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第一讲 和差倍比与方程法
✎方程法：
找到题干的等式关系！
例题1（2021国考）
社区工作人员小张连续4天为独居老人采买生活必需品，已知前三天共采买65次，其
批注 [1]: 等式关系：把前3天表示出来，加和等于65
中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和少15次，第四
天采买次数比第一天的2倍少5次。问这4天中，小张为独居老人采买次数最多和最少的日
子，单日采买次数相差多少次？
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】C
【解析】第一天出现的频率比较高，可以从第一天开始设未知数，设第一天x，则第二
天1.5x，第三天2.5x-15，第四天2x-5.前三天加在一起：5x-15=65，解得x=16。
依次代入，第一天16，第二天24，第三天25，第四天27，题目所求为27-16=11。
例题2（2024深圳）
老刘家有 100 亩草场，平均每亩草场年产草料 4 吨。草场上饲养了羊、驴、牛共 252
头，每头羊年均需草料1吨，每头驴年均需草料2吨，每头牛年均需草料5吨。去年老刘家
草场恰好能满足草料需求，今年老刘没有饲养羊，但驴和牛的数量都翻了一倍，草场仍恰好
满足草料需求，则老刘家去年饲养了多少头牛？
A．32 B．33
C．34 D．35
【答案】A
【解析】方法一：依次设养了羊、驴、牛x、y、z头，可列方程：
头
吃
今
数
的
年
：
草
情
x
料
况
+ y
：
：2
+
x(2
z
+
y
=
2
+
2 5 2
y + 5 z
) 5 z =
=
4 0
4
0
0 0
解得x=200，y=20，z=32
方法二：分析题干，去年驴和牛共吃200吨草料，羊吃了200吨，所以有200只羊。
设驴和牛各x、y头：
x+y=52
2x+5y=200
解得x=200，y=20，z=32
例题3（2024国考副省）
甲、乙、丙和丁四个汽车租赁公司可用汽车数量比为5:4:3:2，现甲公司调度4辆汽车
到丙公司，丁公司调度1辆汽车到乙公司后，丁公司可用汽车数量正好是丙公司的60%。问
批注 [2]: 本题等式关系
此时甲公司的可用汽车数量比乙公司？
A．少12辆 B．少22辆
C．多12辆 D．多22辆
【答案】C
【解析】设未知数
汽车租赁公司 甲 乙 丙 丁
调度前 5x 4x 3x 2x
调度后 5x-4 4x+1 3x+4 2x-1
根据等式关系列方程：0.6（3x+4）=2x-1，解得x=17
所求甲-乙=5x-4-（4x+1）=x-5=12量。
例题4（2024国考地市）
某县开展冬日暖心活动，向困难户发放慰问大礼包，各镇根据实际情况安排物资发放。 批注 [3]: 用一个未知数能表示出三个镇发放的大米袋数
乙镇平均每个困难户发放的大米比丙镇多1袋，比甲镇少1袋，且各镇发放的大米总量相同。 批注 [4]: 再用一个未知数能表示出这三个镇的户数
若甲镇的困难户比乙镇少60户，比丙镇少150户，则这三个镇发放的大米共有多少袋？ 批注 [5]: 各镇发放的大米总量相同，所以3个镇总量=3×
各镇总量，这里存在一个3倍关系，选项通常会设置一个
A．1800 B．3600
干扰项，C选项是A选项的3倍，A是干扰项，如果考试
C．5400 D．7200 时间不够可以直接蒙C。
有时间还是别蒙。【答案】C
【解析】设大米袋数，再设困难户数量
甲 乙 丙
大米袋数 X+2 X+1 x
困难户数量 y Y+60 Y+150
列方程：(x+2)y=(x+1)(y+60)，整理得y-60x=60
批注 [6]: 大米袋数×困难户数量为各镇发放的大米总量，
（x+2）y=x（y+150）,整理得y=25x，联立这两个方程，解得x=4，代回去，所求为5400. 各镇发放的大米总量相同。
例题5（2022国考）
张和李2名社区工作者上门统计某小区内住户的新冠疫苗接种情况，两人各负责1栋住
宅楼，每访问1户居民均需要5分钟。李因处理公文比张晚出发一段时间。已知14:00时两
人共访问63户，15:00时张访问的户数是李的2倍。问李访问完50户居民是在什么时候？
A．16:30 B．16:45
C．17:00 D．17:15
【答案】B
【解析】方法1：两个方程两个未知数，可自行解方程：
14点时候，张+李=63；
15点时候，过了一小时，张+12=2（李+12）。
方法2：直接看15点，如果有多个未知数，可以看其中两个能不能构成一个整体。
把张李看作一个整体，14点时，张李=63；15点，张李=87，87可以分为3份，张58，
李29。李在3点访问了29户，距离50还有21户，每5分钟访问一户，21×5=105分钟，
从3点开始105分钟之后，对应16:45.
例题6（2023国考副省级）
甲、乙、丙三家科技企业2021年的收入之和比2020年提升了20%。其中甲企业的收入
批注 [7]: 等式关系
上升了400万元，乙企业的收入下降了100万元且是甲企业收入的一半，丙企业的收入上升
了30%且其2020年的收入与甲、乙两企业同年收入之和相同。问2020年甲企业的收入比乙
企业高多少万元？
A．900 B．1100
C．400 D．600
【答案】D
【解析】
科技企业 甲 乙 丙
2020 2x-400 X+100 3x-3002021 2x x 3.9x-390
根据题意，可列：
1.2（2x-400+X+100+3x-300）=2x+x+3.9x-390，整理得0.3x=330，x=1100
求：甲-乙=x-500=600
✎不定方程：
未知数多于方程数量！！！
常见解法：倍数特性、尾数法、奇偶法
例题7（2020下半年四川）
某人花 400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28 元/
盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙分别为x、y、z盒。
根据题意列方程：28x+32y+33z=400，其中28x、32y、400分别为4的倍数，则33z也
是4的倍数，33不是4的倍数，那么z是4的倍数，求z，选项里只有B是4的倍数，选B。
例题8（2018江苏）
小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6元。已知红色笔单
价为1.7元、黄色笔为3元、蓝色笔为4元，则小李买的笔总数最多是多少支？
A．19支 B．20支
C．21支 D．22支
【答案】C
【解析】给了单价和总价，可以根据总价列方程。
设红、黄、蓝分别x、y、z支，均为整数支，可列方程：1.7x+3y+4z=40.6，
因为笔是整数支，所以3y和4z都是整数，最后总花费有小数点，小数点来自1.7x，小数点后尾数是0.6，x可以是8、18、28……想买的笔总数尽量多，那需要多买便宜的，
因此要x尽量大，选项最大到22，x≤22，x最大取到18。1.7x=1.7×18=30.6，代入方程
3y+4z=10，4z和10都是2的倍数，因此3y也是2的倍数，3不是2的倍数，所以y是2
的倍数。y=2时，z=1，总数为18+2+1=21.
例题9（2020浙江）
某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50人，
小车每次能送36人，所有车辆送2趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车？
A．多5辆 B．多2辆
C．少2辆 D．少5辆
【答案】A
【解析】设大车x辆，小车y辆。
所有车辆送2趟，则送1趟是：50x+36y=1110，整理得：25x+18y=555.
25x和555是5的倍数，18y也得是5的倍数，18不是5的倍数，y是5的倍数。
当y=5，不符合；
当y=10，x=15，符合题目要求。
例题10（2022江苏）
某企业年终评选了30名优秀员工，分三个等级，分别按每人10万元、5万元、1万元
给与奖励。若共发放奖金89万元，则获得1万元奖金的员工有多少？
A．14人 B．19人
C．20人 D．21人
【答案】B
【解析】设获得3个奖项的优秀员工分别有x、y、z人，根据题意，可列方程：
10x+5y+z=89
x+y+z=30
联立，整理可得：4z=61+5x，61是奇数，4z是偶数，奇数+奇数=偶数，所以5x也是奇数，
x=1、3、5……分别试解，当x=3时，z=19，y=8，符合题意，选B。
例题11（2024联考）
商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15元、9元、4元和1元。某日销售
这四种商品共40件，共盈利201元。四种商品每种至少销售1件，且甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量为多少件？
A．21 B．27
C．29 D．31
【答案】D
【解析】分别设甲、乙、丙、丁四种商品销量为x、y、z、x件。
x
1 5
+
x
y
+
+
9
z
y
+
+
x
4
=
z +
2 x
x
+
=
y
1 6
+
x
z
+
=
9
4
y
0
+ 4 z = 2 0 1
联立整理得：4z-y=119,4z=119+y。因为y≥1,4z≥120，z最小为30，只有D选项符合
条件。
例题12（2023上海）
足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值主裁判决定的。某场
比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30秒，每次换人增加20秒，其他
情况每次增加10秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时长为4分30秒。若已
知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有10次，那么下半场两队
总共换了多少人？
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】设处理受伤x次、换人y次、其他情况z次。
3
x
0
+
x +
y
2
+
0
z
y
=
+
1
1
0
0 z = 2 7 0
，整理得2x+y=17。Y=1时，x=8，z=1，符合条件。Y=2、3时
都不符合题目要求，因此选A。
✎倍比问题：例题13（2022天津）
一个袋子里红球、白球、蓝球的数量比例为3∶8∶4，再向袋子中放入14个红球和若
干个蓝球后，红球、白球、蓝球的数量比例变为5∶4∶3。如果此时从袋子里取出10个红
球、6个白球和2个蓝球后，袋子里剩余红球、白球、蓝球的数量比例为多少？
A．1∶2∶1 B．2∶3∶1
C．1∶1∶2 D．1∶1∶1
【答案】D
【解析】没放白球，白球没变。
比例从8变成4，是约分了。
把比例还原回去。原来3∶8∶4，现在5∶4∶3，即10∶8∶6。
红球加了7份，7份=14，即一份为2个。数量分别为20个、16个、12个，取出后，
剩10个，10个，10个，比例为1:1:1.
例题14（2024国考副省）
市政部门采购了一批灯带用于美化夜景，有30灯珠/条的M型和60灯珠/条的N型两种
规格，单价分别是20元/条和30元/条。已知所采购M型灯带的总灯珠数量是N型的2倍，
M型灯带的总价比N型多3万元，问共采购灯带多少条？
A．2400 B．2700
C．3000 D．3300
【答案】C
【解析】总灯珠=单条灯珠数×数量
M N
总灯珠（份数） 2 1
单条灯珠数（份数） 0.5 1
数量（份数） 4 1
灯 珠 条 数 =
灯
每
珠
条
总
灯
数
珠
量
数
=
213
06
0
= 4
批注 [8]: 没放白球，白球没变。
，M型买4份，N型买1份，一共买的是5的倍数，C
选项5×600，C是正确答案概率高。
设买N灯带x条，4x×20-30x=30000，解得x=600.
