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2019 年上海市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
2
A．3x+2x＝5x2 B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x=
3
2．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n
3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
x x 3 3
A．y= B．y=- C．y= D．y=-
3 3 x x
4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是
（ ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
6．（4分）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长
是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】
7．（4分）计算：（2a2
）
2
＝ ．
8．（4分）已知f（x）＝x2 ﹣1，那么f（﹣1）＝ ．
9．（4分）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．
10．（4分）如果关于x的方程x2 ﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
11．（4分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大
于4的概率是 ．
12．（4分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致
意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，
1大桶加1小桶共盛
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
13．（4分）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是
2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函
数解析式是 ．
14．（4分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区 50户家庭某一天
各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活
垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区 300户居民这一天投放的可
回收垃圾共约 千克．
15．（4分）如图，已知直线1 1∥l 2，含30°角的三角板的直角顶点C在l 1上，30°角的顶点A在l 2上，
如果边AB与l 1的交点D是AB的中点，那么∠1＝ 度．16．（4分）如图，在正边形ABCDEF中，设 → →， → →，那么向量 → 用向量→、→表示为 ．
BA=a BC=b BF a b
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结
DF，那么∠EDF的正切值是 ．
18．（4分）在△ABC和△A 1 B 1 C 1中，已知∠C＝∠C 1＝90°，AC＝A 1 C 1＝3，BC＝4，B 1 C 1＝2，点D、D 1分别在
边AB、A 1 B 1上，且△ACD≌△C 1 A 1 D 1，那么AD的长是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
1
19．（10分）计算：|❑√3-1|-❑√2×❑√6+ -8 2
2-❑√3 ❑3
2x 8
20．（10分）解方程： - =1
x-2 x2-2x
1
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y= x，且经过点A
2
（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程
中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所
示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
23．（12分）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交
⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2 ＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2 ﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2 ﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2 ﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点
C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
25．（14分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长
线于点E．
1
（1）求证：∠E═ ∠C；
2
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 S △ADE的值．
S
△ABC2019 年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．【解答】解：（A）原式＝5x，故A错误；
（C）原式＝6x2 ，故C错误；
3
（D）原式= ，故D错误；
2
故选：B．
2．【解答】解：∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
故选：D．
3．【解答】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：A．
4．【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
1
则其中位数为8，平均数为8，方差为 ×[（7﹣8） 2+3×（8﹣8） 2+（9﹣8） 2]＝0.4；
5
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
1
则其中位数为8，平均数为8，方差为 ×[（6﹣8） 2+（7﹣8） 2+（8﹣8） 2+（9﹣8） 2+（10﹣8） 2]＝
5
2，
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
5．【解答】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：D．
6．【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．{x+ y=5
由题意： z-x=6，
z- y=7
{x=3
解得 y=2，
z=9
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】
7．【解答】解：（2a2
）
2 ＝22a4 ＝4a4
．
8．【解答】解：当x＝﹣1时，f（﹣1）＝（﹣1） 2 ﹣1＝0．
故答案为：0．
9．【解答】解：∵正方形的面积是3，
∴它的边长是❑√3．
故答案为：❑√3
10．【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，
1
∴m＞ ．
4
1
故填空答案：m＞ ．
4
11．【解答】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
2 1
∴掷的点数大于4的概率为 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
12．【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
{5x+ y=3
则 ，
x+5 y=2
故5x+x+y+5y＝5，5
则x+y= ．
6
5
答：1大桶加1小桶共盛 斛米．
6
5
故答案为： ．
6
13．【解答】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+2．
故答案为：y＝﹣6x+2．
300
14．【解答】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 ×100×15%＝90（千克），
50
故答案为：90．
15．【解答】解：∵D是斜边AB的中点，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵1 1∥l 2，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣60°＝120°．
故答案为120．
16．【解答】解：连接CF．
∵多边形ABCDEF是正六边形，
AB∥CF，CF＝2BA，∴ → →，
CF=a
∵ → → → ，
BF=BC+CF
∴ → 2→ →，
BF= a+b
故答案为2→ →．
a+b
1
17．【解答】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB= ∠AEF，
2
∵正方形ABCD中，E是AD的中点，
1 1
∴AE＝DE= AD= AB，
2 2
∴DE＝FE，
∴∠EDF＝∠EFD，
又∵∠AEF是△DEF的外角，
∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，
1
∴∠EDF= ∠AEF，
2
∴∠AEB＝∠EDF，
AB
∴tan∠EDF＝tan∠AEB= =2．
AE
故答案为：2．
18．【解答】解：如图，∵在△ABC和△A
1
B
1
C 1中，∠C＝∠C 1＝90°，AC＝A
1
C 1＝3，BC＝4，B
1
C 1＝2，
∴AB 5，
=❑√32+42=
设AD＝x，则BD＝5﹣x，
∵△ACD≌△C 1 A 1 D 1，
∴C
1
D 1＝AD＝x，∠A
1
C
1
D 1＝∠A，∠A
1
D
1
C 1＝∠CDA，
∴∠C
1
D
1
B 1＝∠BDC，∵∠B＝90°﹣∠A，∠B 1 C 1 D 1＝90°﹣∠A 1 C 1 D 1，
∴∠B
1
C
1
D 1＝∠B，
∴△C
1
B
1
D∽△BCD，
BD BC 5-x
∴ = ，即 =2，
C D C B x
1 1 1 1
5
解得x= ，
3
5
∴AD的长为 ，
3
5
故答案为 ．
3
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
1
19．【解答】解：|❑√3-1|-❑√2×❑√6+ -8 2
2-❑√3 ❑3
=❑√3-1﹣2❑√3+2+❑√3-4
＝﹣3
20．【解答】解：去分母得：2x2 ﹣8＝x2 ﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
21．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
1
∵一次函数的图象平行于直线y= x，
2
1
∴k= ，
2
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
1
∴3= ×2+b，
2
∴b＝2，
1
∴一次函数的解析式为y= x+2；
21 1
（2）由y= x+2，令y＝0，得 x+2＝0，
2 2
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（﹣4，y），
∵AC＝BC，
∴ ，
❑√(2-0) 2+(3- y) 2=❑√(-4-0) 2+(0- y) 2
1
∴y=- ，
2
1
经检验：y=- 是原方程的根，
2
1
∴点C的坐标是（0，- ）．
2
22．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45❑√3厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（45❑√3+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45❑√3+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE 30 厘米，
=❑√AD2+DE2= ❑√10∴EE′＝30❑√10厘米．
答：E、E′两点的距离是30❑√10厘米．
23．【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，
∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OA＝OD，
∴O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD＝CD；
（2）如图2，连接OB，∵AB2 ＝AO•AD，
AB AD
∴ = ，
AO AB
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形．
24．【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2 ﹣2t，
解得：t＝0或3，
故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；
②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），
∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x＝m在y轴左侧，
∵BC与OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，
故新抛物线是由抛物线y＝x2 ﹣2x向左平移2个单位得到的，
∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1） 2 ﹣1．
25．【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
1 1
∴∠BAD= ∠BAC，同理∠ABD= ∠ABC，
2 2
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
1 1
∴∠ADE= （∠ABC+∠BAC）＝90°- ∠C，
2 2
1 1
∴∠E＝90°﹣（90°- ∠C）= ∠C．
2 2
（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，
BF BD
∴∠AFB＝∠EAD＝90°， = ，
AF DE
∵BD：DE＝2：3，
BF BF 2
∴cos∠ABC= = = ．
AB AE 3
（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
1
∵∠E= ∠C，
2
1
∴∠ABC＝∠E= ∠C，
2
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此时 S △ADE= 2 -❑√3 ．
S
△ABC
1
②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠E= ∠C＝45°，
2
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此时 S △ADE= 2 -❑√2 ．
S
△ABC
综上所述，∠ABC＝30°或45°， S △ADE= 2 -❑√3 或2 -❑√2 ．
S
△ABC
