文档内容
专练 43 圆的方程
授课提示：对应学生用书91页
[基础强化]
一、选择题
1．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(
)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案：D
解析：设所求的直线l的方程为x－y＋C＝0，∵直线l过圆心(0，3)，∴－3＋C＝0，C
＝3，故所求的直线方程为x－y＋3＝0.
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：D
解析：半径r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．已知点A是直角△ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则
△ABC外接圆的方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
答案：D
解析：∵A为直角，∴AB⊥AC，∴2a＝－4，a＝－2，
∴△ABC外接圆的圆心(－3，0)，半径r＝＝＝，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
4．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，1)
答案：C
解析：由题意得D2＋E2－4F>0，∴4＋4－4a>0，
∴a<2.
5．点P(5a＋1，12a)在(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．|a|<1 B．a<
C．|a|< D．|a|<
答案：D
解析：由题意得25a2＋144a2<1，∴a2<，得|a|<.
6．直线y＝kx－2k＋1恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝25C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
答案：B
解析：∵y＝kx－2k＋1可化为y＝k(x－2)＋1，恒过定点(2，1)，
则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
7．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4，则
圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案：C
解析：3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离为d＝＝2，显然圆的半径r＝＝1，与3x－
4y＝0和3x－4y＋10＝0的距离相等的直线为3x－4y＋5＝0，
由得
∴圆心(－3，－1)，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
8．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
答案：B
解析：由题意得圆心(1，1)在直线y＝kx＋3上，∴k＝－2.
9．(多选)已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M
满足MA·MB＝3，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．0
答案：BD
解析：设点M(x，y)，则MA＝(－x－1，－y)，MB＝(－x＋1，－y)，
所以MA·MB＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，
所以点M的轨迹方程为圆x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.
由此可知圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点．
又圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圆心为(2a－1，2a＋2)，半径为1，
所以1≤≤3，解得－1≤a≤.故选BD.
二、填空题
10．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．
答案：1
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件是 a2＋4a2－4(2a2＋a－
1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－20)，半径为m，直线＋＝1可化为3x＋4y
－12＝0，由题意得＝m，得m＝1或m＝6(舍去).∴△AOB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2
＝1.
[能力提升]
13．已知一个圆的圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切，则当圆的面
积最小时，该圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
答案：A
解析：设圆心为(x>0)，r＝≥＝，当且仅当x＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，
即圆的半径最小时，此时圆心(1，2)，半径为，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
14．(多选)设有一组圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是( )
k
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆C 均不经过点(3，0)
k
C．经过点(2，2)的圆C 有且只有一个
k
D．所有圆的面积均为4
答案：ABD
解析：对于A选项，圆心(k，k)一定在直线y＝x上，故A正确；对于B选项，将(3，
0)代入圆C 的方程整理得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，故所有圆C 均不经
k k
过点(3，0)，故B正确；对于C选项，将(2，2)代入圆C 的方程整理得k2－4k＋2＝0，其中
k
Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2，2)的圆C 有两个，故C错误；对于D选项，所有圆的半径
k
均为2，面积均为4，故D正确．故选ABD.
15．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线
与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．
答案：4
解析：如图：
∵y＝x＋2，∴k ＝－，
AC
∴∠ACD＝60°，过D作DE⊥AC于E，则|DE|＝|AB|.
∵圆心到直线l的距离d＝＝3，
∴＝r2－d2＝12－9＝3.
∴|AB|2＝12，则|AB|＝2.
在Rt△DEC中，|CD|＝＝＝4.16．已知点P(x，y)在(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的取值范围是________．
答案：[－－1，－1]
解析：设x＝2＋cos α，y＝－3＋sin α
∴x＋y＝sin α＋cos α－1＝sin －1∈[－－1，－1].
