文档内容
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将
本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类
填写在答题卡上和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂
改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
1
锥体的体积公式：V = Sh，其中S 是锥体的底面积，h是锥体的高.
3
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)= P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么
P(A×B)= P(A)×P(B).
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）若复数x满足z(2-i)=11+7i（i为虚数单位），则z为
（A）3+5i （B）3-5i （C）-3+5i （D）-3-5i
（2）已知全集U =0,1,2,3,4，集合A=1,2,3,B=2,4，则C A B为
U U
（A）1,2,4 （B）2,3,4 （C）0,2,4 （D）0,2,3,4
（3）设a>0且a ¹1，则“函数 f(x)=ax在R上是减函数
”，是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区
间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则
抽到的人中，做问卷B的人数为
（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15
第1页 | 共6页 x+2y2
（5）已知变量x,y满足约束条件 2x+ y4 ，则目标函数
4x- y-1
z =3x- y的取值范围是
3 3
（A）[- ,6] （B）[- ,-1]
2 2
3
（C）[-1,6] （D）[-6, ]
2
（6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的
值为
（A）2 （B）3
（C）4 （D）5
ép pù 3 7
（7）若qÎ ， ，sin2q= ，则sinq=
ê ú
ë4 2û 8
3 4 7 3
（A） （B） （C） （D）
5 5 4 4
（8）定义在R上的函数 f(x)满足 f(x+6)= f(x).当-3 x<-1时， f(x)=-(x+2)2
，当-1 x<3时， f(x)= x。则 f(1)+ f(2)+ f(3)+×××f(2012)=
（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
cos6x
(9)函数y = 的图像大致为
2x -2-x
x2 y2 3
（10）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心学率为 .双曲线x2 - y2 =1的渐近线
a2 b2 2
与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为
x2 y2 x2 y2 x2 y2
（A） + =1 （B） + =1 （C） + =1 （D）
8 2 12 6 16 4
x2 y2
+ =1
20 5
（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求
第2页 | 共6页这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为
（A）232 (B)252 (C)472 (D)484
1
(12)设函数 f(x)= ,g(x)=ax2 +bx(a,bÎR,a ¹0)，若y = f(x)的图象与y = g(x)图
x
象有且仅有两个不同的公共点A(x ,y ),B(x ,y ),则下列判断正确的是
1 1 2 2
A.当a<0时，x +x <0,y + y >0
1 2 1 2
B. 当a<0时，x +x >0,y + y <0
1 2 1 2
C. 当a>0时，x +x <0,y + y <0
1 2 1 2
D. 当a>0时，x +x >0,y + y >0
1 2 1 2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13）若不等式 kx-4 2的解集为 x1 x3 ，则实数k =__________
.
（14）如图，正方体ABCD-ABC D 的棱长为1，E,F分别为线段
1 1 1 1
AA,BC上的点，则三棱锥D -EDF的体积为____________.
1 1 1
（15）设a>0.若曲线y = x 与直线x=a,y =0所围成封闭图
形的面积为a2，则a=______.
（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始
位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正
uuur
向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为______________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
（17）（本小题满分12分）
ur r A ur r
已知向量m=(sinx,1),n=( 3Acosx, cos2x)(A>0)，函数 f(x)=m×n的最大
3
值为6.
（Ⅰ）求A；
p
（Ⅱ）将函数y = f(x)的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短
12
第3页 | 共6页1 5p
为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x)的图象.求g(x)在[0, ]上的值域.
2 24
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，
AB∥CD，ÐDAB=60o,FC ^平面
ABCD,AE ^ BD,CB=CD=CF .
（Ⅰ）求证：BD^平面AED；
（Ⅱ）求二面角F -BD-C的余弦值.
（19）（本小题满分12分）
3
先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得1分，没有命中得0
4
2
分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每
3
次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .
（20）（本小题满分12分）
在等差数列a 中，a +a +a =84,a =73.
n 3 4 5 9
（Ⅰ）求数列a 的通项公式；
n
（Ⅱ）对任意mÎN*，将数列a 中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b ，求数列
n m
b 的前m项和S .
m m
第4页 | 共6页（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，F 是抛物线C:x2 =2py(p >0)的焦点，M 是抛物线C上位
于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距
3
离为 .
4
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ与抛物线C相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标
；若不存在，说明理由；
1
（Ⅲ）若点M 的横坐标为 2 ，直线l: y =kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A,B，l
4
1
2 2
与圆Q有两个不同的交点D,E，求当 k 2时， AB + DE 的最小值.
2
22(本小题满分13分)
lnx+k
已知函数 f(x)= （k为常数，e=2.71828×××是自然对数的底数），曲线
ex
y = f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行.
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)=(x2 +x)f '(x),其中 f '(x)为 f(x)的导函数.证明：对任意
x>0,g(x)<1+e-2.
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