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2023—2024 学年度上学期 2021 级
10 月月考数学试卷
命题人：霍焰 审题人：刘超
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的）
1．已知集合 . 若 , 则
A. B. C. D.
2．若 为第三象限角, 则 是
A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第三象限角 D. 第二或第四象限角
3．设 ,若复数 的虚部为 (其中 为虚数单位), 则 （ ）
A． B． C． D．
4．下列不等式中成立的是
A. 若 , 则 B. 若 , 则
C. 若 , 则 D. 若 , 则
5．（限时练4）已知圆 ，直线 过点 ，且交圆 于 两点，使弦长
为整数的直线 的条数为（ ）
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
6．已知等比数列 的首项 , 前 项和为 , 且 成等差数列, 则
A. B. C. D.
7．（限时练1）已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8．三棱锥A-BCD的四个顶点都在表面积为 的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的
中点， ，则平面BCD被球O截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知空间中异面直线 所成的角为 , 若过空间中某点 的直线 与 所成的角都为 ,
则
A. 满足 的直线 有且只有1条 B. 满足 的直线 有且只有1条
C. 满足 的直线 有且只有1 条 D.
10．在 中，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 为锐角三角形，则
C．若 ，则 一定是等腰三角形.
D．若 为钝角三角形，且 ， ， ，则 的面积为 .
11．（十月联考）已知实数 满足 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
12．（限时练2）已知函数 及其导函数 的定义域均为 , 若 为奇函数,
的图象关于 轴对称，则下列结论中一定正确的是
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（限时练4）已知点 ， ， 为坐标原点， 在 方向上的投影向量为 ，
则 .
14．若函数 为偶函数，则
15．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看. 现从甲、乙、丙等7名工人中安排4
人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、
丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 种
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学科网（北京）股份有限公司16．(8月联考)已知 ，过 轴上一点 分别作两
圆的切线，切点分别是 ，当 取到最小值时，点 坐标为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．甲、乙二人进行冠军争夺赛，该比赛采用三局两胜制，两人中任何一人先获得两局胜利者为
冠军，同时比赛结束。在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为 .
(1) 求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率;
(2) 若 ，比赛结束时，设甲获胜的局数为 ，求其分布列和期望 ；
(3) 若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求 的取值范围.
18．如图, 在正三棱柱 中, 点 在棱 上, 且 .
(I) 求证: 平面 ;
(II) 若正三棱柱 的底面边长为2 , 二面角 的大小为 , 求直线
到平面 的距离.
19．在 中, 角 所对的边分别为 , 若 且 .
(1) 求 的值;
(2) 若 平分 , 且交 于点 , 求 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司20．已知 为曲线 上两点, 的中点 在直线 上.
(1) 求直线 的斜率.
(2) 过点 分别作曲线 的切线 , 交于点 , 连接 , 交曲线 于点 ,
求点 的坐标.
21．已知数列 满足 .
(I) 求 的通项公式.
(II) 记数列 的前 项和为 , 是否存在 , 使得 ?
若存在, 给出符合条件的一组 的值; 若不存在, 请说明理由.
22．（十月联考）设函数 .
(1)讨论 在区间 上的单调性;
(2) 若 在 上恒成立，求 的取值范围.
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