文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无
效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、
考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】解： ，0， 是有理数；
是无理数．
故选B．
2．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿 ，用科学记数
法表示94600亿是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：94600亿 ，
故选D
3．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：不等式 的解为 ．
解集 在数轴上表现为不包括端点的射线，
D、B、C都不正确．
故选：A．
4．如图， 是 的直径， 与 相切于点 ， ， 的延长线交 于点 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵ 与 相切于点 ，，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵在 中， 是圆心角且所对的弧是 ， 是圆周角且所对的弧也是 ，
∴ ，
即 的度数是 ．
故选：A．
5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为 ，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，则蜡烛
火焰的高度是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是 ，
由相似三角形的性质得到： ，
解得 ，
即蜡烛火焰的高度是 ．
故选：C．
6．如图是一种轨道示意图，其中 、 、 、 分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）
分别从 ， 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为 和 ．
若移动时间为 ，两个机器人之间距离为 ．则 与 之间的函数关系用图像表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点 和 ，两个机器人的速度均为1．
当点 在边 上，点 在边 上时， ．
作 于点 ，可得矩形 和矩形 ．
， ．
， ．
两个机器人之间距离为 ．
．
，
函数图象为开口向上的二次函数．
故选项C和D不符合题意．
当机器人未出发时，点 在点 处，点 在点 处，如图1．
；
当机器人分别到达点 和点 时，如图2．
；
此时函数的 的值和未出发时 的值相同，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
7．计算： ．
【答案】 /【解析】解： ，
故答案为： ．
8．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
9．已知点 与点 均在反比例函数 的图象上，则 的值是 ．
【答案】0
【解析】解： 点 与点 均在反比例函数 的图象上，
，
即 ，
，
，
故答案为：0
10．已知关于 的一元二次方程 的一个根是2，则 的值为 ．
【答案】14
【解析】解：由题意得
，
解得： ；
故答案： ．
11．小明在教室中的座位是第3排第2列，简记作 ，则 表示 ．
【答案】第5排第3列
【解析】解：由题意可知座位的表示方法为排在前，列在后，
得小华的座位 表示第5排第3列．故答案为：第5排第3列．
12．如图，从一张圆心角为 的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形 ，则图中阴影部分的面积为
.
【答案】
【解析】解：如图，连接 ，
∵四边形 是边长为1的正方形，
， ，
，
，
由勾股定理得： ，
∴阴影的面积是
；
故答案为： ．
13．如图，在 中， 于E， 于F， 为 的平分线， 的面积是 ，， ．
【答案】2
【解析】解：∵ 中， 于E， 于F， 为 的平分线，
∴ ，
∵ 的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
14．如图，在 中， ， ，将 绕点A顺时针旋转得到 ，若 时，
则 的度数 ．
【答案】
【解析】解：∵将 绕点A顺时针旋转得到 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，在矩形 中， ， ，E是 边上一点，点F在 边的延长线上，且 ，
连接 交 边于点G， 垂直平分 ，分别交 ， ， 于点H，M，N．若 ，则
的长为 ．
【答案】
【解析】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，点F在 边的延长线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
16．如图，正方形 中， 为边 的中点，连接 为边AD上一动点，将 沿
所在直线翻折，若点A的对应点 恰好落在 的边上，则线段 的长为 ．
【答案】1或
【解析】解：如图：以点B为圆心， 为直径画圆，与 分别相交于两点，且为 ，然后过点
B分别作 的垂直平分线交 于
当A的的对称点落在 上时，即点 ；此时P为 上的 连接
∵四边形 是正方形
∴
则即
∴
∵ 为边 的中点，
∴
故
∴
如图：
当A的的对称点落在 上时，即点 ；此时P为 上的 连接 交 于一点 ，
∵ 沿 所在直线翻折
∴
即直线 是 的平分线，过点G作 ，
∴
∵四边形 是正方形
∴
∴
则
设 ，
则
∵∴
则 中，得
即
解得
∵
∴
则
解得
综上：线段 的长为1或
故答案为：1或
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（6分）17．解方程： ．
【解析】解： ，
去分母得: ，
去括号得: ，
移项得: ，
合并同类项，得 ．
（8分）18．先化简，再求值： ，其中 ，
【解析】解：原式将 ， 代入
原式
（8分）19．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助
力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果
如图1和图2所示．
(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；
(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；
(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？
【解析】（1）解： （人），
“捐款为15元”的学生有 （人），补全条形统计图如下：
（2）解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
（3）（3）样本平均数为 （元/人），
所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为 （元），
答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．
（8分）20．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了
厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌
谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平
起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学
生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在
分界线上时重转）．
(1)任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；
(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
【解析】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，
∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为：
故答案为：
（2）解：画出树状图，如图：
共有 种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有 种
故甲和乙选到不同活动项目的概率为：（8分）21．如图，在 中， ，点 是 中点， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【解析】（1）证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，点D是 的中点，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，点D是 的中点，
∴ ．
（7分）22．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新
型垃圾桶．若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾
桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【解析】（1）解：设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得： ，解得： ，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）解：设A型垃圾桶a个，
由题意可得： ，
解得 ，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
（8分）23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点
，与 轴交于点 ，过点 的直线与反比例函数 的图象交于点 .
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)若点 的纵坐标为1，求直线 的解析式；
(3)求 的面积.
【解析】（1）∵一次函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵点 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
把 代入，则 ，∴ ，
把 代入 得 ，
；
设直线 的解析式为 ，
则有 ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ；
（3）作 轴，交直线 于点 ，则 点的纵坐标为1，
代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（8分）24．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，
现有两条路线可以选择：① ，② ．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西
方向 米处，且位于C的北偏西 方向处．D位于A的正西方向 米处，E位于C的西南方向，
且正好位于D的正南方向．
（参考数据： ， ， ， ）(1)求A与C之间的距离（结果保留整数）；
(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时
更短？（结果保留一位小数）
【解析】（1）解：如图，过点A作 ，交 的延长线于点H，
则 ，
由题意可知， ， ，
∴ （米），
∴ （米），
即A与C之间的距离为500米；
（2）设 与 的交点为M，由题意可知， ，
∴四边形 是矩形，∴ 米， （米），
米，
由题意可知， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 米，
∴ 米，
∴路线①的步行的时间为 （分钟）
路线②的步行的时间为 （分钟）
∵ ，
∴走线路①用时更短．
（8分）25．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶
点称为格点，点A、B、C、D的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求
画图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中的线段 上找一点E，使 ．
(2)在图②中的线段 上找一点F，使 ．
(3)在图③中的线段 上找一点G，使点G到直线 距离之和为4
【解析】（1）解：如图，点E即为所求；理由：根据题意得： ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）解：如图，点F即为所求；
理由：根据题意得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）解：如图，点G即为所求．过点G作 ，分别交 于点P，Q，
根据题意得： ，
设点G到 的距离为h，
∴ ，
∴ ，
由作法得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 等于点G到 的距离，
此时 的长等于点G到直线 距离之和．
（9分）26．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若 是圆的“奇妙四边形”，则 是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 的半径为R，四边形 是 的“奇妙四边形”．求证： ；
(3)如图2，四边形 是“奇妙四边形”，P为圆内一点， ， ，
，且 ．当 的长度最小时，求 的值．
【解析】（1）解：若平行四边形 是“奇妙四边形”，则四边形 是正方形．
理由∶
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形，
∵四边形 是“奇妙四边形”，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
故答案为∶③；
（2）证明∶过点B作直径 ，分别连接 ， ， ， ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是“奇妙四边形”，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
（3）解：连接 交 于E，设 的长度为a， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵∴ ，
整理得 ，
∴
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴a有最小值2，
即 的长度最小值为2，
∴ ，
解得∶ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（10分）27.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与
轴交于点 ．(1)求抛物线 对应的函数表达式；
(2)如图1，点 为直线 下方抛物线上的一动点， 于点 轴交 于点 ．求线段
的最大值和此时点 的坐标；
(3)如图2，将抛物线 沿着 轴向左平移后得到抛物线 ，若点 是抛物线 与 在
轴下方的交点且 ，求抛物线 对应的函数表达式．
【解析】（1）解：把 、 代入 得：
，
解得 ，
抛物线 对应的函数表达式为 ；
（2）解：在 中，令 得 ，
，
由 ， ,设直线 解析式为 ，则直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵ ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
当 时， 取最大值 ，此时 的坐标为 ；
线段 的最大值是 ，此时点 的坐标为 ；
（3）解：过 作 于 ，过 作 轴交 轴于 ，过 作 于 ，如图：，
，
， ，
，
，
， ，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，
解得 ，
，
由 ， 同上得：直线 解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
，
，将抛物线 沿着 轴向左平移后得到抛物线 ，
设抛物线 解析式为 ，将 代入 得：
，
解得 或 （舍去），
抛物线 对应的函数表达式为 即 ．
