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专练 14 函数模型及其应用
授课提示：对应学生用书27页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·河北唐山一中期中]某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染
物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：时)满足p(t)＝p×2－，其中p
0 0
为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则
p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
答案：C
解析：因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以
p＝600ln 2.因为p(t)＝p×2－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
0 0
2．[2024·广东惠州调研]为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾
分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市 2020年全年用于垃圾分类的资金为2
000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长 20%，则该市全年用于垃圾分类的
资金开始超过1亿元的年份是(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)( )
A．2030年 B．2029年
C．2028年 D．2027年
答案：B
解析：设经过n年后，投入资金为y万元，则y＝2 000·(1＋20%)n.
由题意得2 000(1＋20%)n＞10 000，即1.2n＞5，则n lg 1.2＞lg 5，所以n＞≈＝8.75，
所以n＝9，即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元．
3．2024年4月30日17时46分许，神舟十七号载人飞船返回舱在预定区域安全着陆，
神舟十七号载人飞船是使用长征二号F遥十七运载火箭发射成功的．在不考虑空气阻力的
情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量
m(单位：kg)的函数关系式为v＝2 000ln .如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量
与火箭的质量的关系是( )
A.M＝e6m B．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6 D．＝e6－1
答案：D
解析：12 km/s＝12 000 m/s，所以12 000＝2 000ln ，所以ln ＝6，则1＋＝e6，所以＝
e6－1，故选D．
4．[2024·江苏南京调研]新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同
时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为v ，初始时刻室内空气中含有颗粒
0
物的质量为m.已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v(v>1)，室内
空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为p(t)＝(1－λ)＋λe－vt，其中常数λ为过滤效率．
若该款新风机的过滤效率为，且t＝1时室内空气中颗粒物的浓度是t＝2时的倍，则v的值
约为(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6)( )
A．1.386 2 B．1.791 7
C．2.197 2 D．3.583 4
答案：B
解析：∵t＝1时室内空气中颗粒物的浓度是 t＝2时的倍，且λ＝，∴·＋·e－v＝(·＋·e－
2v)，即1＋4e－v＝(1＋4e－2v)，12e－2v－8e－v＋1＝0，(2e－v－1)(6e－v－1)＝0，解得ev＝2或ev
＝6，∵v>1，∴ev＝2舍去，故ev＝6，即v＝ln 6＝ln 2＋ln 3≈1.791 7.故选B.
5．[2024·重庆巴蜀中学月考]2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古学家在测定遗
址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减小”这一规律．已知样本中碳14的质量N
随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N ·2(N 表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某
0 0
文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参
考数据：log 3≈1.6，log 5≈2.3)( )
2 2
A．3 440年 B．4 010年
C．4 580年 D．5 160年
答案：B
解析：由题得0.6·N
0
＝N
0
·2，即2＝，
两边同时取以2为底的对数，则有＝log＝log 3－log 5≈－0.7，
2 2 2
故t≈0.7×5 730＝4 011年，最符合题意的选项为B.
二、填空题
6．某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，
为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的
销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函数y＝
abx＋c(b＞0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，
则5月份的销售量为________万部．
答案：1.375
解析：由题意可知，当选用函数f(x)＝ax2＋bx＋c时，由解得∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋
0.7，∴f(4)＝1.3；
当选用函数g(x)＝abx＋c时，由解得
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g(4)＝1.35.
∵g(4)比 f(4)更接近于 1.37，∴选用函数 g(x)＝abx＋c 模拟效果较好，∴g(5)＝－
0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的销售量为1.375万部．
7．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元
设该公司一年内生产该产品x千件(0＜x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单
位：万元)，且R(x)＝
当年产量为________千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．(注：年利
润＝年销售收入－年总成本)
答案：9
解析：设该公司在这一产品的生产中所获年利润为f(x)，当0＜x≤10时，f(x)＝xR(x)－
(100＋27x)＝81x－－100；
当10＜x≤25时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.
故f(x)＝
当0＜x≤10时，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)·(x－9)，
得当x∈(0，9)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(9，10)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
故f(x) ＝f(9)＝81×9－×93－100＝386.
max
当10＜x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.
综上，当x＝9时，年利润取最大值，为386.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．
8．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发
展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式
根据几个月运营发现，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足
x＝3－的函数关系．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格
为32万元．若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安
装费用的一半”之和，则该公司最大月利润为________万元．
答案：37.5
解析：由题意，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x
＝3－，
即t＝－1(1＜x＜3)，
所以月利润y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－－＝45.5－≤45.5－2＝37.5，当且仅当16(3－x)＝，即x＝时取等号，
即该公司最大月利润为37.5万元．
