 在 处的二次泰勒多项式为
故 。
答案： D
第 6 题
设函数 可微，且
则
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点：
- 复合函数求导；
- 二元函数的全微分；
- 由不同参数曲线上的函数关系确定偏导数。
解析：
对
两边关于 求导，得
令 ，得
对
两边关于 求导，得
令 ，得
联立上述两式，解得
因此
答案： C
第 7 题
设函数 在区间 上连续，则
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点：
- 定积分的黎曼和定义；
- 等分求和与中点取样。
解析：
将区间 等分为 个小区间，则每个小区间的长度为
第 个小区间的中点为
相应的黎曼和为
由定积分的定义，极限即为 。
答案： B
第 8 题
二次型
的正惯性指数与负惯性指数依次为
- A.
- B.
- C.
- D.
知识点：
- 二次型与实对称矩阵；
- 二次型的矩阵表示；
- 特征值与正、负惯性指数。
解析：
展开二次型：
其对应的实对称矩阵为
计算特征多项式：
故特征值为 。正特征值和负特征值各有一个，因此正惯性指数与负惯性指数分别为 。
答案： B
第 9 题
设 3 阶矩阵 ，。若向量组 可以由向量组 线性表出，则
- A. 的解均为 的解
- B. 的解均为 的解
- C. 的解均为 的解
- D. 的解均为 的解
知识点：
- 向量组的线性表示；
- 矩阵分解；
- 齐次线性方程组的解空间与转置矩阵。
解析：
由 均可由向量组 线性表出，知存在 阶矩阵 ，使得
于是
若 是方程 的解，则
故 的任一解也是 的解。
答案： D
第 10 题
已知矩阵
若存在下三角可逆矩阵 和上三角可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，则 ， 可以分别取
- A.，
- B.，
- C.，
- D.，
知识点：
- 矩阵的初等变换；
- 初等矩阵与矩阵乘法；
- 下三角、上三角可逆矩阵；
- 矩阵的等价标准形。
解析：
取选项 C 中的矩阵
其中 为下三角可逆矩阵， 为上三角可逆矩阵。直接计算：
从而
为对角矩阵。
答案： C
2 二、填空题
本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
第 11 题
知识点：
- 广义积分；
- 偶函数积分；
- 换元积分法；
- 指数型积分的收敛性。
解析：
被积函数为偶函数，故
将 写为 。令
则
答案：
第 12 题
设函数 由参数方程
确定，则
知识点：
- 参数方程确定的函数的一阶、二阶导数；
- 参数求导法；
- 复合函数求导。
解析：
先求关于 的导数：
因此
再对 求导：
故
答案：
第 13 题
设函数 由方程
确定，则
知识点：
- 隐函数的存在与求导；
- 多元复合函数的偏导数；
- 隐函数偏导公式。
解析：
设
由题设 。当 时，
显然 满足该式。
对等式 关于 求偏导，得
其中
因此，在 处，
答案：
第 14 题
已知函数
则
知识点：
- 变上限积分求导；
- 微积分基本定理；
- 定积分换元法。
解析：
由微积分基本定理，
令
则
令
当 时，；当 时，。故
答案：
第 15 题
微分方程 的通解
知识点：
- 常系数齐次线性微分方程；
- 特征方程；
- 共轭复根对应的实通解。
解析：
对应的特征方程为
其根为
因此，微分方程的通解为
答案：
第 16 题
多项式
中 项的系数为
知识点：
- 行列式按行（列）展开；
- 多项式系数的提取；
- 代数余子式。
解析：
记给定行列式为 。按第一行展开，相关代数余子式为
于是
故 项的系数为 。
答案：
3 三、解答题
本题共 6 小题，共 70 分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 17 题
求极限
知识点：
- 函数极限；
- 等价无穷小与泰勒展开；
- 变上限积分的渐近展开；
- 通分处理相消型极限。
解析：
记
原极限为
当 时，
从而
而
因此
且
故
答案：
第 18 题
已知
求 的凹凸性及渐近线。
知识点：
- 含绝对值函数的分段讨论；
- 导数与凹凸性；
- 垂直渐近线与斜渐近线。
解析：
函数的定义域为 。分段表示为
对 ，
对 ，
于是
故曲线在 与 上凹向上，在 上凹向下。
又
故垂直渐近线为
当 时，
故右斜渐近线为
当 时，
故左斜渐近线为
结论：
- 凹向上区间：、；
- 凹向下区间：；
- 垂直渐近线：；
- 斜渐近线： 与 。
第 19 题
满足
为曲线 ，其中 。 的弧长为 ， 绕 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 ，求 和 。
知识点：
- 不定积分与被积函数的确定；
- 平面曲线弧长公式；
- 绕 轴旋转的曲面面积公式；
- 定积分计算。
解析：
对等式两边求导，得
因此
于是
在 上，
故弧长为
又 （），故旋转曲面的面积为
答案：
第 20 题
函数 的微分方程
满足 。
- 求 ；
- 为曲线 上的一点，曲线在点 的法线在 轴上的截距为 。为使 最小，求 的坐标。
知识点：
- 一阶线性微分方程；
- 初值问题；
- 曲线法线方程；
- 函数最值。
解析：
（1）求
原方程可写为
在包含初值点 的区间 上，其通解为
由初始条件
得
因此
（2）求使 最小的点
曲线的导数为
在点 处，法线斜率为
法线方程为
令 ，得到法线在 轴上的截距
求导：
当 时，；当 时，。故 时 取得最小值。
此时
且
答案：
第 21 题
曲线
其中 ，与 轴围成的区域为 ，求
知识点：
- 二重积分；
- 极坐标变换；
- 极坐标下的面积元；
- 三角函数换元。
解析：
作极坐标变换：
边界曲线化为
除去原点外，有
由于区域位于第一象限，且 ，故
因此
令
则
答案：
第 22 题
设矩阵
仅有两个不同的特征值。若 相似于对角矩阵，求 的值，并求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵。
知识点：
- 矩阵的特征值与特征向量；
- 特征多项式；
- 矩阵可对角化的充要条件；
- 相似对角化。
解析：
矩阵的特征多项式为
已知 仅有两个不同的特征值，故必有
情形一：
此时特征值 的代数重数为 。因 可对角化，故
而
要使该矩阵的秩为 ，必须有
当 时，可取
令
则
情形二：
此时特征值 的代数重数为 。因 可对角化，故
而
要使该矩阵的秩为 ，必须有
当 时，可取
令
则
答案：
相应地，可分别取 或 如上。
