文档内容
秘密★启用前
2024 年遂宁市初中毕业暨高中阶段学校招生考试
数学试卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用 0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答
题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理
数的三种形式：1、开方开不尽的数， 2、无限不循环小数，3、含有 的数．
【详解】解： ， ，0都是有理数， 是无理数，
故选：C．
2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合
的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，
右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
1【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：由实物图可知，从从正面看到的图形是 ，
故选： ．
3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电
子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以 万辆
的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达 ．将销售数据用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： 万 ，
故选： ．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算、平方差公式分
别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
2【
详解】解： 、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项正确，符合题意；
故选： ．
5. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出
来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解： ，
由 得， ，
由 得， ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的解集在数轴上表示为 ，
故选： ．
6. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为 的正多边形图案，这个正多边形
3的每个外角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为 ，先根据内角和求出正多边形的边数，
再用外角和 除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设这个正多边形的边数为 ，
则 ，
∴ ，
∴这个正多边形的每个外角为 ，
故选： ．
7. 分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解
的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程 的解为正数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
4即 ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 且 ，
故选： ．
8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为 米的圆，为预估淤
泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽 为 米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点 作
于 ，由垂径定理得 ，由勾股定理得 ，又根据圆的直径为
米可得 ，得到 为等边三角形，即得 ，再根据淤泥横截面的面积
即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ，则 ， ，
5∵圆的直径为 米，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴淤泥横截面的面积 ，
故选： ．
9. 如图1， 与 满足 ， ， ， ，我们称这样的两
个三角形为“伪全等三角形”如图2，在 中， ，点 在线段 上，且 ，
则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一
个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
6在 中， ，
在
中， ，
在 中，
综上所述，共有4对“伪全等三角形”，
故选：D．
10. 如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的对称轴为直线 ，且该抛物线
与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 ， 之间（不含端点），则下列结论正确的有多少
个（ ）
；
①
；
②
；
③
若方程 两根为 ，则 ．
④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得 ， ， ，即
7可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为 ，即可判断②错误；将c和b用a表示，
即可得到 ，即可判断③正确；结合抛物线 和直线 与 轴得交点，
即可判断④正确．
【详解】解：由图可知 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ， ，
则 ，
∵抛物线 与 轴的交点 在 ， 之间，
∴ ，
则 ，故①错误；
设抛物线与 轴另一个交点 ，
∵对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
则 ，故②错误；
∵ ， ， ，
∴ ，解得 ，故③正确；
根据抛物线 与 轴交于点 和 ，直线 过点 和 ，如图，
8方程 两根为 满足 ，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．
【详解】解：
故答案为：
12. 反比例函数 的图象在第一、三象限，则点 在第______象限．
【答案】四##
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出 ，进而即可求
解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在第一、三象限，
∴
9∴
∴点 在第四象限，
故答案为：四．
13. 体育老师要在甲和乙两人中选择 人参加篮球投篮大赛，下表是两人 次训练成绩，从稳定的角度考虑，
老师应该选______参加比赛．
甲
乙
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键．
【详解】解：甲的平均数为 ，
∴ ，
乙的平均数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴甲成绩更稳定，
∴应选甲参加比赛，
故答案为：甲．
14. 在等边 三边上分别取点 ，使得 ，连结三点得到 ，易得
，设 ，则
10如图①当 时，
如图②当 时，
如图③当 时，
……
直接写出，当 时， ______．
【答案】 ##0.73
【解析】
【 分 析 】 本 题 主 要 考 查 数 字 规 律 性 问 题 ， 首 先 根 据 已 知 求 得 比 例 为 n 时 ，
，代入 即可．
【详解】解：根据题意可得，当 时， ，
则当 时， ，
故答案为： ．
15. 如图，在正方形纸片 中， 是 边的中点，将正方形纸片沿 折叠，点 落在点 处，延
11长 交 于点 ，连结 并延长交 于点 ．给出以下结论：① 为等腰三角形；② 为
的中点；③ ；④ ．其中正确结论是______．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】设正方形 的边长为 ， ，根据折叠的性质得出 ，根据中点的性质得出
，即可判断①，证明四边形 是平行四边形，即可判断②，求得 ，设
，则 ，勾股定理得出 ，进而判断③，进而求得 ， ，勾股定理求得
，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ 为 的中点，
∴
设正方形的边长为 ，
则
12∵折叠，
∴ ，
∴
∴ 是等腰三角形，故①正确；
设 ，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，即 是 的中点，故②正确；
∵ ，
∴
在 中， ，
∵
∴
设 ，则 ，
∴
∴
∴ ， ，
13∴ ，故③正确；
连接 ，如图所示，
∵ ， ，
又
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
14在 中，
∴ ，故④不正确
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握
以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
16. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数
值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：
．
17. 先化简： ，再从1，2，3中选择一个合适的数作为 的值代入求值．
【答案】 ；
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分
式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解．
【详解】解：
15∵
∴当 时，原式
18. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点 为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 ；
③顺次连结所得的四点得到四边形 ．
于是可以直接判定四边形 是平行四边形，则该判定定理是：______．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角
线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形 是平行四边形， ．求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）证明见解析
【解析】
16【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；
（2）先证明 ，再证明 ，可得 ，从而可得
结论．
【小问1详解】
解：由作图可得： ， ，
∴四边形 是平行四边形，
该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边
形与矩形的判定方法是关键．
19. 小明的书桌上有一个 型台灯，灯柱 高 ，他发现当灯带 与水平线 夹角为 时（图
1），灯带的直射宽 为 ，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到
与水平线夹角为 时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点 到桌面的距离．（结果保留1
位小数）（ ）
17【答案】此时台灯最高点 到桌面的距离为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中， ，在图2中求得 ，进而根据
灯柱 高 ，点 到桌面的距离为 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 交 于点 ，
在图1中，
∵
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴
在 中，
在图2中，过点 作 于点 ，
18∴
∵灯柱 高 ，
点 到桌面的距离为
答：此时台灯最高点 到桌面的距离为 ．
20. 某酒店有 两种客房、其中 种 间， 种 间．若全部入住，一天营业额为 元；若
两种客房均有 间入住，一天营业额为 元．
（1）求 两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对 种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加 元，就
会有一个房间空闲；当 种客房每间定价为多少元时， 种客房一天的营业额 最大，最大营业额为多
少元？
【答案】（1） 种客房每间定价为 元， 种客房每间定价为为 元；
（2）当 种客房每间定价为 元时， 种客房一天的营业额 最大，最大营业额为 元．
【解析】
【分析】（ ）设 种客房每间定价为 元， 种客房每间定价为为 元，根据题意，列出方程组即可求
解；
（ ）设 种客房每间定价为 元，根据题意，列出 与 的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可
求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解
析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设 种客房每间定价为 元， 种客房每间定价为为 元，
由题意可得， ，
19解得 ，
答： 种客房每间定价为 元， 种客房每间定价为为 元；
【小问2详解】
解：设 种客房每间定价为 元，
则 ，
∵ ，
∴当 时， 取最大值， 元，
的
答：当 种客房每间定价为 元时， 种客房一天 营业额 最大，最大营业额为 元．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方
程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明 恒成立即可；
（2）由题意可得， ， ，进行变形后代入即可求解．
【小问1详解】
证明： ，
∵无论 取何值， ，恒成立，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
20【小问2详解】
解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
解得： 或 ．
22. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小
组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生
数据的整理与描述
A：中国死 B：龙凤古 C：灵泉风 D：金华 E：未出
景点 F：其他
海 镇 景区 山 游
数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中， ______，“ ：龙
凤古镇”对应圆心角的度数是______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为 人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从 、 、 、 四个景点中任选一个
景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．
【答案】（1） ， ， ；（2）见解析；（3） ；（4）
21【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率；
（1）根据 组的人数除以占比，即可得出总人数，进而求得 组的人数，得出 的值，根据 的占比乘
以 ，即可得出对应圆心角的度数；
（2）根据 组的人数补全统条形计图，
（3）用 乘以 组的占比，即可求解．
（4）用列表法求概率，即可求解．
【详解】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为 ，
组的人数为： ，
∴ ，
∴
B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是
故答案为： ， ， ．
（2）根据（1）可得 组人数为 人，补全统计图，如图所示，
22（3）解：
答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为 人；
（4）列表如下，
共有 种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有 种，
∴他们选择同一景点的概率为
23. 如 图 ， 一 次 函 数 的 图 象 与 反 比 例 函 数 的 图 象 相 交 于
两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出 时， 的取值范围；
（3）过点 作直线 ，交反比例函数图象于点 ，连结 ，求 的面积．
【答案】（1）反比例函数表达式为 ，一次函数表达式为
23（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）根据函数图象即可求解；
（ ）如图，设直线 与 轴相交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于
点 ，求出点 坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点 坐标，根据
计算即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解
题的关键．
【小问1详解】
解：把 代入 得， ，
∴ ，
∴反比例函数表达式为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
把 、 代入 得，
，
解得 ，
24∴一次函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：由图象可得，当 时， 的取值范围为 或 ；
【小问3详解】
解：如图，设直线 与 轴相交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点
，则 ，
∴ ，
∵点 关于原点对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴
，
即 的面积为 ．
24. 如图， 是 的直径， 是一条弦，点 是 的中点， 于点 ，交 于点 ，
连结 交 于点 ．
25（1）求证： ；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ．
①求证： 是 的切线；
②若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析，② 的半径为 ．
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，可得 ，证明 ，可得
，进一步可得结论；
（2）①证明 ，可得 是 的垂直平分线，可得 ，
， ，而 ，可得 ，进一步可
得结论；②证明 ，可得 ，求解 ， ，结合
，可得答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
26∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
的
∵ ， 为 直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：①∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
27∴ 是 的切线；
②∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判
定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
25. 二次函数 的图象与 轴分别交于点 ，与 轴交于点
， 为抛物线上的两点．
28（1）求二次函数的表达式；
（2）当 两点关于抛物线对轴对称， 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求点 的坐标；
（3）设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积 是否存在最小值，若存在，请
求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，最小值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距
离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）可求 ，设 ，由 ，得 ，则
，解得 ，
（舍去），故 ；
（3）构造 的外接矩形，把 代入 得 ，把 代入
29得 ，用割补法表示 的面积，这个面积是关于m的二次函数，转化为二
次函数求最值问题．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 得，
，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：如图：
由 得抛物线对称轴为直线 ，
∵ 两点关于抛物线对轴对称，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
30∴ ，
整理得， ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：先画一个虚拟图，过点P作y轴的垂线交y轴于点E，过点Q作x轴的垂线，垂足为点F，两条垂线交
于点G，如图：
把 代入 得 ，
把 代入 得 ，
∵ ，
31，
，
∵ ，
∴
，
∴当 时， 的面积取得最小值为 ．
此时点P在y轴左侧，如下图
32
