文档内容
2025－2026 学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）
数 学 试 题
一、单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分．在每小题给出的四个选项
中， 只有一个是符合题目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． “双曲线 的两渐近线夹角为 ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知随机事件 互相独立，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为等边三角形，则
二面角 的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．函数 在区间 上存在单调增区间，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．7．已知圆 及 两点， ，若圆 上任一点 ，
都满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的函数 满足： ，都有 ，且
，当 时，有 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数 下列说法正确的是（ ）
A． B． 为偶函数
C．当 时， D．若 ，则
10．已知二项展开式 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11． 一个封闭的直三棱柱容器 内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状
态)．记水面为 ， ， ，现以 所在直
线为旋转轴，将容器逆时针旋转 的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形
B．水面可能是正三角形
C．当 经过 时， 与面 的交线长为
D．当逆时针旋转 时，水面的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置
上）
12．已知 ， ，则 的最小值为 ▲ ．
13．已知 是坐标原点，抛物线 的焦点是 ，过 的直线与 交于 两点，
现将抛物线沿 轴翻折，则三棱锥 体积的最大值为 ▲ ．
14．小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1,2,3,4，现随机抛掷，
记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这
几次记录的最大数字为 ，则 ▲ ； ▲ ．
四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分13分)
为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了2025年城市足球联赛，简称“苏超”．随
着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五
个月来的某城市旅游人数 （百万）与第 个月的数据：x（月
1 2 3 4 5
份）
y（人 2 3 5 7 8
（1）已知可用线性回归模型
数）
拟合y与x的关系，请建立y
关于x的线性回归方程；
（2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 120 380
女性 80 420
请依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关．
参考公式： ， 其中
．
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
α
16．(本小题满分15分)
已知函数 ．
（1）求 的极值；
（2）若 ，都有 ，求 的取值范围．17．(本小题满分15分)
如图，在斜三棱柱 中， ，侧面 为矩形， 在底面 内
的射影为 ．
（1）求证： 且 ；
（2）若 ， ， 与底面所成角的正切值为 ，求直线
到平面 的距离．
18．(本小题满分17分)
某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通
知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校
通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能
收到．
（1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；（2）设该班乙同学家长收到通知的次数为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）设两次都收到通知的人数为变量 ，则 的可能取值有哪些？并求出 取到其中哪
一个值的可能性最大？请说明理由．
19．(本小题满分17分)
已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，椭圆 上有两点 关
于原点对称，动点 与 两点的连线分别交椭圆 于点 ，满足 ，
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求动点 的轨迹方程；
（3）过 点作椭圆 的两条切线，试探究两切线斜率乘积是否为定值？
