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石嘴山市第一中学 2024-2025 学年高三年级（上）期末考试
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
2. 函数 的最小正周期为（ ）
A. 16 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正切函数的周期公式求解.
【详解】 的最小正周期为 ．
故选：B.
3. 已知复数z满足z（1-i）=2i，则复数z的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的计算规则，求出z和 即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
故 对应的点为 ，在第三象限.
故选：C.
4. 已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算规则得出结果.
【详解】解：由已知得 ，
因为 ，
故 ，解得 .
故选： .
5. 若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的标准方程可得右焦点为 ，则 ，即可求得 .
【详解】由椭圆的标准方程可知， ，即 ，所以右焦点为 ，
又抛物线 的焦点与 重合，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 .
故选：D.
6. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的面积为
（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求解三角形的面积即可.
【详解】由余弦定理得 ，则 ，
则 ，则 的面积为
故选：B.
7. 已知函数 有一个零点所在的区间为 ，则 可能等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理可得答案.
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 ，且函数的图象连续不断，
所以函数 有一个零点所在的区间为 ，故 可能等于1.
故选：B
8. 已知圆锥的高为 ，底面半径为4．若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积和球的表面积公式进行求解即可.
【详解】设球的半径为 ，因为圆锥的高为 ，底面半径为4，
所以圆锥的母线长为： ，
由题意可知： ，
故选：A
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的，
9. 已知函数 ，其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与
最低点，R是图象与x轴的交点，若点Q坐标为 ，且 ，则函数 的解析式可以是(
)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过点 坐标和 表示出 两点坐标；再利用 ，勾股定理构造方程，解出周期 ，
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学科网（北京）股份有限公司即可排除错误选项.
【详解】设函数周期 ，则 ，
为
又 ，则
由此可排除 选项
本题正确结果：
【点睛】本题考查已知函数图像求解析式，本题的关键是能够通过勾股定理构造出方程，求解出函数最小
正周期，从而得到结果.
10. 关于二项式 的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式所有项的系数和为 B. 展开式二项式系数和为
C. 展开式中第5项为 D. 展开式中不含常数项
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，取 验证即可，选项B二项式系数和为 验证即可，利用二项式展开式的通项求解
即可，利用C选项的展开式通项公式验证即可.
【详解】A选项：取 ．有 ，A错，
B选项：展开式二项式系数和为 ，B对，
C选项：由 ，
则 时即为第5项为 ，C对，
D选项：由C选项可知 恒成立，D对，
故选：BCD.
11. 如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点 在正方形 内运动（包含边界），点 在线段
上运动（不包括端点），则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 异面直线 与 不可能垂直
B. 当 时，点M的轨迹长度是
C. 该八面体被平面 所截得的截面积既有最大值又有最小值
D. 凡棱长不超过 的正方体均可在该八面体内自由转动
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，，故A错；对于B，由 探求出M的运动轨迹即可求解；对于C，截面为正方
形 或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量将截面等腰梯形面积表达式求出来即可利用导数工
具研究面积的最值，进而即可判断求解；对于D，先求出最长棱的正方体的外接球，再求正八面体的内切
球，当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断.
【详解】连接 ，相交于点O，
则由正八面体性质可知O为 中点，且 面 ，
所以 是正四面体 的高为 ，
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学科网（北京）股份有限公司对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，则
则 ，故 ，
设 ，则 ，
若 ，结合 可得 ，故 ，
故 即 ，故 与 重合，但 为异面直线，
故此情况不合题意，故A错；
对于B，取 中点G，因为 ，所以 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，且 ，
故 面 ，所以如图，M点在高为 母线长为2的圆锥底面圆周上，
即M点在为以 为圆心直径为 的圆上运动，
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学科网（北京）股份有限公司所以M点的运动轨迹 为圆心直径为 的圆的一部分为圆弧 ，
其中 分别为 中点，且 ，
所以 ，即点M的轨迹长度是 ，故B对；
对于C，由题意以及正八面体结构性质可知当E与O重合时，
八面体被平面 所截得的截面是正方形 ，
当E与O不重合时，八面体被平面 所截得的截面是等腰梯形，
如图，四边形 为被平面 所截得的截面，
连接 中点 、 ，则 为等腰梯形 的高，设为h，
取 中点V，连接 ,
则由题意可求得 ，且O在 上，
过R作 交 于点K，
则由等面积法得 ，
显然当S点由K往V靠近时等腰梯形 的上底边 和高 均在增大，
当截面为正方形 截面面积最大为16，
当S点由K往P靠近（不包含S与K、P重合时）时，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司在此过程中设 ，
则 ，且由题意 ，
所以 ，故由正弦定理得：
， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又
，
所以截面面积为 ，
所以 ，
令 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 在 上单调递减， 无最小值，
故被平面 所截得的截面面积无最小值，故C错；
对于D，过正八面体的两顶点P，Q和 中点去截正八面体以及其内切球，
则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r）截面图如图所示，
其中四边形为菱形，棱长为正四面体 的斜高 ，
是正四面体 的高 ，
所以由等面积法得 ，
当一正方体棱长为 时，其外接球半径为 ，
所以凡棱长不超过 的正方体其外接球半径均小于或等于 ，
故正方体均可在该八面体内自由转动，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：求得被平面 所截得的截面等腰梯形面积表达式的关键是考虑 里有边长和角
度有一个已知的，从而利用 结合正弦定理研究截面等腰梯形的未知量上底边和高，最后都用等腰梯
形的高来表示.
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 ,且 ，若 ,则 的最小
值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据正态曲线的对称性可求 ，结合基本不等式可求答案.
【详解】 ，可得正态分布曲线的对称轴为 ，
又 ， ，即 ．
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
13. 在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到 ， ， 三个项目的志愿者工作
中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加 项目，那么不同的志愿
者分配方案共有_______种（用数字表示）.
【答案】12
【解析】
【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解.
【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有 种分配方案；
（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有 种分配方案.
综上：共有12种分配方案.
故答案为：12
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且满足
，倾斜角为锐角的渐近线与线段 交于点 ，且 ，则 的值为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】双曲线C的半焦距为c，根据给定条件求出点P、Q坐标，再由点Q在渐近线 上求出a，
b的关系，然后结合双曲线定义计算作答.
【详解】设双曲线C的半焦距为c，即有 ，
因 ，则 ，
即直线 与双曲线C交于点P，且点P在第一象限，
由 得点 ，由 ，
而 ，得 ，
代入 得： ，即 ，不妨 ，则 ，
故 ，则 ，因此 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单
位：千元）进行了统计，所统计 的金额均在区间 内，并按 ， ，…， 分成6组，
制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数．
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的 列联表，并
判断能否依据小概率值 的 独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
附 ，其中 ．
0.01 0.00
α 0.10 0.05 0.001
0 5
2.70 3.84 6.63 7.87 10.82
6 1 5 9 8
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，17500元．
（2）表格见解析，有关
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解a的值，进而给根据中位数的计算即可求解；
（2）完善二联表，即可计算卡方，进而与临界值比较即可求解.
【小问1详解】
根据频率分布直方图得 ，
解得 ，
直方图中从左到右6组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，可得网购金额的中位数位于
区间内，设中位数为x，则 ，解得 ，
故居民网购消费金额的中位数为17500元．
【小问2详解】
根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为 ，
列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 47 18 65
合计 62 38 100
零假设为 ：网购迷与性别无关
，
依据小概率值 的 独立性检验，有充分证据推断 不成立，
即可以认为网购迷与性别有关．
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（ 2 ） 根 据 题 意 分 析 可 得 对 任 意 实 数 ， 都 有 恒 成 立 ， 构 建
，根据恒成立问题结合导数分析运算.
【小问1详解】
∵ ，则 ，
若 时，则 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
∴切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
∵ ，即 ，
整理得 ，
故原题意等价于对任意实数 ，都有 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司构建 ，则 ，
注意到 ，则 ，
构建 ，则 在 上单调递增，且 ，
故 在 内存在唯一的零点 ，
可得当 ，则 ；当 ，则 ；
即当 ，则 ；当 ，则 ；
故 在 上单调递减， 上单调递增，则 ，
又∵ 为 的零点，则 ，可得 且 ，
∴ ，
即 在 上的最小值为0，
故实数 的取值范围 .
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
17. 甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进
的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，
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学科网（北京）股份有限公司若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为 ，乙每次投进的概率为 ，
各次投进与否相互独立.
（1）求甲､乙需要进行第3次投篮的概率；
（2）若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分 的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】（1）分析可得进行第3次投篮的前提条件是前2次甲、乙投进的次数相同，应分为前2次都投进
2次、1次、0次三种情况计算概率，利用互斥事件概率的加法公式可得结果.
（2）由题意可得 的所有可能取值为0，1，2，3，计算每一种情况下对应的概率即可得到分布列和数学
期望.
【小问1详解】
设甲第 次投进为事件 ，乙第 次投进为事件 ，
则 ， ．
设甲、乙需要进行第3次投篮为事件 ，则事件 包括以下两两互斥的三个事件：
① “甲、乙前2次都投进2次”，其概率为 ，
②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为 ，
③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为 ．
则由互斥事件的概率加法公式，可得 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意可得 的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次；
②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）
，
．
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．
18. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2，则称这个数列为“G型数列”．
（1）若数列 满足 ， ，求证：数列 是“G型数列”．
（2）若数列 的各项均为正整数，且 ， 为“G型数列”，记 ，数列 为等比数
列，公比q为正整数，当 不是“G型数列”时，求数列 的通项公式．
（3）在（2）的条件下，令 ，记 的前n项和为 ，是否存在正整数m，使得对任意的
，都有 成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据 求出数列的通项，再由“G型数列”定义判断即可；
（2）根据 不是“G型数列”求出 公比q，得到 的通项公式；
（3）先证明 ，再由放缩法得到 ，求出 ，即可得解.
【小问1详解】
①，
当 时， ②，
由 得，当 时， ，
所以数列 和数列 是等比数列．
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
因此 ，从而 ，
所以数列 是“G型数列”．
【小问2详解】
因为数列 的各项均为正整数，且 为“G型数列”，
所以 ，所以 ，
因此数列 递增．又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，因此 递增，所以公比 ．
又 不是“G型数列”，所以存在 ，使得 ，所以 ，
又公比q为正整数，所以 ．又 ，
所以 ，则 ．
【小问3详解】
，
因为 ，
所以 ，所以 ．
当 时， ，
当 时，
，
即当 时， ，所以 ．
综上， ， ．
所以存在正整数 ，使得对任意的 都有 成立．
19. 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， 为线段 中点，线段 与平面 交于点 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 平面 ，进而可得 ，根据三线合一以及勾股定理可证
平面 ，进而可得结果；
（2）建系，利用空间向量求面面夹角；
（3）设 ，根据线面关系可得 ，利用向量求面积以及点到面的距离，
结合体积公式运算求解.
【小问1详解】
连接 ，
因为 ，且 为线段 中点，则 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 平面 ，可得 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，且 ，
可知 ，可得 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
为
又因 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，可得 ，
则 ，
且平面 与平面 夹角为锐角，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
设 ，
因 ，则 ，解得 ，即 ，
为
可得 ，
又因为 ，解得 ，即 ，
可得 ，
则 ，
可得 ，
可知 为钝角，则 ，
所以 的面积为 ，
又因为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，
可知 为锐角，则 ，
所以 的面积为 ，
可知四边形 的面积为 ，
又因为点 到平面 的距离 ，
所以四棱锥 的体积 .
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学科网（北京）股份有限公司
